套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)力學(xué)模型解析解及有限元分析

袁軍，馮進(jìn)，劉華為，賀恒，余龍艷

（長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北荊州434023）

隨著石油工業(yè)的發(fā)展，深井、超深和大位移井，水平井?dāng)?shù)量越來越多，套管磨損問題越來越嚴(yán)重，它不僅影響油氣井設(shè)計(jì)和鉆井作業(yè)，而且可能引起套管破壞事故，由此造成重大經(jīng)濟(jì)損失［1，2］。對油氣田中固井后外擠載荷導(dǎo)致套管損壞的問題已進(jìn)行了一些研究，建立了套管－水泥環(huán)－地層相互作用的有限元力學(xué)模型，并考慮了其粘彈塑性特征，但基本是通過數(shù)值模擬計(jì)算得到的數(shù)值解而不是解析解［3～8］。為此，筆者運(yùn)用彈性力學(xué)理論對套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析。

1 套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)力學(xué)模型

套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)的固井質(zhì)量良好，套管無磨損且不發(fā)生塑性變形、水泥環(huán)完好封固不開裂，套管、水泥環(huán)與地層緊密連接，界面無間隙，無滑動，其交界處滿足徑向位移連續(xù)和徑向應(yīng)力連續(xù)的條件。同時(shí)，由于水泥環(huán)的粘接作用，套管的軸向位移受到限制，根據(jù)該系統(tǒng)的幾何特征和受力條件下，可以將套管－水泥環(huán)－地層之間力學(xué)性能研究簡化成一個(gè)平面應(yīng)變軸對稱彈性問題。套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)模型

2 套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)受力分析

設(shè)套管內(nèi)壁半徑為R1（mm），套管內(nèi)壓為p1（MPa），套管材料的彈性模量為E1（MPa），泊松比為ν1；套管與水泥環(huán)接觸處半徑為R2（mm），水泥石材料的彈性模量為E2（MPa），泊松比為ν2；水泥環(huán)與地層接觸處半徑為R3（mm），地層巖石材料的彈性模量為E3（MPa），泊松比為ν3；地層邊界半徑為R4（mm），邊界上均勻地層圍壓為p4（MPa）。根據(jù)平面應(yīng)變軸對稱彈性力學(xué)理論［9］，具體推導(dǎo)如下：

1）套管（R1≤r≤R2）：

2）水泥環(huán)（R2≤r≤R3）：

3）地層（R3≤r≤R4）：

式中，μi為徑向位移，mm；Ai為系數(shù)，MPa·mm2；Ci為系數(shù)，MPa；σir為徑向應(yīng)力，MPa；σiθ為周向應(yīng)力，MPa；σiz為軸向應(yīng)力（i＝1，2，3），MPa；r為考察點(diǎn)半徑，mm，可以結(jié)合邊界條件求解。

套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)邊界條件如下：

為方便計(jì)算和討論，簡化公式中變量，假設(shè)變量n1、n2、d1、d2、d3、D、a1、a2、b1和b2分別如下：

則：

式中，ni為系統(tǒng)材料彈性模量與泊松比簡化關(guān)系變量；di與D分別為系統(tǒng)各邊界間徑向位移函數(shù)變量；ai為組合系統(tǒng)邊界應(yīng)力函數(shù)變量；bi為系統(tǒng)邊界條件變量。

當(dāng)R1≤r≤R2時(shí)，考察點(diǎn)在套管上，半徑r處的徑向應(yīng)力σ1r、周向應(yīng)力σ1θ、軸向應(yīng)力σ1z和Mises應(yīng)力σ1VM分別由下式計(jì)算：

當(dāng)R2≤r≤R2時(shí)，考察點(diǎn)在水泥環(huán)上，半徑r處的徑向應(yīng)力σ2r、周向應(yīng)力σ2θ、軸向應(yīng)力σ2z和Mises應(yīng)力σ2VM分別由下式計(jì)算：

當(dāng)R3≤r＜∞時(shí)，考察點(diǎn)在地層上，半徑r處的徑向應(yīng)力σ3r、周向應(yīng)力σ3θ、軸向應(yīng)力σ3z和Mises應(yīng)力σ3VM分別由下式計(jì)算：

3 理論計(jì)算值與有限元計(jì)算值對比分析

選取?244.415mm套管，鋼級K55，井眼?311.15mm進(jìn)行分析，具體材料參數(shù)如表1所示（設(shè)均勻地層圍壓p4為20MPa，套管內(nèi)壓p1為40MPa）。

表1 模型介質(zhì)材料參數(shù)表

利用有限元軟件ANSYS對套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。有限元力學(xué)模型如圖2所示。根據(jù)巖石力學(xué)理論，當(dāng)?shù)貙舆吔绯^井眼半徑5～6倍以后，邊界條件對井壁周圍應(yīng)力影響很小，考慮到網(wǎng)格數(shù)量和計(jì)算機(jī)內(nèi)存，在三向應(yīng)力計(jì)算中，地層直徑取套管直徑的12倍［10］。單元類型選用Plane182，計(jì)算模型的左邊界和下邊界上施加對稱約束，在套管的內(nèi)壁面施加內(nèi)壓p1，在地層的外壁面施加均勻地層圍壓p4。模型網(wǎng)格如圖3所示。圖4所示為理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬計(jì)算結(jié)果的對比分析曲線圖。

圖2 三維軸對稱計(jì)算模型

圖3 計(jì)算模型網(wǎng)絡(luò)劃分

圖4 有限元解與理論解對比分析曲線圖

從圖4可以看出，套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)的理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬計(jì)算結(jié)果非常接近，數(shù)據(jù)變化規(guī)律一致，僅在套管斷面上周向應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果略有差異。周向應(yīng)力在套管－水泥環(huán)交界面和水泥環(huán)－地層交界面上是不連續(xù)的，說明套管－水泥環(huán)交界面和水泥環(huán)－地層交界面上不存在剪切應(yīng)力（見圖4（a））；徑向應(yīng)力在套管－水泥環(huán)邊界和水泥環(huán)－地層邊界上是連續(xù)的（見圖4（b））；Mises應(yīng)力在套管－水泥環(huán)邊界和水泥環(huán)－地層邊界上是不連續(xù)的（見圖4（c））。

表2所示為套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)關(guān)鍵點(diǎn)處應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。從表2可以看出，有限元計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的相對誤差較小，誤差最大的不超過3%，這表明有限元計(jì)算結(jié)果是可信的，也說明有限元中相關(guān)參數(shù)和條件的設(shè)置較為合理。

表2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果對比表

4 結(jié)論

1）對于套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)，其徑向應(yīng)力在套管－水泥環(huán)交界面和水泥環(huán)－地層交界面上是連續(xù)的，其周向應(yīng)力和Mises應(yīng)力在套管－水泥環(huán)交界面和水泥環(huán)－地層交界面上是不連續(xù)的。

2）實(shí)例分析結(jié)果表明，理論分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果對比的相對誤差較小，且各應(yīng)力趨勢完全一致，表明建立的套管－水泥環(huán)－地層完備系統(tǒng)彈性理論公式具有一定的精度和合理性。

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