Orlicz函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用

韓亞洲

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊830046)

?

Orlicz函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用

韓亞洲

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊830046)

[摘要]討論了一類凸函數(shù)的基本性質(zhì),并應(yīng)用這些基本性質(zhì)證明了Orlicz-Lorentz空間上的一個(gè)插值定理.

[關(guān)鍵詞]凸函數(shù);Orlicz-Lorentz空間; 不等式

凸函數(shù)是分析學(xué)中的一類非常重要的函數(shù), 在數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等教材中都可以找到它的定義和應(yīng)用. 應(yīng)用它的性質(zhì)不僅可以準(zhǔn)確地描述函數(shù)的圖像, 還可以證明不等式. 同時(shí)凸函數(shù)也是凸分析的重要研究對象,它的研究結(jié)果在許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用.例如, 凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃論、 函數(shù)空間論和最優(yōu)控制等學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用.

在不同版本的教材及參考書中, 其定義形式也有區(qū)別條件有強(qiáng)有弱, 彼此之間又密切相關(guān).大部分教材中只介紹了凸函數(shù)的定義和基本性質(zhì), 對凸函數(shù)的介紹都不是很系統(tǒng),本文將對凸函數(shù)的定義和Orlicz函數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用作簡要的介紹.

定義1[1]設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù). 若對I上任意兩點(diǎn)x,y和實(shí)數(shù)0

f(sx+(1-s)y)≤sf(x)+(1-s)f(y),

則稱f為區(qū)間I上的(下)凸函數(shù).

1Orlicz函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

在這一節(jié)中將討論Orlicz函數(shù)的基本性質(zhì).令φ:[0,∞)→[0,∞)為Orlicz函數(shù),即φ為連續(xù)遞增的凸函數(shù)且滿足

由凸函數(shù)的性質(zhì)可知,φ在除去一個(gè)可數(shù)集后φ′(t)存在,在這可數(shù)個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn)處, 取其右導(dǎo)數(shù)，這樣就保證了φ′(t)在任意點(diǎn)都存在. 容易驗(yàn)證φ′(t)是單調(diào)增函數(shù)且φ′≥0.設(shè)φ為Orlicz函數(shù), 令

則M(t,φ)是關(guān)于自變量t的有限的次可乘函數(shù), 即M(ts,φ)≤M(t,φ)M(s,φ).定義

由文獻(xiàn)[2]中的定理11.3可知對足夠大的t，有tqφ≤M(t,φ)≤tqφ+ε；對足夠小的t,有tpφ≤M(t,φ)≤tpφ-ε.更多有關(guān)次可乘函數(shù)的性質(zhì)見文獻(xiàn)[2].

稱φ∈Δ2, 若φ(2t)≤Cφ(t),t>0對某個(gè)常數(shù)C>1成立. 設(shè)A,B 是兩個(gè)常量,記AB, 若存在某個(gè)常數(shù)C滿足A≤CB.設(shè)φ,ψ都是Orlicz函數(shù), 記φ≈ψ, 若存在常數(shù)Ci>0,i=1,2,3,4,使得C1φ(C2t)≤ψ(t)≤C3φ(C4t)，t>0成立.

下面列出的Orlicz函數(shù)的性質(zhì)可以在文獻(xiàn)[2, 3]中找到,但有的沒有詳細(xì)的證明過程. 為了方便在這里我們寫出了詳細(xì)的證明.

性質(zhì)1(i) 設(shè)φ,ψ都是Orlicz函數(shù). 若φ≈ψ,則有pφ=pψ,qφ=qψ；

(ii) 設(shè)φ是Orlicz函數(shù), 若ψ(x)=xnφ(x),則有n+pφ=pψ, n+qφ=qψ.

證(i) 見文獻(xiàn)[2].

(ii) 由條件可得M(t,ψ)=tnM(t,φ),然后應(yīng)用定義直接計(jì)算可知結(jié)論成立.

(ii) 設(shè)Orlicz函數(shù)滿足Δ2條件, 則1≤pφ≤qφ<∞且pφ=pφ′+1，qφ=qφ′+1.

和

因此qφ≤a<∞.

反之,若qφ<∞,則存在常數(shù)00.因此當(dāng)t≥2時(shí),有φ(2u)≤φ(tu)≤tbφ(u),u>0.故φ∈Δ2.

證(i) 若r0使得pφ-ε>r.從而存在足夠小的t0,使得當(dāng)0≤t≤t0<1時(shí)，有M(t,φ)≤tpφ-ε.因此φ(tu)≤tpφ-εφ(u),u≥0,t∈[0,t0]. 若t∈[t0,1],則

(1)

進(jìn)而存在常數(shù)C>0使得φ(tu)≤Ctpφ-εφ(u),u>0,t∈[0,1].故

(ii) 若qφ0使得qφ+ε0滿足φ(tu)≤Ctqφ+εφ(u),u>0,t∈[1,∞).直接計(jì)算可得

2Orlicz函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用

λt(f)=m({s∶|f(s)|>t})

和

μt(f)=inf{s>0∶λs(f)≤t}.

(2)

定義2稱映射T:L0→L0為擬線性算子, 若

(i) |T(αf)|≤|α||T(f)|,f∈L0,α∈；

(ii) 存在常數(shù)K>0使得對任意的f,g∈L0滿足|T(f+g)|≤K(|Tf|+|Tg|).

特別地, 當(dāng)K=1時(shí)稱T為次線性算子.

定理1設(shè)φ∈Δ2是Orlicz函數(shù)且1

則對任意的f∈Λφ,ω1有

(3)

因此,應(yīng)用等式(2)和Orlicz函數(shù)的Δ2條件可得,

再結(jié)合不等式不等式(3)和W0的Δ2條件可得

進(jìn)而可得

又因?yàn)棣諠M足Δ2條件,故pφ=pφ′+1, qφ=qφ′+1且φ′單調(diào)遞增.應(yīng)用性質(zhì)3及等式(2)可得

[參考文獻(xiàn)]

[1]歐陽光中,朱學(xué)炎,金福臨,等.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].3版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]MaligrandaL.Orliczspacesandinterpolation[M].Brasil:Universid-adeEstadualdeCampinas, 1989.

[3]BekjanTN,ChenZ.InterpolationandΦ-momentinequalitiesofnoncommutativemartingales[J].ProbTheoRelaFields, 2012,152(1-2):179-206.

[4]LiH.Hardy-typeinequalitiesonstrongandweakOrlicz-Lorentzspaces[J].SciChinaMath, 2012,55(12):2493-2505.

TheBasicPropertiesofaClassofConvexFunction

andItsApplications

HAN Ya-zhou

(CollegeofMathematicsandSysitemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,China)

Abstract:Thispaperpresentssomebasicpropertiesofaclassofconvexfunctions.Asanapplication,weproveainterpolationtheoremforOrlicz-Lorentzspaces.

Keywords:convexfunction;Orlicz-Lorentzspaces;inequalities

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401507); 新疆大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目XJU-SRT-14048

[收稿日期]2014-07-20

[中圖分類號]O174.13

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)01-0038-04