柳暗花明又一村

羅彩霞

摘 要：越來越多的高考題目不只是考查學(xué)生的某一種解題能力，而是利用其精妙的構(gòu)思、靈活的解法考查學(xué)生的綜合解題能力。導(dǎo)數(shù)問題的綜合性比較強(qiáng)，是高考試題中的壓軸題，學(xué)生在解題時往往束手無策。要想順利解題，就必須掌握其中的解題規(guī)律，將其化難為簡、化繁為易，進(jìn)而解決之。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);不等式;零點

中圖分類號：G63 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1673-9132（2017）05-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.026

導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點，也是近幾年高考的熱點。縱觀近幾年的高考導(dǎo)數(shù)試題，我們不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合性問題尤其頻繁，這已成為考生們的“老大難”問題。下面筆者結(jié)合近幾年高考試題，談?wù)剬?dǎo)數(shù)問題的基本類型及解題策略。

一、題根（2013年高考試題）

1.證明：當(dāng)時，;

2.若不等式對恒成立，求a取值范圍。

上題是2013年高考導(dǎo)數(shù)綜合問題的一個典型代表。分析2013年各省市的高考數(shù)學(xué)試題，導(dǎo)數(shù)綜合問題基本都是試卷中的壓軸大題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，是高考的難點。2013年的導(dǎo)數(shù)問題主要考查內(nèi)容為求曲線的切線方程、判斷函數(shù)性質(zhì)、曲線的零點個數(shù)問題及不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合問題等。

二、題型歸納及解題規(guī)律

類型一：不等式的證明問題。

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。通過利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。

例1.求證：不等式在上成立。

證明：構(gòu)造函數(shù)，考查的符號知在（）上單調(diào)遞增，

又因為，所以，

即成立，

又構(gòu)造函數(shù)，考查，知在（）上單調(diào)遞增，

又因為，所以，即成立，

綜上所述，原命題成立。

變式：設(shè)，證明：當(dāng)時，。

證明：令，則

，

令，則當(dāng)時，考查的符號知在（1，3）內(nèi)是減函數(shù)，

又，所以，

于是當(dāng)時，。

評析：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是通過觀察不等式后構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法去研究函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最值，經(jīng)過驗證從而達(dá)到證明不等式的目的。

類型二：不等式恒成立問題。

例2.已知函數(shù)其中，設(shè)函數(shù)當(dāng)時，若總有成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：當(dāng)a=2時，，，

考慮的符號得其單調(diào)性，從而知在區(qū)間（0，1）上有，

而“總有成立”等價于“在（0，1）上的最大值不小于在[1，2]上的最大值”。

又在[1，2]上的最大值，， ，則。

變式：已知函數(shù)，若，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。

解析：函數(shù)的定義域是，因為，所以b=2a-1。

所以，要使在上是單調(diào)函數(shù)，

只要或在上恒成立，

對a進(jìn)行分類討論，得出a=0、a>0 、a<0時的符號，進(jìn)而得出其單調(diào)性知：a的取值范圍是。

評析：不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)的范圍，通常的方法是通過變量分離將問題轉(zhuǎn)化成（或 ）的恒成立問題，只需求出的最大值（或的最小值）， （）即可。

類型三：曲線的零點個數(shù)問題。

例3.已知函數(shù)，，是否存在實數(shù)m，使得的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點，若存在，求出m的范圍;若不存在，說明理由。

解析：欲使、有三交點，必有三實根，即有三個實根。

設(shè)，

考慮函數(shù)的單調(diào)性：，令得二根：，

當(dāng)時，時，時 ，

于是得到的單調(diào)性：單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

時取得極大值，時極小值，要使有三實根，

只需將，帶入即得：且即。

變式：已知函數(shù)是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.

（1）求的解析式;

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，求出m的值;若不存在，說明理由。

解析：（1）因為是二次函數(shù)，且<0的解集是 （0，5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結(jié)合法得出的解析式為=2x（x-5）=2x2-10。

（2）方程等價于方程 。

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）的符號得出其單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點問題得出：在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間，內(nèi)沒有實根，所以存在唯一的自然數(shù)m=3，使得方程在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根。

評析：對于解決陌生函數(shù)的零點個數(shù)問題，若能把已知函數(shù)分解成兩個熟悉的函數(shù)，那么可利用構(gòu)造函數(shù)法化歸為求兩個熟悉函數(shù)圖象的交點個數(shù)求解;對于一元高次函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)圖象的特征，作出函數(shù)的圖象，確定圖象與軸交點的情況求解。

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中，我們必須尋找其中的規(guī)律，在備考時做到有的放矢、重點突破，這就要求備考的教師及時地進(jìn)行總結(jié)、歸納，理清思路后引導(dǎo)學(xué)生掌握并應(yīng)用。