論基于樣例學(xué)習(xí)理論的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

徐章韜

（華中師范大學(xué)　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北　武漢　430079）

論基于樣例學(xué)習(xí)理論的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

徐章韜

（華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430079）

樣例的選擇、組織、提煉、評價(jià)構(gòu)成了習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)的4個(gè)主要環(huán)節(jié).從正向思維、逆向思維和發(fā)散思維的角度，討論了習(xí)題課中3種類型樣例的配置.上述3種類型的樣例把教學(xué)理念工程化了，具有可操作性的特點(diǎn)，有利于學(xué)生思維的培養(yǎng).在這個(gè)過程中的教師的教學(xué)能力也會得到增長.

樣例；樣例學(xué)習(xí)理論；習(xí)題課

1　引　言

樣例又稱例子或范例，是一種能夠例說或表征較為抽象概念、原理的相對具體的實(shí)體，能夠展示同一類事物性質(zhì)的樣本，或值得模仿的榜樣[1].樣例學(xué)習(xí)又稱例中學(xué)，是學(xué)習(xí)者在對樣例的研習(xí)中習(xí)得樣例中蘊(yùn)含的知識、技能的過程.有研究認(rèn)為[2]，數(shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲取認(rèn)知技能的重要手段，數(shù)學(xué)樣例提供了專家解答問題的方法，可供學(xué)習(xí)者模仿和學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)樣例中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程變得容易；數(shù)學(xué)樣例為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供的原理線索，有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生；基于數(shù)學(xué)樣例的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有效地減輕了學(xué)習(xí)者的認(rèn)知負(fù)荷，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.樣例學(xué)習(xí)效應(yīng)的研究表明，和學(xué)生單純的問題解決學(xué)習(xí)（即做中學(xué)）相比，從樣例中進(jìn)行的學(xué)習(xí)不僅可以花費(fèi)較少的時(shí)間而習(xí)得相關(guān)的知識技能，而且還有較好的遷移效果，并有助于減輕學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)時(shí)的認(rèn)知負(fù)荷.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念課[3～4]、命題課[5]的研究已經(jīng)引起了學(xué)者們的關(guān)注，習(xí)題課是一種非常重要的課型，非常值得研究.基于樣例學(xué)習(xí)理論，研究習(xí)題中的樣例配置，探討習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)之道，是這里要解決的問題.

2　習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

習(xí)題課有4大目的——加深理解和掌握雙基；培養(yǎng)和發(fā)展能力；查漏補(bǔ)缺；培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)會思考[6].為了達(dá)到這個(gè)目的，要注意精心選擇好的習(xí)題作為樣例.“好題”應(yīng)具有以下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等；從培養(yǎng)思維能力的角度，則應(yīng)有：問題是自然的，對學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，表述形式簡潔、流暢、好懂等[7].然而每位教師對何為“好題”的理解是不一樣的.這就需要教師對習(xí)題具有一定的鑒別和欣賞能力，圍繞習(xí)題課的主旨，充分考慮樣例的選擇、組織、提煉、評價(jià).這是習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)中要考慮的4個(gè)主要環(huán)節(jié).

從問題出發(fā)，精心選擇樣例.問題是數(shù)學(xué)的心臟，以問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生思考，尋找問題的解決之道，引出樣例.對那些有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生，從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)，應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系”、“空間形式”、“數(shù)形結(jié)合”和“公理化思想”這4條主線，讓他們有機(jī)會體會和認(rèn)識一些數(shù)學(xué)本源性問題.在日常教學(xué)中，應(yīng)以新知識為載體，讓學(xué)生解決一些知識發(fā)展中的基本問題[8].這樣的問題才是精心選擇的樣例.通過解剖“麻雀”的方式說明樣例的特征，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握樣例，讓學(xué)生通過樣例的學(xué)習(xí)，逐漸學(xué)會如何發(fā)現(xiàn)和提出問題、如何獲得數(shù)學(xué)對象、如何構(gòu)建研究線索以及掌握解決問題的基本方法等為目標(biāo)，即要讓學(xué)生通過解題逐步學(xué)會認(rèn)識和解決問題的基本方法[8].

把樣例編織成一個(gè)體系，在體系中進(jìn)行有層次的訓(xùn)練.有了基本問題之后，通過變式，形成題組，能使學(xué)生在舉一反三中獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).通過變式，前后問題之間的關(guān)聯(lián)性更加突出，個(gè)案的本質(zhì)特征得到凸現(xiàn)，規(guī)律得到了明析.這有助于學(xué)生脫離孤立個(gè)案學(xué)習(xí)的弊端，形成進(jìn)退有序的思維方式，進(jìn)而把從個(gè)案中獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移到群組的學(xué)習(xí)中，嘗試尋找一般規(guī)律.學(xué)習(xí)需要一定的重復(fù)，但是這種重復(fù)更需要有一定的變化.把樣例編織成體系，正是為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)中不至于太過枯燥，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)在有變化的重復(fù)之中形成牢固的結(jié)點(diǎn).

引導(dǎo)學(xué)生提煉概括，總結(jié)一般規(guī)律.要在前兩個(gè)階段的基礎(chǔ)上找出樣例背后的規(guī)律性，使學(xué)生的認(rèn)識能更加深入，能化實(shí)為虛，超越具體而走向一般.在習(xí)題課的教學(xué)中要滲透數(shù)學(xué)的思想和方法，徹底解決學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象[9]讓學(xué)生明白“問題之解何處來”[10]，實(shí)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)的三大主張——從頭腦中找概念，概念要形成方法，方法要形成模式.不要追求沒有思想的技巧，要在吃透基本概念的基礎(chǔ)之上，尋找自然而然的解法.

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值思索.數(shù)學(xué)之用究竟何在？雖然華羅庚先生有精彩名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”，但大多數(shù)人對數(shù)學(xué)之用還是不甚了解.數(shù)學(xué)之用不僅僅在于她是自然科學(xué)、社會科學(xué)的“皇后”，更在于她能把人的心靈引領(lǐng)向上，脫離各種俗念.在這個(gè)階段，要引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)向關(guān)注自身的精神世界，使他們在獲得知識的同時(shí)，能關(guān)注知識背后的經(jīng)驗(yàn)、價(jià)值觀資源，并轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)自己的行為.要樹立“大學(xué)科”的觀念，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的思維過程、方法策略內(nèi)化為學(xué)生走向社會，解決具體問題的基本素質(zhì)、基本態(tài)度及基本思想[11].

如此，習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)就從單純的知識教育走向了蘊(yùn)知識、能力、經(jīng)驗(yàn)、價(jià)值觀資源、個(gè)性品質(zhì)塑造于一體的素質(zhì)教育了.

3　教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中的樣例配置

數(shù)學(xué)教學(xué)研究不能理念化，要能開得出解決具體問題的處方”.上面從理論上闡述了習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)的4個(gè)環(huán)節(jié)，要把上述理念轉(zhuǎn)化具體可操作的教學(xué)行為，還需要善于配置習(xí)題，選好樣例，使理念走向工程化的教學(xué)實(shí)踐之中.從訓(xùn)練思維的角度而言，在習(xí)題課中要圍繞一個(gè)中心，遵循由淺入深，由簡到繁，由表及里的原則，從正向思維、逆向思維、發(fā)散思維的角度配置習(xí)題，使這些習(xí)題構(gòu)成一個(gè)系列，形成樣例，使之既能體現(xiàn)學(xué)生思維的多向性，也能訓(xùn)練學(xué)生架設(shè)由已知，經(jīng)可知，達(dá)未知的橋梁，創(chuàng)造新的思路和解法的能力，提高問題解決的科學(xué)性和藝術(shù)性，增強(qiáng)問題解決的意識和本領(lǐng).

3.1配置正向思維的樣例

根據(jù)安德森的ACT-R理論，在樣例學(xué)習(xí)的最初階段，應(yīng)該為學(xué)生呈現(xiàn)一些典型的樣例，當(dāng)他們掌握了相應(yīng)的陳述性知識之后，再讓學(xué)生進(jìn)行大量的練習(xí)，從而幫助他們將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識，形成問題解決的技能.正向思維的樣例，大都是概念、定理、公式和法則的直接應(yīng)用，不算太難，有助于陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)化，有助于問題解決技能的形成.

配置正向思維的樣例，其操作要點(diǎn)在于“揉”，體現(xiàn)思維的循序漸進(jìn)性.在配置正向思維的樣例時(shí)，要注意新舊知識的交叉滲透，就像滾雪球一樣，重在一個(gè)“揉”字，使學(xué)生在不同的情境中，不同的變式中，看到其“形”雖不同，然其“實(shí)”一樣，讓學(xué)生明白問題解決的基本之法和一般套路，注重從基本出發(fā)，目標(biāo)指向問題解決思路的獲得.如：在一元二次不等式的解法中，可以配置如下樣例：

①是單純地解一元二次不等式，②、③是一元二次不等式和絕對值不等式的交叉滲透，其解法是由絕對值定義去掉絕對值符號這個(gè)“緊箍咒”，其中反映的學(xué)習(xí)方法是要求教師能在不同的情境中引導(dǎo)學(xué)生不斷地復(fù)習(xí)、鞏固已學(xué)的知識，掌握其精神實(shí)質(zhì)；反映的基本套路是，講退策，退到基本情形！俗話說得好，“挨一拳，得一著；挨十拳，變諸葛”，單個(gè)的、孤立的習(xí)題并不能成為樣例，有機(jī)聯(lián)系、拾級而上的習(xí)題組才構(gòu)成一個(gè)樣例.

配置正向思維的樣例，其操作要點(diǎn)還在于“拓”，體現(xiàn)思維的廣闊性.根據(jù)樣例學(xué)習(xí)的相似性理論，樣例學(xué)習(xí)是通過對多個(gè)相似的樣例進(jìn)行總結(jié)并歸納出原理而實(shí)現(xiàn)的.因此，在樣例學(xué)習(xí)過程中，至少要呈現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)樣例[12].學(xué)科的基本思考法，問題解決的一般思考法，要通過不同主題、不同情形的樣例反復(fù)向?qū)W生滲透，提高學(xué)生的遷移能力和認(rèn)知能力.如，單調(diào)性、奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其正向思維的題型大致有：① 證明函數(shù)的單調(diào)性（或奇偶性）；② 判斷函數(shù)的單調(diào)性（或奇偶性）；③ 討論函數(shù)的單調(diào)性（或奇偶性）.不管具體的習(xí)題以什么函數(shù)為背景或由什么函數(shù)復(fù)合而成，大都是依據(jù)定義作答，這就是通法.教師在講解具體的樣例后，要總結(jié)規(guī)律，不能就題論題，要使學(xué)生有發(fā)展的余地.還可以舉一些有關(guān)單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用的例子，把單調(diào)性與奇偶性有機(jī)地“揉”在一起.問題解決的基本思路還是回到定義上去！不妨把眼光放遠(yuǎn)大一點(diǎn)，不再局限于一類題型，一個(gè)樣例，而是要習(xí)得上述樣例中的精神實(shí)質(zhì)，就可以把上述樣例看作樣例空間中的一個(gè)點(diǎn)，通過類似樣例的學(xué)習(xí)來歸結(jié)經(jīng)驗(yàn).如，在講解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，正向思維的題型有3類：① 定直線（對稱軸）動區(qū)間型；② 動直線定區(qū)間型；③ 動直線動區(qū)間型.解決這3類問題的關(guān)鍵是考察對稱軸與閉區(qū)間的相對位置關(guān)系——對稱軸是穿過閉區(qū)間，還是在閉區(qū)間的左側(cè)或右側(cè).講清楚了第①類問題后，可請學(xué)生自行完成第②、③類問題.最后還要注意規(guī)律的總結(jié).二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，而且最值在3點(diǎn)（區(qū)間的左端點(diǎn)、右端點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)處）中的某兩點(diǎn)處取得.還可以進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，討論當(dāng)區(qū)間不閉時(shí)，上述結(jié)論是否成立.一石激起千層浪，勢必激起同學(xué)們強(qiáng)烈的探索激情.樣例學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)知過程，需要運(yùn)用頭腦中已有的知識來理解、同化、歸納、概括樣例內(nèi)部所蘊(yùn)含的圖式或規(guī)則[1]，樣例的變異性對學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)遷移的影響與遷移程度有關(guān)[13].吃透上述樣例中蘊(yùn)含的問題解決方法，對考察一般函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，有強(qiáng)烈的借鑒作用.對稱軸其實(shí)是過極點(diǎn)的、與水平軸重直的直線，考察對稱軸與閉區(qū)間的相對位置關(guān)系，其實(shí)就是考察極值點(diǎn)與閉區(qū)間的相對位置關(guān)系.處理二次函數(shù)的有關(guān)技法可以遷移到一般的函數(shù)極值問題上，體現(xiàn)了樣例對學(xué)生遷移心理的正向促進(jìn)作用.數(shù)學(xué)教學(xué)通過事先設(shè)計(jì)的樣例，將問題的初始狀態(tài)、中間狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)，以及從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)換成另一種狀態(tài)的過程均呈現(xiàn)給問題解決者，問題解決者從樣例中歸納出隱含的抽象知識，從而獲取認(rèn)知技能.歸結(jié)不同主題、不同情形樣例中的精神實(shí)質(zhì)，才能“厚書讀薄”.

總之，配置正面思維的樣例，不能就題論題，堆砌習(xí)題，要圍繞一個(gè)中心配置習(xí)題，要注重通法和基本套路，注重規(guī)律的總結(jié)；要注意樣例內(nèi)特征及樣例間特征，在不同的情境中反復(fù)滲透，使學(xué)生的遷移能力和認(rèn)知能力得到提升.

3.2配置逆向思維的樣例

樣例學(xué)習(xí)的解釋性理論認(rèn)為，樣例學(xué)習(xí)是通過對一個(gè)或幾個(gè)樣例進(jìn)行解釋而實(shí)現(xiàn)的.笛卡爾說：“我所解決的每一個(gè)問題，都將成為一個(gè)范例，用以解決其他問題.”如何對貯存在記憶中的樣例進(jìn)行深刻的解讀，獲得深刻的見解，對學(xué)生遷移能力的形成具有重要意義.

配置逆向思維的樣例，其操作要點(diǎn)在于“化逆為正”，體現(xiàn)思維的靈活轉(zhuǎn)換性.任何事物都有兩面性，正面和反面相輔相成.配置了正向思維的題型，還要從逆向思維的角度加深對通法，對規(guī)律的理解.通常，逆向思維的難度大于正向思維的難度，然學(xué)生只有既能正向思維，又能逆向思維，才能達(dá)到了一定的熟練程度.如，解一元二次不等式，即是已知參數(shù)（系數(shù)）的值，求解集，屬正向思維的題型；反過來，已知解集，如何確定參數(shù)（系數(shù)）的值？更進(jìn)一步，已知相應(yīng)方程根的取值范圍，如何確定參數(shù)（系數(shù)）的取值范圍（即一元二次方程的實(shí)根分布問題）？如，已知參數(shù)的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，屬正向思維的題型；反過來，已知函數(shù)的單調(diào)性，試確定函數(shù)中有關(guān)參數(shù)的值.如，已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求有關(guān)參數(shù)的值，等等.這些都屬于逆向思維的題型.如何解決這類題型，由于正向思維與逆向思維總是相對而言的，我們總是設(shè)法把逆向思維的題型轉(zhuǎn)化、化歸到有關(guān)定義、通法上去.解題不過是矛盾的相互轉(zhuǎn)化，把逆向思維的題型看作、組織成正向思維的題型，遷移借用有關(guān)的解題方法即可.這就不是在同一層次上重復(fù)了，而是一種螺旋上升.正逆原本是相對而言的，把“逆”解讀成“正”，需要跳出思維固著性的圈子，需要有大的圖式觀.基于此，把逆向思維的樣例看作、組織成正向思維的樣例，學(xué)生在正向思維活動中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)得以遷移到逆向思維活動中，不僅會正向思考問題，也會從反方向思考問題，思維能力得到提升，思維品質(zhì)得到優(yōu)化；教師的備課水平、組織教學(xué)的能力也得到了提升.

配置逆向思維的樣例是數(shù)學(xué)內(nèi)在矛盾運(yùn)動的表現(xiàn)，是一種另類的數(shù)學(xué)思想方法的普及，有助于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性.數(shù)學(xué)中充滿了思維互逆的矛盾.如，積分和微分是一對矛盾，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)也是一對矛盾，虛與實(shí)的矛盾，曲與直的矛盾.在習(xí)題課的樣例配置中，要以精當(dāng)?shù)牧?xí)題表現(xiàn)這種矛盾，這也是另類的數(shù)學(xué)思想方法的普及.例如，在公式的復(fù)習(xí)中，教師啟發(fā)學(xué)生從微分的角度推導(dǎo)三角公式，從逆向思維的角度，也可以啟發(fā)學(xué)生從積分的角度推導(dǎo)三角公式.教師可以讓學(xué)生把指數(shù)當(dāng)作基本出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)對數(shù)的基本性質(zhì)，從逆向思維的角度而言，也可以讓學(xué)生把對數(shù)當(dāng)作基本出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)指數(shù)的基本性質(zhì).在習(xí)題課的教學(xué)中，教師可以嘗試做點(diǎn)改革，在配置了正向思維的樣例之后，試著讓學(xué)生自己編制一些逆向思維的習(xí)題，精選其中的一些習(xí)題當(dāng)作樣例.這樣，若學(xué)生既會解題，又會編題，他們的思維就具有相當(dāng)?shù)撵`活性了.

3.3配置發(fā)散思維的樣例

學(xué)會發(fā)散思維，是樣例配置的應(yīng)用之一.哲學(xué)家哥德曾風(fēng)趣地說：“經(jīng)驗(yàn)豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙面背后的話.”數(shù)學(xué)概念、公式不拓展、不提升，認(rèn)識就只能囿于紙面上，局限于一個(gè)特定的情境，不能力透紙背.要達(dá)到“聞一知十”，就要學(xué)會有效的遷移類比，學(xué)會做數(shù)學(xué)的一些“基本套路”.類比遷移是一個(gè)結(jié)構(gòu)映射的過程，只映射內(nèi)在關(guān)系而不是映射具體的屬性.結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)的重要特征，通過發(fā)散性樣例的學(xué)習(xí)，能把表面上看似來源不同而實(shí)則同源同構(gòu)問題的實(shí)質(zhì)吃透，提高在知識豐富領(lǐng)域的問題解決能力.

配置發(fā)散思維的樣例，其操作要點(diǎn)之一是可以從結(jié)構(gòu)入手，體現(xiàn)思維的概括性.從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度而言，以變量代換法為基礎(chǔ)的變式是拓展、提升數(shù)學(xué)公式、法則的應(yīng)用范圍，化簡習(xí)題繁難度的常用手法之一，是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思想的教學(xué)表達(dá).教學(xué)內(nèi)容上數(shù)學(xué)思想和方法的反映，決定了教師教學(xué)的高度和水平.如，對形如型的不等式而言，可分別拓展為經(jīng)過這樣的拓展后，一元二次不等式和含絕對值不等式有機(jī)地揉合起來了.如果進(jìn)一步拓展為和則可用上述方法轉(zhuǎn)化為一系列的普通不等式（組）.螺旋上升是教材編寫的基本原則之一，同樣的，數(shù)學(xué)教學(xué)也要有層次推進(jìn)，要用一以貫之的思想線索把表面上形式不同的材料串起來.如，一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的3個(gè)“二次”問題，剖析典型樣例，看清問題的實(shí)質(zhì)，對學(xué)生能力的培養(yǎng)非常有必要.一元二次不等式自身經(jīng)過變量代換可拓展為具體的不等式：等習(xí)題.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，經(jīng)變量代換可拓展為等復(fù)合函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.配置這樣的發(fā)散性樣例，學(xué)生的抽象、概括能力得到了提升，對問題的認(rèn)識也不再浮于表面，而是抓住了問題的本質(zhì).解決此類問題的通法是用換元法等手段把問題退到最基本、最簡單的模型.正如華羅庚先生說：“要善于退，退到已經(jīng)解決了的問題為止.”代數(shù)系統(tǒng)的基本通性就是其所具有的運(yùn)算，這是普遍可用的“法寶”.保留運(yùn)算律，以通性求通解是一種高明的代數(shù)思維.教學(xué)不是灌輸，而是啟迪，通過配置典型樣例，可以讓學(xué)生迅速領(lǐng)悟這些基本精神.如，解不等式是一個(gè)常規(guī)習(xí)題，保留對數(shù)的運(yùn)算律不變，可拓展成：f(x)是定義在R+上的增函數(shù)，且① 求f(1)的值；② 若 f(6)=1，解不等式用這種方法，還可以編制一系列有關(guān)抽象函數(shù)的習(xí)題.習(xí)題課的教學(xué)不能就題論題，一題一法.說到底，數(shù)學(xué)習(xí)題是由數(shù)學(xué)家研究成果改造而來，隱隱約約反映了數(shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律；在習(xí)題課的教學(xué)中應(yīng)努力把數(shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律明朗化、一般化，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)研究的“基本套路”.其實(shí)，用類比法進(jìn)行拓展、發(fā)散也是一種常見的科學(xué)發(fā)現(xiàn)的手法.在實(shí)際應(yīng)用中，飛機(jī)的流線型造型就是類比鳥的體形而設(shè)計(jì)制作的.在數(shù)學(xué)中，離散的量可以與連續(xù)的量類比，一元可以和多元類比，低維可以和高維類比，等等.典型的、基本的、有目的重復(fù)的樣例應(yīng)能啟發(fā)學(xué)生將相關(guān)的知識有機(jī)地組織在一起，形成連續(xù)的、結(jié)構(gòu)化的知識體系，從而為知識的應(yīng)用打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

為思維而教是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命之一.數(shù)學(xué)習(xí)題成千上萬，從思維的角度可把習(xí)題大致分成上述3種題型.在習(xí)題課教學(xué)中，3種題型及樣例的有機(jī)調(diào)配，有利于學(xué)生從整體上把握解題規(guī)律，迅速找到解題的切入口，提高學(xué)生的解題能力.經(jīng)過長期有意識的訓(xùn)練，教師自身的教學(xué)能力也會不斷地增長.

4　樣例的教學(xué)意義

教學(xué)理論應(yīng)能解釋課堂教學(xué)中發(fā)生的現(xiàn)象，對教學(xué)實(shí)踐有指導(dǎo)力.一節(jié)觀摩課遵照“易建模，易解?！薄耙捉?，難解?！薄半y建模，易解模”的思路展開.但研究者認(rèn)為，這節(jié)課沒有抓住“建立不等式模型解決實(shí)際問題”這個(gè)課題的要點(diǎn).首先，解不等式模型不應(yīng)該成為這節(jié)課的一個(gè)中心任務(wù).這節(jié)課的中心主題應(yīng)該是“建?！?，而不是“解?！?，一節(jié)課應(yīng)圍繞一個(gè)中心展開，而不是多中心的.其次，模型的復(fù)雜度應(yīng)逐漸攀升.對建模而言，模型是用來描述世界，解釋世界的，就這節(jié)課而言，其例題的選取、組織隱隱約約地遵循“用一個(gè)變量描述的現(xiàn)象”→“用兩個(gè)變量描述的現(xiàn)象”→“用多個(gè)變量描述的現(xiàn)象”的思路展開.如果教師對此脈絡(luò)有清晰的認(rèn)識，那么對典型樣例的配置就會結(jié)合學(xué)生的實(shí)際、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求而仔細(xì)考慮.事實(shí)上，就這節(jié)課而言，第一、二兩個(gè)例題坡度小，而第三個(gè)例題坡度太大，很多學(xué)生一臉茫然.課堂教學(xué)中的許多現(xiàn)象和問題，并不是理念更新后就一定能解決的，特別是在知識內(nèi)容豐富的領(lǐng)域，更應(yīng)注意對內(nèi)容的深層次解讀.在習(xí)題課樣例配置中獲得的經(jīng)驗(yàn)，完全可以遷移到這堂課的教學(xué)中來.

深入研究樣例有助于教師把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，為學(xué)生提供有生長力的知識.中國的“雙基”教學(xué)理論，以及新近的“四基”教學(xué)理論都強(qiáng)調(diào)教給學(xué)生基本概念、基本規(guī)律和學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).這就要求教師能從題海中遴選蘊(yùn)含著本質(zhì)因素、根本因素、基礎(chǔ)因素的樣例，使學(xué)生透過樣例，掌握數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)科學(xué)方法.俗語說得好，“將帥必起于卒伍，宰相必起于州郡”，教師成長在出真知實(shí)踐的課堂，絕不僅僅是聽一兩次洗腦式的報(bào)告而成就.題海式的大批量、低效訓(xùn)練等客觀現(xiàn)實(shí)倒逼著有進(jìn)取心的教師深入研究數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，然后采取適切的方式把這些奠基性的要素傳遞給學(xué)生.樣例學(xué)習(xí)中始終包含著一種內(nèi)在的邏輯、一種內(nèi)部的概念結(jié)構(gòu)；學(xué)生習(xí)得的是一種能動、有生發(fā)性的知識，這在發(fā)散型樣例的配置中看得很清楚.

深入研究樣例有助于教師切實(shí)考察學(xué)情，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)能力.樣例設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)性原則要求樣例承載的內(nèi)容是打基礎(chǔ)的東西，適應(yīng)學(xué)生的智力發(fā)展水平，接近他們已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn).這就要求教師在設(shè)計(jì)樣例時(shí)，不能過難也不能過易，要對學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展水平、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)、現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能準(zhǔn)確地評估.“上陡坎”、“深挖洞”是不足取的，要優(yōu)先考察樣例對學(xué)生發(fā)展的價(jià)值和意義，而不是比拼題目的繁難度.有了這樣思考次序后，習(xí)題課的教育價(jià)值及表達(dá)方式將會有新的變化，就會引導(dǎo)學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)對樣例的本質(zhì)進(jìn)行尋找和提問，并能獨(dú)立解決之，這在正向思維的樣例配置中已看得很清楚.

深入研究樣例有助于教師深刻領(lǐng)悟“例中學(xué)”的真諦，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的學(xué)習(xí)方式.“書中學(xué)”、“做中學(xué)”、“例中學(xué)”是3種不同的學(xué)習(xí)方式，“例中學(xué)”最為人們熟知，但熟知并不是真知.“例中學(xué)”的要義在于讓學(xué)生獲得本質(zhì)的、結(jié)構(gòu)的、原則性的、典型的、規(guī)律性的認(rèn)識和關(guān)系，而不是獲得這些知識.“例中學(xué)”要求教師將重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行加深和強(qiáng)化，突出數(shù)學(xué)的核心思想和方法，而不在細(xì)枝末節(jié)上“兜圈子”，使之能在學(xué)生頭腦中生根.每一個(gè)樣例都有一定的代表性，都是反映整體的一個(gè)窗口，這個(gè)窗口的“視界”究竟能有多大，就要求學(xué)習(xí)者能主動地把自己置于不斷受教育與培養(yǎng)的狀態(tài)之中，努力尋求從個(gè)案樣例到題組樣例背后的真知灼見，這在上述樣例配置的案例中，已看得很清楚了.

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[8]章建躍.如何理解“解題教學(xué)”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（11）：封底.

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Based on Sample Learning Theory to Discuss the Learning and Teaching of Exercises

XU Zhang-tao
(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

From the angle of the direct thinking, reverse thinking and divergent, discuses three types of exercises used in classroom. Based on sample learning theory, analyzes the values of the three types of samples. According to the case analysis and theoretical analysis, the selection, organization, refining and evaluation of samples make up of the main components of the learning and teaching of exercises. Teachers can improve their teaching ability in the process of arranging samples.

sample; sample learning theory; the learning and teaching of exercise

G420

A

1004–9894（2015）06–0035–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2015–10–19

華中師范大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目——基于學(xué)習(xí)理論的信息技術(shù)與學(xué)科教科書的整合（CCNU15A06015）；華中師范大學(xué)重大科研課題及創(chuàng)新示范基地培育項(xiàng)目——TPACK視角下卓越數(shù)字化教師的培養(yǎng)研究

徐章韜（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，主要從事教師知識研究．