一種識別位場場源的混合小波方法

劉彩云 （長江大學(xué)一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州434025）

重磁位場勘探方法是一種成熟的勘探手段，被廣泛應(yīng)用于油氣勘探、金屬礦勘察等領(lǐng)域［1，2］。場源識別是重磁資料定量解釋的重要任務(wù)之一。近十幾年來，連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform，CWT）被成功用于位場場源識別問題（識別場源位置和場源類型）［3～7］，該方法具有計算快速、抗噪聲能力強，識別準(zhǔn)確等優(yōu)點［6］。

連續(xù)小波變換位場場源識別方法中，可選擇泊松核的任意階水平導(dǎo)數(shù)或垂直導(dǎo)數(shù)作為母小波［7］。從小波分析理論角度看，母小波的選擇對場源識別結(jié)果有很明顯的影響。為避免人為選擇母小波的主觀影響，有必要研究母小波的選擇方法，提高連續(xù)小波變換識別場源的準(zhǔn)確性。為此，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，提出一種適用于無場源規(guī)模等先驗信息的混合小波方法。

1 連續(xù)小波變換

在位場問題中，設(shè)觀測數(shù)據(jù)用函數(shù)φ0（x）（x∈R）表示，連續(xù)小波變換定義如下［4］：

式中，a≥0是尺度因子；b∈R是位置因子；φ0（x）是被分析函數(shù)；g（x）是母小波函數(shù)；g（x）表示g（x）的復(fù)共軛；Wg｜s（b，a）是函數(shù)φ0（x）的小波變換。

Moreau等利用小波變換進行齊次場源識別的研究工作是開創(chuàng)性的，其主要方法步驟可概括如下。對于位于x＝0，z＝z0的齊次場源，在上半空間（a＝－z＞0）中小波變換系數(shù)滿足以下雙尺度關(guān)系［3］：

式中，β＝α－k＋1，α為場源齊次階數(shù)；k為所選擇母小波的階數(shù)；式（2）左邊位置因子和尺度因子分別為x，a；式（2）右邊位置因子和尺度因子分別為x（a＇＋z0）／（a＋z0），a＇。

式（2）在（x，a）平面定義了滿足z／（z0＋a）為常數(shù)的一組直線，這些直線相交于下半空間中的點（0，－z0）。從幾何上看，小波變換的系數(shù)呈現(xiàn)出一組圓錐形結(jié)構(gòu)，圓錐的頂就是場源所在的位置。

由式（2）可知，連續(xù)小波變換系數(shù)的極大值線的交點就是場源位置（齊次場源中心點的水平位置和埋深），通過選取2條能量最強的小波系數(shù)極值線，求其交點，可確定場源位置。

連續(xù)小波變換識別場源的算法步驟如下：

步1 對位場觀測數(shù)據(jù)做不同尺度下的CWT，得到CWT系數(shù)矩陣；

步2 在系數(shù)矩陣中，找出極值點連成的極值線（可能為多條）；

步4 根據(jù)構(gòu)成一條極值線的多個極值點，用一次多項式擬合出極值線的直線方程Wa，b＝kb＋a，其中，k為擬合出的直線斜率；

步5 求上述2條極值直線的交點，交點的橫、縱坐標(biāo)分別是場源的水平位置、場源深度。

2 混合小波方法

連續(xù)小波變換位場場源識別方法中，選擇泊松核的導(dǎo)數(shù)作為母小波稱為泊松小波［3］。

泊松核p（x）的定義如下：

式中，x是空間位置向量；n是觀測數(shù)據(jù)維數(shù)。

在頻率域，尺度為a的k階水平泊松小波gku（u，a）、k階垂直泊松小波gkz（u，a）分別定義如下［7］：

式中，u是X 方向的波數(shù)；P（u，z）是尺度為z的P（x，z）的頻率域表達式。

為方便描述，以下稱泊松核的k階水平導(dǎo)數(shù)稱為Hk母小波，k階垂直導(dǎo)數(shù)稱為Vk母小波。由小波分析理論可知，不同的母小波，其中心頻率不同，對不同頻率的信號識別能力也不同。泊松小波從H1到H5，中心頻率逐步增大；從V1到V5，中心頻率也是逐步增大。選用不同的母小波，會導(dǎo)致場源識別結(jié)果偏大或者偏小。如果能事先知道場源的規(guī)模，正確的選擇母小波，則能夠得到最佳的場源識別結(jié)果。

實際上，事先并不知道場源的規(guī)模，也就無法根據(jù)場源規(guī)模選擇合適的母小波。為此，筆者分別采用多種母小波進行場源識別，然后計算出場源識別結(jié)果的均值和方差，以均值作為最終場源識別結(jié)果，以方差描述最終場源識別結(jié)果的可信度。這種綜合采用多種母小波進行場源識別的方法筆者稱之為混合小波方法（Hybrid Wavelete Method，HWM）。

3 數(shù)值試驗

筆者設(shè)計如下組合模型，分析不同母小波對場源識別結(jié)果的影響。理論模型為2個不同截面大小，不同埋深的水平無限延伸的水平圓柱體。圓柱體1截面半徑60m，埋深110m，水平位置＝1000m，圓柱體2截面半徑10m，埋深50m，水平位置1400m。2個圓柱體的有效磁化強度1A／m，有效磁化強度傾角90°，地磁場傾角90°，有效傾角90°。

3.1 無噪聲數(shù)據(jù)試驗結(jié)果

分別采用H1～H5、V1～V5作為母小波，尺度因子選擇為5～80，連續(xù)小波變換識別場源結(jié)果如圖1所示，其中，圖1（a）為理論模型的磁異常，圖1（b）為連續(xù)小波變換識別場源結(jié)果。場源識別結(jié)果整理如表1所示。

從表1可以看出，由疊加的磁異常做場源識別時，對于大圓柱體場源（大尺度區(qū)域異常），無論采用何種母小波，均能夠準(zhǔn)確的識別出場源的水平位置和垂直埋深；對于小圓柱體場源（小尺度局部異常），采用不同的母小波，能準(zhǔn)確識別小圓柱體場源的水平位置（相對誤差δ≤0.36%），但場源埋深的識別結(jié)果差異較大（相對誤差7.98%≤δ≤53.26%）。通過分析可知，小尺度局部異常受大尺度區(qū)域異常干擾，使其小波系數(shù)的極值線的斜率發(fā)生變化，導(dǎo)致深度識別產(chǎn)生較大誤差。而當(dāng)2條小波系數(shù)極值線的斜率同時變換時（例如同時變?。m然場源深度識別結(jié)果會變小，但仍然能夠正確識別出水平位置。

圖1 連續(xù)小波變換識別疊加復(fù)雜磁異常的場源

表1 理論模型無噪聲觀測數(shù)據(jù)采用不同母小波場源識別結(jié)果

采用HWM方法進行場源識別，結(jié)果如表2所示。對于大尺度區(qū)域異常（大圓柱體），水平位置識別相對誤差為δ≤0.005%，埋深識別相對誤差δ≤0.02%；對于小尺度局部異常（小圓柱體），水平位置識別相對誤差δ≤0.05%，埋深識別相對誤差δ≤8.45%，明顯好于采用單一小波的場源識別結(jié)果。

表2 理論模型無噪聲觀測數(shù)據(jù)采用HWM方法場源識別結(jié)果

3.2 含噪聲數(shù)據(jù)試驗結(jié)果

同樣采用上述理論模型，在觀測數(shù)據(jù)中疊加10%的隨機噪聲，采用H1～H5、V1～V5母小波的場源識別試驗結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，疊加10%隨機噪聲后，采用H1～H5、V1～V5母小波進行場源識別時，大圓柱體的水平位置識別相對誤差δ≤0.37%，埋深識別相對誤差δ≤20.6% ；小圓柱體水平位置識別相對誤差δ≤0.91%，埋深識別相對誤差δ≤45.5%。說明即使在有噪聲情況下，不論采用何種母小波，均能夠準(zhǔn)確的識別出不同尺度、不同埋深的場源的水平位置；而選擇不同的母小波，對于大尺度區(qū)域異常場源埋深識別結(jié)果影響不大，但對于小尺度局部異常場源埋深識別結(jié)果影響巨大。

采用筆者提出的混合小波方法（HWM）進行場源識別，試驗結(jié)果如表4所示。通過表4可以看出，對疊加噪聲后的觀測數(shù)據(jù)，采用HWM方法進行場源識別，識別大圓柱體水平位置的相對誤差為0.05%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.931，識別埋深結(jié)果相對誤差為5.448%，標(biāo)準(zhǔn)差為9.027；識別小圓柱體水平位置的相對誤差為0.098%，標(biāo)準(zhǔn)差為6.157，埋深識別結(jié)果相對誤差為5.890%，標(biāo)準(zhǔn)差為12.811。表明疊加噪聲后，HWM方法仍然能夠較準(zhǔn)確的估計出不同大小、埋深的異常體的水平位置和垂直埋深。比較無噪聲數(shù)據(jù)識別結(jié)果（見表2）與10%噪聲數(shù)據(jù)識別結(jié)果（見表4）可以看出，兩者識別結(jié)果的相對誤差、標(biāo)準(zhǔn)差均相差不大，說明HWM方法具有很強的抗噪聲能力。

表3 理論模型觀測數(shù)據(jù)疊加10%隨機噪聲后采用不同母小波場源識別結(jié)果

表4 理論模型疊加10%隨機噪聲觀測數(shù)據(jù)采用HWM方法場源識別結(jié)果

4 結(jié)論

選用不同的母小波開展連續(xù)小波變換場源識別結(jié)果工作，研究不同母小波對識別結(jié)果的影響，得到如下結(jié)論：

1）對于不同埋深、不同尺度場源疊加的磁異常，小波變換場源識別方法能準(zhǔn)確識別大尺度區(qū)域異常的場源水平位置、場源深度和小尺度局部異常的水平位置，但不能準(zhǔn)確識別小尺度局部異常的場源深度。

2）選擇不同的母小波會導(dǎo)致場源識別結(jié)果偏小或者偏大，混合小波方法能抵消這些影響，克服人為選擇不同母小波對場源識別結(jié)果的影響，有效提高場源識別的準(zhǔn)確度和可靠性。

3）混合小波方法對疊加噪聲數(shù)據(jù)的識別結(jié)果仍然能達到較高的準(zhǔn)確度，具有很強的抗噪聲能力。

［1］Nabighian M N，Ander M E，Grauch V J S，et al，Historical development of the gravity method in exploration ［J］.Geophysics，2005，70（6）：63ND～89ND.

［2］Nabighian，M N，Grauch V J S，Hansen R O，et al，The historical development of the magnetic method in exploration ［J］.Geophysics，2005，70（6）：33ND～61ND.

［3］Moreau F，Gibert D，Holschneider M，et al，Identification of sources of potential fields with the continuous wavelet transform：Basic theory ［J］.Journal of Geophysical Research，1999，104（B3）：5003～5013.

［4］Sailhac P，Gibert D，Boukerbout H.The theory of the continuous wavelet transform in the interpretation of potential fields：a review ［J］.Geophysical Prospecting，2009，57：517～525.

［5］陳玉東.二維連續(xù)復(fù)小波變換識別重力場源 ［J］.物探與化探，2006，30（2）：141～147.

［6］劉彩云，姚長利.連續(xù)小波變換識別位場場源法的噪聲影響分析與尺度因子的選擇 ［J］.物探與化探，2014，38（3）：527～533.

［7］Mauri G.Multi－scale analysis of multiparameter geophysical and geochemical data from active volcanic systems ［D］.Earth Sciences－Simon Fraser University，2009 .