《高等數學》與《復變函數》之關系探討

王少輝　王洪濤

摘要：在《高等數學》的授課過程中發(fā)現，有些高等數學問題用實變函數知識解釋不清，需要用到復變函數的相關理論才能夠清楚地解釋此類問題。而在講解《復變函數》的時候，由于其內容絕大多數都與《高等數學》所講授內容是類似的，所以會出現重復講解、比對講解等情況，本文針對這種情況，探討了在《高等數學》教學中把《復變函數》穿插進去講授的必要性和可行性。

關鍵詞：高等數學；復變函數；類比；對比

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）04-0063-02

《復變函數》是自然科學與工程技術中常用的數學工具，它是微分方程、奇異積分方程、計算數學和概率論等數學分支的主要解析方法，又是空氣動力學、流體力學、彈性力學、電磁學和熱力學等學科進行幾何定性研究的重要方法。在培養(yǎng)學生的知識結構體系、解決問題的實際能力、具備良好的思維品質、具備創(chuàng)新精神等方面起著至關重要的作用。因此，學好《復變函數》課程對于在校大學生和科學技術工作者是十分重要的，教學質量的高低、教學效果的好壞直接影響到學生對這門課程以及后續(xù)課程的學習。

作為高校的一門基礎理論課程，《高等數學》占據著無與倫比的重要地位，它所蘊含的數學理念和數學方法深深影響著后續(xù)數學類課程和其他專業(yè)課程的學習，尤其對于與實變函數有著密切聯(lián)系的復變函數而言更是如此?！稄妥兒瘮怠肥恰陡叩葦祵W》的后續(xù)課程，是在實變函數的基礎上延伸出來的一門課程，它們的聯(lián)系是很緊密的，復變函數中的許多理論、概念和方法是實變函數在復數域的推廣，所以它的許多概念和性質與《高等數學》中所學習的內容既有相同之處也有不同之處，它們的區(qū)別就在于前者是研究復數域上的函數，尤其是解析函數的性態(tài)，后者是研究實數域上的函數性態(tài)，這樣我們在學習《復變函數》課程中就需要對比著《高等數學》的課程內容來進行學習了。由于《高等數學》中涉及到的新的概念比較多，許多學生對于這些概念沒有具體化的認識，比如極限的ε-δ概念、定積分的概念等，我們需要的也不僅僅是學生了解這個概念就行了，而是要讓學生應該能夠完全理解這些概念的本質，了解其所蘊含的本質含義，進而能夠抓住其精髓，從而進一步地把實變函數的概念、性質等推廣到復變函數上來，抓住其本質后就能夠具體地了解哪些性質是與實變函數相同的，不需要再重新掌握；而哪些性質并不是其本質性質，需要重新給定義一下。

而在進行《高等數學》教學過程中，有同學問到很多類似的問題，這些問題用高等數學知識是沒有辦法解釋的，也舉不出有效又簡單的實例，但是如果用《復變函數》的結果去解釋，學生就很容易接受了，所以我們是否可以認為，在大學時期的《高等數學》教學中可以把《復變函數》穿插在《高等數學》教學中去講授呢？尤其是針對一些采取了《高等數學》分級教學的學校，對于那些對數學要求較高的院系，一般是在大學一年級學習一年《高等數學》，在大學二年級開設《復變函數》，但是講解《復變函數》的時候，學生的《高等數學》知識都忘得差不多了，有近一小半的課堂時間是在給學生復習《高等數學》的知識，這樣就大大降低了課時的利用率，那么應該如何把《高等數學》的教學內容與《復變函數》內容更有效地結合起來就成了現在需要解決的問題。下面從幾個方面簡單說明一下把《高等數學》的教學內容與《復變函數》內容結合起來講授的必要性。

一、基本初等函數

對于冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數這五類基本初等函數而言，學生在初等數學中的接觸是比較多的，而在《高等數學》中也是用的比較多的，所以在大學一年級剛開始講解《高等數學》時，一般都會再給學生復習一下這些函數的一些相關公式和性質，尤其是現在初等數學中已經把余切函數、正割函數、余割函數以及反三角函數的部分內容給刪除了，所以會重新給學生補充這部分的內容。而在講解《復變函數》的時候，我們可以再一遍地重新定義這五類基本初等函數，講解了他們的基本性質，如果能夠對照著講解，其實講一遍就可以了，然后說明當《復變函數》里面的f（z）中的z限制在實數范圍內時，其實就是《高等數學》中所講解的基本初等函數了，然后把在實數范圍內和復數范圍內所具備的不同性質做一個對比，比如指數函數的周期性、三角函數的有界性等在實變函數和復變函數中的不同的性質專門強調一下，通過類比和對比，相信學生能夠更快、更好地掌握這些基本初等函數的性質。

二、多元函數極限

在講解《復變函數》中的極限定義的時候，很容易能夠發(fā)現其實這個定義和二元函數極限的定義本質上是完全相同的，而且通過證明我們發(fā)現，要討論一個復變函數w=f（z）的極限和連續(xù)性就需要討論兩個二元函數u=u（x，y）和v=v（x，y）的極限和連續(xù)性，所以如果在講解《高等數學》二元函數極限定義的時候教師可以提一句?！稄妥兒瘮怠愤@一部分函數的極限完全可以用十分鐘的時間展示給學生，再給出幾道相關的例子，用實際例子來展示其共性，因此根本就不需要在大學二年級開設《復變函數》課程的時候再單獨講解這部分內容，同時講之前還需要再給學生復習一下多元函數的極限這部分內容。這一部分完全可以合并到一起作為一個知識點。

三、導數

雖然從形式和求導公式、求導法則上復變函數w=f（z）和一元函數y=f（x）完全相同，但是由于極限的要求不同，在復變函數w=f（z）的導數定義中，Δz→0的方式是任意的，而在一元函數y=f（x）的定義中，Δx→0的方式要簡單的多，所以說，復變函數在一點可導的條件下更為嚴格，從而復變函數的導數具有不少特殊的性質。而Δz→0的方式是任意的，我們在這里可以理解為類似于二元函數的極限中（x，y）→（x0，y0）的方式是任意的，而在前面我們有了多元函數極限定義之后再來解釋復變函數w=f（z）的導數定義就更容易解釋了。在導數定義的基礎上復變函數還給出了解析函數的定義，解析函數的性質要比可導函數的性質更實用、更廣泛。比如說：解析函數的導數仍然解析。這條性質對于《高等數學》中函數的導數簡直是不可思議的一個結論，因為可導函數的導數連續(xù)我們都不能保證，更不要提可導函數的導數這個概念了。而且在《高等數學》中，有很多函數也是具備解析這個性質的，那么在對比《復變函數》中的一點可導和在《高等數學》中的一點可導的性質的時候就要區(qū)分是在實數域中討論還是在復數域中討論，從而提醒學生在搞科學研究與實際結合的時候要注意其使用區(qū)域。同時在《復變函數》中有了有關解析函數的相關結論，對于一個解析函數我們就可以無限求導下去，而且后面設計到的泰勒級數的展開條件就可以忽略不計了，不需要像在《高等數學》中的泰勒級數展開的時候一樣再強調要求函數具有無限階的導數才能寫出其泰勒級數了。endprint