本源性問題：“多思喜悟”數(shù)學(xué)課堂的生長點(diǎn)

□何緒銅

本源性問題：“多思喜悟”數(shù)學(xué)課堂的生長點(diǎn)

□何緒銅

數(shù)學(xué)的本源性問題是課堂的生長點(diǎn)，更是啟發(fā)學(xué)生思考的平臺(tái)。本源性問題需要課前挖掘、課上提出、課堂生成、課后深化，使師生感悟、領(lǐng)悟、頓悟、喜悟，實(shí)現(xiàn)智慧增長。

本源性問題 多思喜悟

數(shù)學(xué)的本源性問題是課堂的生長點(diǎn)，是啟發(fā)學(xué)生思考的平臺(tái)，具有典型性、示范性、啟發(fā)性、導(dǎo)向性。而“多思喜悟”是新課改的重要理念，是實(shí)現(xiàn)“四基”目標(biāo)中的“后兩基”（基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的根本途徑。如何引導(dǎo)學(xué)生“多思喜悟”，構(gòu)建“多思喜悟”的數(shù)學(xué)課堂，筆者及團(tuán)隊(duì)經(jīng)過三年的研究發(fā)現(xiàn)，“提出本源性問題，進(jìn)行本源性教學(xué)”是促進(jìn)學(xué)生深度思考、透徹感悟的有效途徑。

一、課前挖掘本源性問題，促進(jìn)教師思考領(lǐng)悟

本源性問題是關(guān)于本質(zhì)、核心、根源的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中的本源性問題是關(guān)于某數(shù)學(xué)教學(xué)主題的本質(zhì)根源問題，是學(xué)生在學(xué)習(xí)該主題過程中產(chǎn)生的樸素想法和內(nèi)心困惑的真問題、源問題。它往往藏在顯性知識(shí)的背后，是隱性的，若要把它挖掘、提煉、引發(fā)出來，需要教師課前做足基本功。

1.修煉個(gè)人基本功，提升學(xué)科素養(yǎng)，提高自身數(shù)學(xué)眼光和洞察力，增強(qiáng)教學(xué)智慧。如一提起“平均數(shù)”，你腦中就能立即反射出：“平均數(shù)”是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是一個(gè)虛擬的數(shù)，它可能在“那組數(shù)據(jù)”中，也可能不在，它能代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，它也會(huì)因“那組數(shù)據(jù)”中的任意一數(shù)據(jù)的變化而變化，遇到一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)，用“平均數(shù)”去代表它們的整體水平不科學(xué)，“平均數(shù)”與“平均分”不一樣。并能根據(jù)以上反射，預(yù)設(shè)出如下本源性問題：①“平均數(shù)”與“分?jǐn)?shù)、小數(shù)、整數(shù)”一樣嗎？②為什么要學(xué)習(xí)“平均數(shù)”？③歌詠比賽時(shí)，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再求剩下數(shù)的平均數(shù)作該隊(duì)的成績？

2.與教材、教參進(jìn)行深層對(duì)話。善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在不關(guān)聯(lián)中找關(guān)聯(lián)；能借助明線探暗線，在零散中建結(jié)構(gòu)；能透過知識(shí)掘思想，在方法中尋價(jià)值。如“有余數(shù)除法”一節(jié)內(nèi)容，教師研讀時(shí)，就不能孤立地解讀教材中的例題和練習(xí)，而要整體地進(jìn)行洞察，還要將它與已學(xué)的“找規(guī)律”溝通，從系統(tǒng)的角度設(shè)計(jì)本源性問題：①包含除、平均分分別是怎樣確定余數(shù)的？②剩余的數(shù)與余數(shù)意義相同嗎？余數(shù)為何不叫剩數(shù)？③余數(shù)組與找規(guī)律中的份（組）有什么聯(lián)系呢？④余數(shù)有什么價(jià)值？然后在課堂上適時(shí)使用，能使學(xué)生順利完成“余數(shù)”知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，架起“找規(guī)律、循環(huán)、排列、除法”之間的交互式立交橋。

3.站在兒童的角度與教材、教參對(duì)話。善于兒童首位思考，能把握學(xué)生學(xué)習(xí)該主題的起點(diǎn)、盲點(diǎn)和困惑點(diǎn)，預(yù)見或預(yù)設(shè)學(xué)生的課堂生成，確保課堂能引導(dǎo)和發(fā)展學(xué)生的樸素想法和朦朧感覺。如“乘法分配律”一課，教師需跳出順風(fēng)順?biāo)?、熱鬧繁華的模式，而要站在學(xué)生的角度與教材、教參深度對(duì)話，把學(xué)生初學(xué)時(shí)的疑惑設(shè)計(jì)成本源性問題提出來，助學(xué)生把分配律學(xué)懂悟透?，F(xiàn)以“102×46=100× 46+2×46=4600+92=4692”為例，學(xué)生存在兩大迷惘：①明明“102×46”只一個(gè)乘法算式，干嘛要弄成“100×46”和“2×46”兩個(gè)乘法算式？②“102×46”中只有乘號(hào)，而變成“100×46+2×46”后出現(xiàn)了“加號(hào)”，“加號(hào)”是哪來的？筆者在教學(xué)此處時(shí)，首先將上述兩大疑惑當(dāng)成兩個(gè)本源性問題，引發(fā)學(xué)生討論。然后追問“你能用自己的方法解釋上述兩個(gè)問題嗎”？有學(xué)生用乘法豎式原理解釋，把“102×46”的豎式計(jì)算過程（如圖1），改寫成橫式，就是“2×46+100×46”，與乘法分配律完全一致；也有學(xué)生用數(shù)形結(jié)合解釋（如圖2），把“102×46”看作是在計(jì)算“長方形面積”，把長分成“100和2”兩段，就變成了兩個(gè)長方形，那大長方形面積等于兩個(gè)小長方形面積之和，所以該用“100×46+2× 46”來計(jì)算；還有學(xué)生解釋，這樣做是把原來需要豎式計(jì)算的，變成了可直接口算，雖然增加了運(yùn)算步驟，但降低了運(yùn)算難度，這樣做的前提是“得數(shù)不變”。

圖1

圖2

二、課上提出本源性問題，促進(jìn)學(xué)生思考感悟

教師要以課堂為陣地，根據(jù)課堂狀況適時(shí)使用預(yù)設(shè)好的本源性問題。本源性問題的出示，要因教學(xué)主題、學(xué)生情況、課堂狀態(tài)、現(xiàn)場需求而定。

1.上課開始即展示。將本源性問題作為串聯(lián)起全課的核心問題，如著名特級(jí)教師黃愛華在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，上課伊始，即根據(jù)學(xué)生的疑問，梳理出“什么是百分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)是個(gè)什么樣的數(shù)”“為什么要學(xué)百分?jǐn)?shù)”三個(gè)本源性問題（或稱大問題），讓學(xué)生自主鉆研、合作探究、交流思辨，效果十分好。

2.課中及時(shí)出示。將本源性問題作為課堂的爬坡點(diǎn)，讓學(xué)生思維來一次上坡起步，提升新高度。還是以“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”為例，著名特級(jí)教師劉松在學(xué)生知道了“什么是百分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)長什么樣”后，突然提出：①學(xué)了分?jǐn)?shù)，干嘛還要學(xué)百分?jǐn)?shù)？②生活中有千分?jǐn)?shù)、十分?jǐn)?shù)、萬分?jǐn)?shù)等，為什么人們獨(dú)愛百分?jǐn)?shù)？讓學(xué)生討論爭辯，最后在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生悟懂了：分?jǐn)?shù)既可表示數(shù)量，又能表示倍比關(guān)系，具有雙重功能，而百分?jǐn)?shù)只具有表示倍比關(guān)系這一重要功能，當(dāng)遇到只需表示倍比關(guān)系時(shí)，用百分?jǐn)?shù)不但不會(huì)產(chǎn)生歧義，而且方便理解、易于比較，這是其一。其二，生活中我們見得最多的是兩位小數(shù)，與它互通過來就是百分?jǐn)?shù)，加之用十分?jǐn)?shù)表示倍比關(guān)系太粗略、不精確，用千分?jǐn)?shù)又太細(xì)小、太煩瑣，而只有百分?jǐn)?shù)才是最恰當(dāng)?shù)摹?/p>

3.課尾隆重推出。課尾推出本源性問題，猶如往沉寂的課堂投放一枚震撼彈，沖擊了學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，推動(dòng)著學(xué)生重組思維，助推學(xué)生完成知識(shí)結(jié)構(gòu)的“同化”。如筆者在教學(xué)“平行四邊形面積計(jì)算”一課時(shí)，在學(xué)生推出平行四邊形的面積公式后，拋出本源性問題：①長方形的面積由相鄰的兩條邊（長和寬）相乘就可以得到，為什么平行四邊形的面積用相鄰兩條邊相乘卻不可以，偏要用根本就未出現(xiàn)的高去乘，其道理何在？②把一個(gè)平行四邊形的框架壓一壓，如圖：兩個(gè)平行四邊形的內(nèi)角和相等（都是360°），周長也相等，為什么面積會(huì)不一樣呢？

讓學(xué)生回到“面積”的初始概念去探討，原來決定面積大小的是二維的長和寬，所謂寬應(yīng)該是圖形某方向上兩條外邊線間的垂直距離，它與對(duì)應(yīng)外邊線構(gòu)成90°的夾角，為研究方便，數(shù)學(xué)上將之稱為“高”，“高”是隱藏在圖形里、影響面積大小的核心要素。而另一個(gè)方向上的斜邊，因與已知邊的夾角不是90°，所以它不能與已知邊配成“對(duì)（二維）”，算面積時(shí)不能將之直接相乘。事實(shí)證明，這樣的教學(xué)處理，對(duì)學(xué)生來說可謂刻骨銘心，學(xué)生不但牢固建起了平行四邊形面積公式的模型，而且知道了“為什么會(huì)這樣”的根源。

三、課堂生成本源性問題，促進(jìn)師生思考頓悟

智慧的生長來自問題的發(fā)端，而課堂問題，有的來自課前預(yù)設(shè)，有的源于課堂生成。課堂上，學(xué)生偶而靈感一閃，生成的樸素想法、朦朧感覺以及鬧心感受，最是直指教學(xué)主題的本源和核心，教師若加以梳理、提煉、歸結(jié)，就會(huì)生成一個(gè)個(gè)“抓心”的本源性問題，引發(fā)學(xué)生思維碰撞，使學(xué)生醒悟、頓悟甚至大徹大悟。

1.營造寬松安全的心理環(huán)境，激勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，生成本源性問題。課堂上，教師要用激勵(lì)性、包容性、啟發(fā)性的語言，營造出民主、和諧、寬松的氛圍，設(shè)置質(zhì)疑問難環(huán)節(jié)，交給學(xué)生“舉反例、類比、推理、換角度、變維度”等質(zhì)疑問難的方法，留足空間，給足時(shí)間，讓學(xué)生表達(dá)自己的想法，表征自己的感覺，生成本源性問題。

如在教學(xué)“三角形的分類”一課時(shí)，待學(xué)生理解三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)、方法和結(jié)果后，安排學(xué)生質(zhì)疑問難。師：關(guān)于分類，你們還有沒有疑惑或者不明白的地方，提出來，我們共同討論。生：直角三角形中有兩個(gè)銳角、一個(gè)直角，銳角比直角還多一個(gè)，干嘛要叫直角三角形？同樣，鈍角三角形中有兩個(gè)銳角、一個(gè)鈍角，銳角比鈍角還多一個(gè)，為啥要叫鈍角三角形呢？

這真是直指本源的好問題！于是，筆者大聲說：是呀！這是為什么呢？大家分組討論。通過激烈辯論，學(xué)生明白：數(shù)學(xué)名稱不僅是個(gè)代號(hào)，更是個(gè)性特征的體現(xiàn)，分類或取名主要是看它與眾不同的特征，即獨(dú)有特征，如直角三角形中的“那個(gè)直角”、鈍角三角形中的“那個(gè)鈍角”，都是它們獨(dú)有的、區(qū)別于其他三角形的特征，所以取名直角三角形、鈍角三角形，而銳角三角形只有銳角，所以只能叫銳角三角形；如果按照“2>1”的思路給三角形命名，就會(huì)都叫銳角三角形，干嘛還分類呢？

2.提升自身課堂閱讀能力，把學(xué)生樸素想法、朦朧感覺、鬧心沖動(dòng)，變成本源性問題。教師要不斷豐富自己的課堂智慧，提升自己課堂閱讀的水平，善于從學(xué)生的眼睛里、舉止上、言語中，挖掘?qū)W生問題，通過追問、補(bǔ)問、逼問，將它們變成課堂的本源性問題。如筆者在教學(xué)數(shù)學(xué)廣角“找次品”一課時(shí)，當(dāng)教學(xué)完“總數(shù)3個(gè)，1次可以找到次品；總數(shù)4～9個(gè)，2次可以找到次品；總數(shù)10～27個(gè)，3次可以找到次品……”時(shí)，歸納總結(jié)出：每次都是把物品盡量分成3份，這樣就能盡可能快地找到“次品”。此時(shí)，筆者觀察學(xué)生，很多學(xué)生眼含迷惘，有學(xué)生欲言又止，也有學(xué)生把手舉起又放下，這說明學(xué)生心中有想法。師：我知道同學(xué)們心中有想法，有不服氣，誰愿意把自己的不服氣說出來？生：我不明白，為什么是分成3份，不分成2份、4份、5份？師：是呀！分的份數(shù)越多，每份個(gè)數(shù)就會(huì)越少，不是更快嗎？

樸素的想法，經(jīng)過教師“分的份數(shù)越多，每份個(gè)數(shù)就會(huì)越少，不是更快嗎？”的誘誤提醒，學(xué)生的思維一下聚焦了起來，經(jīng)過幾個(gè)回合的思辨，“找次品”的原理學(xué)生漸漸理解：①要確保找到次品，需排除“湊巧”因素，按“全都不湊巧”去研究；②要先分成“份”，按“份→小份→小小份→小小小份→……→3個(gè)→次品”的思路去探究，不能程序不清，“份”“個(gè)”混搭；③若分成3份，天平兩端每次可以放2份，天平外還有1份，用“稱”配合“推理”，一次就能確保淘汰掉2份；若只分成2份，則每次只能淘汰1份；若分成4份、5份或者更多，天平外就會(huì)有2份、3份甚至更多，稱2次才能確保淘汰3份，稱3次才能確保淘汰5份……顯然沒有分成3份效率高。

課上到此處，學(xué)生的心中如撥云見日、茅塞頓開。

四、課后深化本源性問題，促進(jìn)師生多思喜悟

“本源性問題”直指主題的本源、源頭，緊扣主題的核心和本質(zhì)，有些是靈感閃現(xiàn)瞬間的頓悟，有些是厚積知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)后的薄發(fā)，有些是苦思冥想后的感召，有些是交流互動(dòng)中的電閃，課堂上不能完全產(chǎn)生或解決，需要課后的深化和升華。

1.在“回頭看”中，反思本源性問題?；仡^看，是重要的學(xué)習(xí)方法和研究方法，也是反思最主要的方式。通過回頭看，能幫學(xué)生找到知識(shí)之根，道理之源，焊接起新知與舊知的整體結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)仍以“三角形的分類”為例，教師可以用這樣的本源性問題，鼓勵(lì)學(xué)生課后“回頭看”：“為何每一個(gè)三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角”“你能畫出或擺出有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角的三角形嗎”。讓學(xué)生課后實(shí)踐擺畫，自主得出：無論怎樣擺，始終不能得到有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角的三角形，因?yàn)橐氘嫵龌驍[出三角形，必須要有兩個(gè)銳角來幫忙，大三角形是這樣，小三角形也是這樣，冥冥之中，仿佛有一種命運(yùn)在安排，任何三角形都一樣。這樣的回頭看，既內(nèi)化了學(xué)生對(duì)三角形“角”的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，也為學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和積累了經(jīng)驗(yàn)。

2.在生活中，挖掘本源性問題的另類價(jià)值。帶著數(shù)學(xué)的本源性問題，到生活中去找原型，不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，還可以體驗(yàn)為什么要數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)化的價(jià)值在哪里。如“三角形的高”的教學(xué)，教師要求學(xué)生課后在生活中去找“高”的原型，探究生活中的“高”與數(shù)學(xué)上的“高”的區(qū)別。

通過調(diào)查分析、查閱資料，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：生活中的高是垂直方向上的長。而數(shù)學(xué)上的“高”是進(jìn)一步研究圖形的參數(shù)，針對(duì)具體的三角形來說，就是上方頂點(diǎn)與下方邊線間的垂直距離，左方頂點(diǎn)與右方邊線間的垂直距離，右方頂點(diǎn)與左方外邊線間的垂直距離，一共有3條；再看平行四邊形，它上下方向邊線間的垂直距離是高，左右方向邊線間的垂直距離也是高，共有兩類，每類又是分別相等的，每類又分別掌控著兩條外邊線的命運(yùn)；但梯形卻不一樣，只有互相平行方向上的兩條邊線間的垂直距離才是“高”，不平行的邊線間的垂直距離，因其距離不等，卻不能叫“高”。而一般四邊形，我們根本不去研究它的“高”，因?yàn)槠洳荒転檫M(jìn)一步研究圖形提供幫助。由此看來，數(shù)學(xué)上的“高”與生活中的“高”的交集是“垂直”，不同點(diǎn)是生活中的“高”是垂直方向上的長度，數(shù)學(xué)上的“高”是隱藏在圖中的、控制著邊線距離的一個(gè)量，它隨著方向的變化而變化，為進(jìn)一步研究圖形而設(shè)定，它是對(duì)生活中的“高”的一種抽象或數(shù)學(xué)化，對(duì)進(jìn)一步研究圖形價(jià)值巨大。

作為數(shù)學(xué)教師，我們一定要認(rèn)識(shí)到“本源性問題”是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)技能的“藍(lán)本”，是數(shù)學(xué)思想方法的重要“載體”，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新意識(shí)的“橋梁”。教學(xué)中，我們要充分利用數(shù)學(xué)的“本源性問題”，使學(xué)生獲得有價(jià)值的副產(chǎn)品，幫助學(xué)生透徹理解問題的實(shí)質(zhì)，尋求問題之間的聯(lián)系，把握知識(shí)的來龍去脈，實(shí)現(xiàn)課堂上師生共同的“多思喜悟”。

（四川省儀隴縣新政鎮(zhèn)小學(xué)校 637676）