新課標(biāo)下學(xué)生幾何解題能力的提高途徑探析

□李麗敏

新課標(biāo)下學(xué)生幾何解題能力的提高途徑探析

□李麗敏

實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)有助于落實(shí)學(xué)生的主體地位和發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。面對(duì)學(xué)生比較“懼怕”的幾何，如何“實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)”，從而提高幾何解題能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)體會(huì)成功、體會(huì)快樂，是本文的核心問題。故本文結(jié)合G·波利亞的解題思想，從多年實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以具體例題為論證，提出了指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在審題過程中“轉(zhuǎn)換條件”和建立“基礎(chǔ)題型庫”等意見，在解題上“授之以漁”，以期提高學(xué)生的幾何解題能力。

提高；幾何解題能力；認(rèn)知資源；基礎(chǔ)題型庫

一、引言

我們常說的“數(shù)學(xué)能力”，究竟體現(xiàn)在什么地方？筆者認(rèn)為，一位學(xué)生的“數(shù)學(xué)能力”很大程度體現(xiàn)在“解題能力”上。學(xué)幾何就意味著解幾何題，解決幾何問題是幾何的核心。美國著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！?“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題。”“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練。通過解題訓(xùn)練來培養(yǎng)解題能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。”

幾何，一直是學(xué)生比較“懼怕”的內(nèi)容，如果能夠在“解題能力”上有所提高，對(duì)于學(xué)生提高學(xué)習(xí)幾何、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，將會(huì)有很大的幫助。

二、實(shí)踐探索

是什么原因造成了學(xué)生“解題技能”和“解題智能”發(fā)展不均衡？任教以來，在培養(yǎng)和提高學(xué)生幾何解題能力方面，筆者進(jìn)行了一些初步的探索。那么如何培養(yǎng)、提高學(xué)生的幾何解題能力呢？筆者是從這兩個(gè)方面去做的。

1.指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，審題過程中“轉(zhuǎn)換條件”

美國數(shù)學(xué)教育學(xué)者舍費(fèi)爾德提出：解題需要考慮四個(gè)變項(xiàng)：認(rèn)知資源、啟發(fā)法則、調(diào)控、信念系統(tǒng)。其中的認(rèn)知資源是指：解題者擁有的與解題相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括數(shù)學(xué)事實(shí)、運(yùn)算程序及相關(guān)技巧等信息。

而筆者的學(xué)生是有相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，但沒有檢索出知識(shí)的思維程序。筆者認(rèn)為，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和思維程序就是舍費(fèi)爾德提出的四個(gè)變項(xiàng)中的認(rèn)知資源。

解幾何問題，第一步，大家都知道是“認(rèn)真審題”，但是數(shù)學(xué)題目里的文字學(xué)生都認(rèn)識(shí)，題目讀下來之后呢，“認(rèn)真審題”究竟是審些什么？筆者指導(dǎo)學(xué)生“認(rèn)真審題”包括三個(gè)步驟：

第一步：讀條件，搜索腦海中的相關(guān)知識(shí)以及運(yùn)算程序（思維程序），盡可能“轉(zhuǎn)換條件”。

第二步：讀問題，確定自己要解決該問題，需要什么。

第三步：“條件能得到的”與“問題所需要的”之間是否銜接上，還缺什么嗎？

例如：如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，∠ABC=30°，則∠CAD=______。

圖1

第一步：讀到條件“AD是⊙O的直徑”時(shí)，要想到“直徑所對(duì)的圓周角是90°”，讀到條件“∠ABC=30°”時(shí)，要能想到“一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍”以及“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”。

在圓里面，解決角的問題，基本的思維程序是：判斷是否為圓心角或圓周角，如果是，找所對(duì)的弧，再找該弧所對(duì)的圓心角或圓周角。

圓心角或圓周角?所對(duì)的弧?所對(duì)的圓心角或圓周角。

條件“AD是⊙O的直徑”轉(zhuǎn)換為“∠ACD=90°”。

條件“∠ABC=30°”轉(zhuǎn)換為“∠ADC=30°”。

第二步：看問題“∠CAD=____”，第①種想法：∠CAD是圓周角，可以通過所對(duì)的弧的圓周角或圓心角求得；第②種想法：在△ADC里，利用三角形內(nèi)角和求。

第三步：第一步和第二步銜接，得解。

2.指導(dǎo)學(xué)生建立“基礎(chǔ)題型庫”

有學(xué)者將對(duì)數(shù)學(xué)解題過程的理解水平分為：不知其不知；知其不知；知其然但不知其所以然；知其然又知其所以然；知其何以所以然。在這一系列水平中，常被忽視的是“知其何以所以然”，即知道解題方法和思路是如何得到的。正如G·波利亞所講的“老師的解題方法就像帽子里突然跑出一只兔子”，令人困惑不已.為了解決這個(gè)問題，G·波利亞對(duì)此進(jìn)行了深入研究，得到了數(shù)學(xué)解題的一般策略，其中最重要的是自我啟發(fā)的策略，產(chǎn)生了重大的影響。然而，策略中的“看是否做過此題”，卻成為一些人使用“題海戰(zhàn)術(shù)”和“套題訓(xùn)練”理由的“引經(jīng)據(jù)典”，引發(fā)了新的問題。

筆者對(duì)G·波利亞的“看是否做過此題”這一策略的理解是：指導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)“基礎(chǔ)題型庫”。

在和學(xué)生一起解題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，萬變不離其宗，有很多看似新題，看似很難的題目，稍微轉(zhuǎn)換一下條件，就變成前一階段的題型。有些題型，隨著新知識(shí)的學(xué)習(xí)，它會(huì)通過“改變條件呈現(xiàn)的形式”，一直貫穿在我們的題目中，筆者把這樣的題型叫作“基礎(chǔ)題型”。把具有代表性的“基礎(chǔ)題型”指導(dǎo)學(xué)生歸納、概括起來，建立“基礎(chǔ)題型庫”，建立解題、表達(dá)的“情境”。

我們知道，學(xué)習(xí)語言，一個(gè)全世界都公認(rèn)并提倡的好方法，就是建立豐富的語言情境（語境），讓學(xué)習(xí)者在運(yùn)用語言的過程中，一旦進(jìn)入相應(yīng)的語境中，馬上就有感覺，就能自然而然地運(yùn)用所學(xué)的語言。幾何語言，也可以算是一門“新語言”，要幫助學(xué)生提高幾何的解題能力，不能忽視“幫助學(xué)生掌握幾何語言”這一環(huán)節(jié)，而這恰恰是我們很多數(shù)學(xué)老師忽略的環(huán)節(jié)。

建立“基礎(chǔ)題型庫”，就是幫助學(xué)生建立幾何語言的“語境”。一旦學(xué)生進(jìn)入到相應(yīng)題型中，就像進(jìn)入特定的“語境”中，這對(duì)學(xué)生的解題有很大的幫助。

比如，在學(xué)習(xí)“角平分線”和“平行的性質(zhì)與判定”的內(nèi)容后，有一道這樣的題目：

如圖2所示，已知∠1=∠2，AC平分∠BCD，試說明DC∥AB。

變式一：如圖所示，已知DC∥AB，AC平分∠BCD，試說明∠1=∠2。

變式二：如圖所示，已知DC∥AB，∠1=∠2，試說明AC平分∠BCD。

圖2

這是一個(gè)基礎(chǔ)題型。

學(xué)到“三角形的外角”時(shí)，有這樣一道題目：

如圖3，BE是△ABC的角平分線，DE∥BC交AB于點(diǎn)D，∠A=126°，∠BED=14°，求∠BEC的度數(shù)。

圖3

題目所要求的∠BEC是△ABE的一個(gè)外角，即∠BEC=∠A+∠1

分析到這里，學(xué)生知道只要求出∠1，題目得解，這時(shí)，老師把AD、AE、CE擦掉，上述基礎(chǔ)題型的變式一就呈現(xiàn)出來，學(xué)生進(jìn)入熟悉的“情境”中解題.

學(xué)到“等腰三角形的判定時(shí)”，有這樣一道題目：

如圖4，在△ABC中，AB=AC，過∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)O作DE∥BC，交AB與點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則圖中共有_____個(gè)等腰三角形，他們分別是_____。

圖4

其中，在判定△DBO和△ECO是等腰三角形時(shí)，圖形的左、右兩邊各呈現(xiàn)了上述基礎(chǔ)題型的變式一，學(xué)生再次進(jìn)入熟悉的“情境”中解題。

學(xué)到 《四邊形》中的 《矩形》，結(jié)合折疊，是一個(gè)常規(guī)的問題情境，有一道題如下：

如圖5，已知長方形ABCD，沿對(duì)角線AC把△DAC翻折，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，AD′于BC交于點(diǎn)E。

圖5

①試判斷△AEC的形狀，并說明理由；

②已知AB=4cm，AD=8cm，求BE的長。

通過觀察知道，△AEC應(yīng)該是個(gè)等腰三角形，要證明這一結(jié)論，需要證明∠1=∠2，條件“折疊”轉(zhuǎn)換為“∠1=∠3”（等同于條件“角平分線”），條件“矩形”轉(zhuǎn)換為“AD∥BC”，上述基礎(chǔ)題型的變式一又呈現(xiàn)出來，學(xué)生在熟悉的“情境”中解決新的問題。

學(xué)到“圓”，有這樣一道題目：

如圖6，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，連接AC，則∠DAC=_________。

圖6

條件“⊙O”轉(zhuǎn)換為“OA=OC”進(jìn)一步得到“∠1=∠2”，把圓擦掉，呈現(xiàn)出上述基礎(chǔ)題的變式二，學(xué)生又進(jìn)入到熟悉的“情境”中解決新問題。

三、反思

當(dāng)筆者從初一到初三完成一個(gè)循環(huán)后再回到初一，筆者意識(shí)到：要想幫助學(xué)生擺脫“茫茫題海”，要想幫助盡可能多的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科體會(huì)到成功，幫助學(xué)生建立“腦海中有序的知識(shí)框架”很重要，怎么建立、怎么檢測(cè)，則是主要問題，于是，筆者進(jìn)行了以上的嘗試，也取得了一定的成績，但還有許多地方做得不盡如人意，還需要不斷努力學(xué)習(xí)，不斷深入探索，不斷改進(jìn)、完善。

[1]劉兼,孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2014.

[2]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社,2011.

[3]俞平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧：廣西教育出版社,2004.

（編輯：張 婕）

G633.63

A

1671-0568（2016）33-0096-02

李麗敏，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，廣東省中山市博愛初級(jí)中學(xué)，研究方向：課堂有效教學(xué)。