IGOWC-OWGA算子及其在區(qū)間組合預(yù)測中的應(yīng)用

袁宏俊，張　超

（1.安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

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IGOWC-OWGA算子及其在區(qū)間組合預(yù)測中的應(yīng)用

袁宏俊1，2，張超1

（1.安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030；2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

摘 要：針對C-OWGA（continuous ordered weighted geometric averaging）算子只能集結(jié)單一區(qū)間數(shù)據(jù)的不足，提出一類連續(xù)區(qū)間數(shù)集結(jié)新算子.在C-OWGA基礎(chǔ)上引入IGOWA（induced generalized ordered weighted averaging）算子，構(gòu)造出誘導(dǎo)廣義加權(quán)的C-OWGA（induced generalized ordered weighted continuous ordered weighted geometric averaging，即IGOWC-OWGA）算子，以向量夾角余弦為相關(guān)性準(zhǔn)則，構(gòu)建一個連續(xù)區(qū)間組合預(yù)測新模型.最后經(jīng)實例驗證表明該新方法在提高預(yù)測精度方面具有顯著效果.

關(guān)鍵詞：IGOWC-OWGA算子；向量夾角余弦；連續(xù)區(qū)間；組合預(yù)測

Bates、Granger自1960年代第一次系統(tǒng)地研究組合預(yù)測方法，其成果得到了眾多相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，因此，對組合預(yù)測問題的探究愈來愈多.但大多數(shù)的研究［1-6］都是以單點值為前提，而對于區(qū)間值的情形欠缺考慮.而在客觀世界里，往往會有很多模糊的信息，僅僅用簡單的一個數(shù)值來代表它，不能消除其不確定性.如果用區(qū)間數(shù)替代確定的數(shù)值則顯得更加合理，所以從區(qū)間數(shù)的角度考慮組合預(yù)測具有重要的研究價值.

近年來，關(guān)于區(qū)間數(shù)組合預(yù)測的成果頗多.文獻［7-9］中作者提出的方法針對的是離散區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測，并不適合連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)的預(yù)測.Yager于2004年通過一個態(tài)度參數(shù)將區(qū)間值集結(jié)成一個實數(shù)，構(gòu)造出連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)平均（continuous ordered weighted averaging，即C-OWA）算子［10］；同年Yager又構(gòu)造了連續(xù)區(qū)間數(shù)廣義有序加權(quán)平均（continuous generalized ordered weighted averaging，即C-GOWA）算子［11］.相關(guān)算子介紹可參考文獻［12-17］.

為了消除C-OWGA算子只能集結(jié)單一區(qū)間數(shù)據(jù)的缺點，作者將IGOWA（induced generalized ordered weighted averaging）算子與C-OWGA（continuous ordered weighted geometric averaging）算子［13］予以綜合，構(gòu)造出一種誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWGA（induced generalized ordered weighted continuous ordered weighted geometric averaging，即IGOWC-OWGA）算子，同時解釋其部分性質(zhì).取向量夾角余弦作為相關(guān)性指標(biāo)，建立新型區(qū)間型組合預(yù)測模型.該算子可用于解決多個連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)集結(jié)問題.最后利用實例證實該方法在提高預(yù)測精度方面具有顯著效果.

1　IGOWC-OWGA算子及其性質(zhì)

定義1［4］假設(shè)為m元函數(shù)，若

則稱fw為n維有序加權(quán)幾何平均（ordered weighted geometric averaging，即OWGA）算子［13］.其中：bi是a1，a2，…，am遵循從大到小的原則排列后序號為i的數(shù)是與fw相聯(lián)系的權(quán)重向量，且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m ，＝1.

定義2［6］假設(shè)〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vm，am〉為m個二維數(shù)組，令

把fw定義為由v1，v2，…，vm生成的m維誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均，即IGOWA算子.其中：v1，v2，…，vm分別為a1，a2，…，am的誘導(dǎo)值，稱為誘導(dǎo)變量，且v-index（it）是v1，v2，…，vm遵循由大到小的原則排列后序號為i的數(shù)的下標(biāo)；W＝（w1，w2，…，wm）T是IGOWA權(quán)重向量，且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m，＝1.

定義3［13］設(shè)［a，b］為區(qū)間數(shù)，稱

為連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)幾何平均即C-OWGA算子，其中Q（y）：［0，1］→［0，1］為基本的單位區(qū)間單調(diào)函數(shù)，且滿足Q（0）＝0，Q（1）＝1.當(dāng)y1＞y2時，有Q（y1）≥Q（y2）.

定義4［10］給定基本單位區(qū)間單調(diào)函數(shù)Q（y），記θ＝（y）dy為Q（y）的態(tài)度參數(shù).

0

由定義4及（3）式可得FQ（［a，b］）＝a1-θbθ.C-OWGA算子只能解決單一區(qū)間數(shù)據(jù)的集結(jié)問題，若想集結(jié)更多區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，還需對其予以擴展.

定義5 假定［ai，bi］是一組區(qū)間數(shù)，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vm，［am，bm］〉是二維數(shù)組，設(shè)g：Ω＋m→R＋，且Ω為正的區(qū)間數(shù)集合.若

稱g為誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均的C-OWGA（即IGOWC-OWGA）算子.其中：v1，v2，…，vm分別是（a1，b1），（a2，b2），…，（am，bm）的誘導(dǎo)變量，且v-index（i）是v1，v2，…，vm遵循從大到小的原則排列后序號為i的數(shù)的下標(biāo)，W＝（w1，w2，…，wm）T是與g相聯(lián)系的權(quán)重向量且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m，.該算子的特點在于：首先運用C-OWGA算子集結(jié)每個區(qū)間［ai，bi］全部數(shù)據(jù)，然后將集結(jié)后的全部數(shù)據(jù)運用IGOWA算子集結(jié).由于篇幅有限，文章僅給出單調(diào)性證明過程.

定理1（單調(diào)性） 對于任意的i＝1，…，m，若有ai≥，≥i，則

由命題假設(shè)可知，ai≥i，bi≥i，得av-index（i）＞v-index（i），bv-index（i）＞v-index（i），又g均關(guān)于av-index（i）和bv-index（i）單調(diào)遞增，故，即

所以命題得證.

定理2（冪等性） 對于任意的i＝1，…，m ，若［ai，bi］＝［a，b］，則

定理3（介值性） 若［ai，bi］（i＝1，2，…，m）是任一區(qū)間數(shù)組，且0＜ai＜bi，則

定理4（置換不變性） 設(shè)π＝（π（1），π（2），…，π（m））是（1，…，m）的任一置換，得到

2　基于向量夾角余弦的IGOWC-OWGA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型

設(shè)xt＝［at，bt］，t＝1，2，…，N ，其中0＜at＜bt，則可將xt定義為一區(qū)間數(shù)，同時xt也可等價表示成x＝［c，r］，t＝1，2，…，N ，其中分別記作區(qū)間數(shù)xt的中心與半徑.假定用于預(yù)測的單項方法有m種，且它們都被應(yīng)用到組合預(yù)測當(dāng)中，設(shè)第i種方法在第t時點的單項預(yù)測值為it＝itit），同樣也可等價成t＝（itit），i＝1，2，…，m，t＝1，2，…，N .wi是第i種單項方法在組合預(yù)測中的權(quán)重，

定義6 令

其中：i＝1，2，…，m，t＝1，2，…，N ，則稱vit為第i單項方法在第t時點的預(yù)測精度，vit∈［0，1］.將vit當(dāng)做預(yù)測值（itit）的誘導(dǎo)變量，由此可以根據(jù)每一個vit以及與之相對應(yīng)的it構(gòu)建m個二維數(shù)組，即〈v1t，1t，1t］〉，〈v2t，［2t，2t］〉，…，〈vmt，［mt，mt］〉.根據(jù)定義3以及定義5可推出，其中：yt為實際區(qū)間值由C-OWGA算子生成的t時刻實際集結(jié)值；it是算由子生C-成O W的GA時算刻子組生合成預(yù)的測各集個成單值項；方法各（個時，刻，預(yù)…測，值的）單是項預(yù)種測單集項成方值法；在t組為合由預(yù)I G測O中W的C-權(quán)O向W G量A，t W＝w1w2wmTm m滿足∑wi＝1，顯然wi≥0；i＝1，2，…，m，v-index（it）是v1，v2，…，vn遵循由大到小的原則排列后i＝1序號為i的數(shù)的下標(biāo).

引入向量夾角余弦作為相關(guān)性指標(biāo)，對區(qū)間組合預(yù)測效率予以評價.

定義7［3］令

將η（Yt，t）稱作實際值yt（t＝1，2，…，N）與組合預(yù)測值t（t＝1，2，…，N）間的向量夾角余弦，其中：Yt＝（y1，y2，…，yN）T，t＝1，2，…N）T，它們分別是實際值與預(yù)測值的向量表示，η（Yt，t）∈［0，1］.當(dāng)不存在預(yù)測誤差時，向量Yt與t方向一樣且夾角為零.而實際中，肯定存在預(yù)測誤差，所以希望誤差越小越好.若要Yt與t的夾角越小越好，則從角度的余弦值考慮，即Yt與t的夾角余弦值越大越好.

易知η（Yt，t）是所有單項方法權(quán)重w1，w2，…，wm的函數(shù)，則可等價表示成η（w1，w2，…，wm）.故基于向量夾角余弦及IGOWC-OWGA算子的最優(yōu)組合預(yù)測模型為

使得yt＝該模型可借助LINGO軟件進行求解.

3　實例分析

為了驗證IGOWC-OWGA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型是否有效，文章直接采用文獻［7］的數(shù)據(jù)作為參考資料，表1給出了具體數(shù)據(jù).

表1　區(qū)間實際數(shù)據(jù)和單項方法預(yù)測數(shù)據(jù)Tab.1 The interval actual data and individual method forecast data

表2給出了由（5）式計算得到的預(yù)測精度數(shù)據(jù).

表2　預(yù)測精度數(shù)據(jù)Tab.2　The data of prediction accuracy

可以計算出實際區(qū)間值由C-OWGA算子所生成的t時刻實際集成值yt.由于yt中的態(tài)度參數(shù)θ由函數(shù)Q（y）決定，為了便于比較，分別取Q1（y）＝y(tǒng)4，Q2（y）＝y(tǒng)5，則

表3給出了由上述兩個態(tài)度參數(shù)計算得到的實際區(qū)間集成值.

表3　實際區(qū)間集成數(shù)據(jù)Tab.3　The integrated data of actual interval

根據(jù)表2中的誘導(dǎo)變量及式（6）計算IGOWC-OWGA算子生成的組合預(yù)測集成值t，為了便于比較，分別取λ1＝5，λ2＝6，λ3＝7這幾個參數(shù)進行討論，則共有6種情況，依次予以計算.

①當(dāng)θ＝1／5時，以λ＝6為例，計算過程如下

②當(dāng)θ＝1／6時，以λ＝7為例，計算過程如下

將上述表達式與表3中的實際區(qū)間數(shù)集成值代入到單目標(biāo)最優(yōu)模型（12）式中，再運用LINGO15軟件求解.

當(dāng)θ＝1／5時，對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量為

當(dāng)θ＝1／6時，對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量為

為了證明區(qū)間組合預(yù)測模型是否有效，可選取MSEP（mean squared error of interval positio）、MSEL（mean squared error of interval length）、MSEI（mean squared error of interval）、MRIE（mean relative interval error）作為評價準(zhǔn)則.表4給出了相應(yīng)的分析結(jié)果.

表4　誤差指標(biāo)Tab.4　The error indicators

觀察表4易知，基于向量夾角余弦及IGOWC-OWGA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型的MSEP、MSEI、MRIE都顯著小于各單項方法的指標(biāo)值，雖然MSEL指標(biāo)不夠顯著，但并非最大，因此，該區(qū)間組合預(yù)測新方法至少是非劣性的.綜合來看，基于向量夾角余弦及IGOWC-OWGA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型可以顯著提高預(yù)測精確度.

4　結(jié)束語

為了剔除C-OWGA算子只能集結(jié)單一區(qū)間數(shù)據(jù)的缺點，文章綜合IGOWA算子與C-OWGA算子，構(gòu)造出誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWGA（IGOWC-OWGA）新型算子.由于該算子可以集結(jié)多個區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，故可以將其應(yīng)用于連續(xù)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測當(dāng)中.利用IGOWC-OWGA算子，再結(jié)合向量夾角余弦作為相關(guān)性指標(biāo)，構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測新模型，并經(jīng)過算例驗證了其有效性，揭示該方法在提高預(yù)測精度方面具有顯著成效.但論文考慮的θ和λ情況有限，是否存在某個θ值和λ值使預(yù)測效果更加精確還需進一步研究.

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（責(zé)任編輯 朱夜明）

IGOWC-OWGA operators and their applications in interval combination forecasting

YUAN Hongjun1，2，ZHANG Chao1
（1.Institute of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；2.School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China）

Abstract：For the shortcoming that C-OWGA operator can only assemble single interval data，this paper proposed a new class of continuous interval data assembled operator.We constructed an IGOWC-OWGA operator by introducing IGOWA operator on the basis of the C-OWGA operator，then we selected vectorial angle cosine as a correlation index and built a new type of continuous interval combination forecasting model.Finally，it is shown that the new method had a significant effect in improving forecasting accuracy by an illustrative example.

Key words：IGOWC-OWGA operator；vectorial angle cosine；continuous interval；combination

doi：10.3969／j.issn.1000-2162.2016.01.003

作者簡介：袁宏?。?978-），男，安徽廬江人，安徽財經(jīng)大學(xué)副教授，安徽大學(xué)國內(nèi)訪問學(xué)者，碩士生導(dǎo)師.

基金項目：國家社科基金青年基金資助項目（13CTJ006）；安徽財經(jīng)大學(xué)重點科研基金資助項目（ACKY1315ZDB）；安徽財經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金資助項目（CXJJ2014074）

收稿日期：2015-03-02

中圖分類號：O224

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-2162（2016）01-0011-07