問題情境對學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則影響的差異性研究

陳麗敏，景　敏

（1．沈陽師范大學(xué)　遼寧省基礎(chǔ)教育教研培訓(xùn)中心，遼寧　沈陽　110034；2．沈陽師范大學(xué)　教師教育學(xué)院，遼寧　沈陽　110034）

問題情境對學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則影響的差異性研究

陳麗敏1，景敏2

（1．沈陽師范大學(xué)遼寧省基礎(chǔ)教育教研培訓(xùn)中心，遼寧沈陽110034；2．沈陽師范大學(xué)教師教育學(xué)院，遼寧沈陽110034）

選六年級學(xué)生為樣本，比較兩個版本《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)七年級（上）》中的不同問題情境對學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則的影響.結(jié)果表明：在自然數(shù)學(xué)習(xí)擴充到有理數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生加法概念的遷移存在一定的困難；學(xué)生得出算式得數(shù)的正確率在兩個情境中有顯著性差異；學(xué)生正確列出加法算式以及得出正確答案在兩個情境中沒有顯著性差別.

有理數(shù)加法；問題情境；認(rèn)知困難

1　問題提出

在初中階段，有理數(shù)加法是整個有理數(shù)運算的起始部分，對后續(xù)有理數(shù)減法、乘法和除法的學(xué)習(xí)起到基礎(chǔ)性的作用，也是今后進一步學(xué)習(xí)數(shù)、式、方程等知識的基礎(chǔ)，因此能深入理解有理數(shù)加法對于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)至關(guān)重要.國外相關(guān)研究表明，學(xué)生在小學(xué)階段對自然數(shù)加法意義的認(rèn)識和有理數(shù)加法算理的理解不夠深入，導(dǎo)致在中學(xué)階段對有理數(shù)加法的理解存在認(rèn)知困難[1～2]，例如，加法和乘法使結(jié)果變大，減法和除法使結(jié)果變小.國內(nèi)學(xué)者對有理數(shù)運算中出現(xiàn)的錯誤以及有理數(shù)運算的理解水平展開了一些調(diào)查研究.例如，王傳兵研究發(fā)現(xiàn)，七年級學(xué)生對“+”、“-”號的3種意義，即，表示運算符號；表示一個數(shù)是正、負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號；“-”號還可以表示相反數(shù)的理解存在一定困難[3].胡趙云研究發(fā)現(xiàn)，七年級學(xué)生甚至八年級學(xué)生，在學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法法則之后仍然傾向于將有理數(shù)的加減法運算轉(zhuǎn)化為自然數(shù)的加減法運算[4].鞏子坤研究表明，學(xué)生對有理數(shù)運算的理解非常有限，絕大部分的學(xué)生都知道怎樣算，而對于計算背后的道理知道較少[5～6].同時，一些學(xué)者的研究也表明，問題情境對于學(xué)生問題解決能力存在一定的影響.例如，張澤慶發(fā)現(xiàn)，和個人生活情境（如購物）相比，學(xué)生在解決社會生活情境（如工程問題）時所遇到的困難要大一些[7].戴聰以67名大學(xué)生為被試，探討了不同的問題情境，即MHD問題的中獎情境和生存情境對被試問題解決能力的影響.結(jié)果表明：被試對MHD問題的推理成績在生存情境下顯著優(yōu)于中獎情境[8].但是，問題情境對學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則影響的相關(guān)研究卻很少.

鑒于此，選擇人民教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級上）》（以下簡稱《人教版》）和北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級上）》（以下簡稱《北師版》）中有理數(shù)加法的導(dǎo)入情境來檢驗問題情境對學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則影響的差異.根據(jù)研究需要，研究者做了部分調(diào)整，但基本內(nèi)容保持和教材中的問題情境一致.此外，選擇《人教版》和《北師版》兩個版本的問題情境作為研究內(nèi)容也是基于本地區(qū)教師的不同認(rèn)識.例如，有的教師認(rèn)為《北師版》的情境更加形象，容易激發(fā)學(xué)生的興趣，這樣有利于學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則；而另外一些教師認(rèn)為，《人教版》的情境和生活實際聯(lián)系緊密有利于學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)加法法則等.

總體上看，建構(gòu)有理數(shù)加法法則的過程分為兩個階段，第一個階段是列出算式并根據(jù)情境得出算式的得數(shù)，第二個階段是依據(jù)等式歸納法則.問題情境會對第一階段產(chǎn)生影響，因此，研究重點關(guān)注第一個階段.在第一階段，問題情境對學(xué)生的影響從兩個方面進行評價：一方面是學(xué)生能否根據(jù)問題情境列出正確的算式，另一方面是學(xué)生能否根據(jù)問題情境獲得算式的正確得數(shù).具體的研究假設(shè)如下：

（1）不同問題情境中，學(xué)生正確列出有理數(shù)加法的算式有顯著性差異；

（2）不同問題情境中，學(xué)生正確獲得算式的得數(shù)有顯著性差異；

（3）不同問題情境中，學(xué)生正確得出答案有顯著性差異.

2　研究過程

2.1樣本的選擇

選取沈陽市兩所普通小學(xué)的163名六年級學(xué)生作為樣本，測試時間為小學(xué)畢業(yè)前夕.選擇小學(xué)六年級學(xué)生作為測試對象的原因是考慮到部分七年級學(xué)生假期可能參加了有理數(shù)加法法則的數(shù)學(xué)補習(xí)，該無關(guān)因素會對研究結(jié)果產(chǎn)生一定干擾.測試時間選在小學(xué)畢業(yè)前夕的原因是六年級學(xué)生已經(jīng)掌握了正有理數(shù)加法、減法、乘法和除法的概念，并能解決四種混合運算的應(yīng)用題，初步具備了有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ).但是，學(xué)生沒有學(xué)過有理數(shù)加法法則形成過程中涉及的負(fù)數(shù)和數(shù)軸概念，因此，在調(diào)查前，研究者根據(jù)初中的教學(xué)要求，對學(xué)生實施了有關(guān)負(fù)數(shù)和數(shù)軸概念的教學(xué).

2.2問卷設(shè)計

該研究設(shè)計了兩份問卷.問卷一包含兩道測試題，第一道測試題選自《人教版》中的有理數(shù)加法問題情境（下文簡稱人教版情境）：一個物體作左右方向的運動，我們規(guī)定向左為負(fù)，向右為正.物體向右運動5米記作5 m，向左運動5米記作-5 m（在第一小問的后面提供了一個數(shù)軸的圖示作為該題的認(rèn)知工具）.第二道測試題選自《北師版》中的有理數(shù)加法問題情境并稍作改編（下文簡稱北師版情境）：某班舉行知識競賽，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題加1分，答錯一題扣1分，不回答得0分.如果答對一題記作+1，用1個○+來表示，答錯一題記作–1，用一個○一來表示，那么○+○一就表示0，同樣○一○+也表示0（在第一小問的后面提供了相關(guān)圖示作為該題的認(rèn)知工具）.

問卷二的第一、二道測試題的順序和問卷一相反.這種交叉設(shè)計方式的目的是消除兩個問題情境之間的互相影響.同時，每套問卷包含《北師版》和《人教版》兩個問題情境是為了消除學(xué)生能力差異對于測試結(jié)果的影響.兩份問卷不僅要求學(xué)生給出正確的答案，同時也要求學(xué)生書面描述自己的思維過程，以便研究者了解學(xué)生對有理數(shù)加法意義的理解，以及得到算式得數(shù)的思維過程.

2.3評價標(biāo)準(zhǔn)

對于測試題一和測試題二的評價，可以從列式的正確率、結(jié)果的正確率、完整答案的正確率3方面進行評價.列式正確是指能夠用正負(fù)數(shù)正確表示情境中的量，并選擇加法運算.得數(shù)正確是指能夠根據(jù)情境正確得出算式的結(jié)果.答案正確是指列式和得數(shù)都正確.

2.4測試過程

測試工作分別在兩所不同發(fā)展水平的學(xué)校完成，參與測試的每個班級隨機選擇一半學(xué)生完成問卷一，另外一半學(xué)生完成問卷二.

3　結(jié)果描述與分析

3.1不同問題情境對學(xué)生正確列出等式影響的比較

依據(jù)問題情境列出等式是形成法則的第一步，等式包括兩部分，一部分是等號一端的兩個有理數(shù)之和，另一部分是基于認(rèn)知工具獲得的得數(shù).北師版和人教版情境中學(xué)生列式、得數(shù)、答案正確個數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示（括號內(nèi)數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)差）.

表1　兩種情境學(xué)生正確個數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

從表1可以看出，相對于人教版情境，北師版情境在學(xué)生列式、得數(shù)、答案正確的個數(shù)方面都略勝一籌.但是，應(yīng)用spss19.0統(tǒng)計軟件的分析結(jié)果來看，在兩個問題情境中，只有學(xué)生得數(shù)的正確率有顯著性差異（t(324)= –2.461, P=0.01<0.05），而列式的正確率位于顯著性水平的邊緣值（t(324)= –1.932, P=0.054>0.05），答案的正確率無顯著性的差異（t(324) = –1.827, P=0.69>0.05）.

3.2學(xué)生思維過程的描述與分析

從列式情況來看，與人教版情境相比，北師版情境更容易促進學(xué)生列出正確的加法算式（雖然二者的差別沒有達(dá)到顯著性的水平），產(chǎn)生這種差別的主要原因可能是由于不同語義的加法問題情境對學(xué)生加法意義遷移的影響是不同的.加法的語義情境有合并、變化、比較3種類型[9].合并和比較類型是靜態(tài)的，變化類型是動態(tài)的.因此，北師版情境的語義是靜態(tài)的，即將兩個部分合并求整體是多少，而人教版情境的語義是動態(tài)的，即，兩次同一方向的連續(xù)運動變化的結(jié)果.合并情境的有理數(shù)加法更容易和小學(xué)學(xué)過的加法產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，而變化情境的有理數(shù)加法容易和小學(xué)學(xué)過的減法產(chǎn)生聯(lián)結(jié).這樣導(dǎo)致有些學(xué)生雖然能用正負(fù)數(shù)將人教版情境中相反意義的量統(tǒng)一，但是他們還是不知道選擇加法來解決問題.

除了上述的不同之外，學(xué)生在面臨兩個問題情境時候，列式上也有一些相同的表現(xiàn)，即他們基本上都能清楚地認(rèn)識到正數(shù)和負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量，例如，對于問題“小強第一次答對3個題，第二次答錯2個題，小強兩次的總分是多少？”學(xué)生將答對3個題用“+3”表示，答錯2題用“–2”表示，但是大部分同學(xué)直接將兩個量羅列在一起，例如，“+3–2”.當(dāng)要求他們解釋“+3”和“–2”兩個相反意義量（即，異號兩數(shù)）之間的運算關(guān)系時，僅僅極少部分學(xué)生明確是加法，很大一部分學(xué)生選擇了減法，剩下的學(xué)生選擇了不知道.學(xué)生選擇減法的理由是“答對題目個數(shù)的得分減去答錯題目個數(shù)的得分是答案”.而當(dāng)學(xué)生面對相同意義兩個量（兩數(shù)同號）之間的運算關(guān)系時，例如，對于問題“如果物體先向左運動3 m，再向左運動5 m，那么兩次運動后的最后結(jié)果是什么？”大部分學(xué)生能夠正確選擇加法運算，并能夠給出恰當(dāng)?shù)睦碛?，即，先向左運動的數(shù)加上再向左運動的數(shù)就得到結(jié)果.

學(xué)生在有理數(shù)加法學(xué)習(xí)的過程中為什么會產(chǎn)生上述的認(rèn)知困難呢？這個問題的產(chǎn)生和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)有著緊密的聯(lián)系.數(shù)學(xué)是空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種逐步運用符號來表達(dá)現(xiàn)實世界的一種數(shù)學(xué)化的過程，這種過程是漸進的[10].首先，學(xué)生根據(jù)情境的信息，運用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識表征情境中的數(shù)學(xué)對象；接著，利用具體數(shù)學(xué)模型去表達(dá)數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系；之后，通過具體情境獲得的方法和策略逐步概括化、一般化，并能夠遷移到類似的問題情境之中；最后，通過情境獲得的數(shù)學(xué)模型能夠為其它形式化數(shù)學(xué)知識的獲得提供土壤.在該研究中，學(xué)生有理數(shù)加法法則建構(gòu)的過程也遵循上面的發(fā)展階段.首先，學(xué)生根據(jù)問題情境提供的信息用正負(fù)數(shù)來表達(dá)情境中的數(shù)學(xué)對象；接著，學(xué)生應(yīng)用加法來表達(dá)相同意義的兩個量之間的關(guān)系，以及相反意義的兩個量之間的關(guān)系；之后，學(xué)生進一步體會列出的有理數(shù)加法式子并深入理解有理數(shù)加法的意義，并為解決其它有理數(shù)加法問題做準(zhǔn)備；最后，學(xué)生根據(jù)一系列有理數(shù)加法的算式抽象概括出有理數(shù)加法法則.如前文所述，該研究關(guān)注的是有理數(shù)加法法則建構(gòu)的前3個階段.從學(xué)生的表現(xiàn)來看，第一個階段學(xué)生基本沒有產(chǎn)生認(rèn)知困難，往往是在第二個階段產(chǎn)生了認(rèn)知困難，這說明該階段的有理數(shù)在學(xué)生的頭腦中往往和情境緊密聯(lián)系，并沒有脫離情境像正有理數(shù)一樣扎根于學(xué)生的頭腦之中，這方面的不足導(dǎo)致部分學(xué)生即使能用正負(fù)數(shù)表示出來相反意義的量，也不清楚為什么這樣做，進而不能把有理數(shù)加法和小學(xué)學(xué)過的加法產(chǎn)生有效聯(lián)結(jié)，所以部分學(xué)生對于統(tǒng)一之后的兩個量之間選擇什么運算是很模糊的，甚至部分學(xué)生選擇減法.選擇減法的可能的原因是，在根據(jù)情境尋找算式答案的過程中，學(xué)生錯誤地認(rèn)為意義相反兩個量之間的抵消行為是他們之間的減法關(guān)系.

從學(xué)生算式得數(shù)的情況來看，與人教版情境相比，北師版情境中學(xué)生更容易根據(jù)正負(fù)圈之間的互相抵消得出算式的正確得數(shù)，例如，對于問題“小華第一次答錯3個題，第二次答對2個題，小華兩次的總分是多少？”，學(xué)生描述的思維過程為“答錯3個題用3個○一表示，答對2個題用2個○+，抵消后剩一個○一，就是–1.”產(chǎn)生這種結(jié)果的主要原因是北師版情境和人教版情境的本質(zhì)區(qū)別是兩個情境的認(rèn)知工具不同.北師版情境的認(rèn)知工具是分散的帶圓圈的正號和帶圓圈的負(fù)號來表示得分和扣分，通過正負(fù)號之間的一一抵消得出結(jié)果，比較形象直觀.而人教版情境是將現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸，將物體的運動轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點的運動，向左或向右運動的距離用數(shù)軸上線段的長度來表示，通過線段之間的部分抵消得出結(jié)果，不是很形象直觀.

另外，與王傳兵的研究結(jié)果一致，在學(xué)生列式中也發(fā)現(xiàn)學(xué)生混淆了性質(zhì)符號的“正號”和運算符號的“加號”，例如，對于問題“如果物體先向右運動3m，再向左運動5m，那么兩次運動后的結(jié)果是什么？”學(xué)生給出算式“+3–5”的運算為減法的理由是“向右為正，向左為負(fù)，所以先加后減”.產(chǎn)生這種錯誤的主要原因追根究底還是學(xué)生沒有深刻理解加法的意義.因此，在有理數(shù)加法引入之初，學(xué)生對于加號和正號，減號和負(fù)號認(rèn)識產(chǎn)生了混淆.

4　結(jié)論與建議

對比兩個情境，北師版情境在算式得數(shù)的得出方面存在一定的優(yōu)越性，但是在加法算式和完整正確答案得出方面兩個情境差別不大.此外，學(xué)生在兩個問題情境中構(gòu)建有理數(shù)的加法法則時，也存在一些相同的認(rèn)知困難，即，在兩個版本的問題情境中，部分學(xué)生在相反意義量的問題解決中混淆了加法運算與減法運算、運算符號和性質(zhì)符號.鑒于上述認(rèn)知困難，對有理數(shù)加法法則的教學(xué)給出如下建議.

首先，從研究結(jié)果可以看出，學(xué)生在六年級末，甚至七年級初，并沒有真正達(dá)到將意義相反的量統(tǒng)一并選擇正確的數(shù)學(xué)運算來解決問題的認(rèn)知水平.因此，在學(xué)生自主建構(gòu)有理數(shù)加法法則的第一階段，北師版教科書在導(dǎo)入情境之后直接給出有理數(shù)加法的算式，只要求學(xué)生通過情境給出算式的得數(shù)，并根據(jù)有理數(shù)加法等式抽象概括得出有理數(shù)加法的法則是合理的.對于人教版教科書要求學(xué)生根據(jù)情境思考、探究有理數(shù)加法算式的處理方式，建議教師在學(xué)生列加法算式的過程中提供一些的輔助性幫助與指導(dǎo).例如，在有理數(shù)加法的初始教學(xué)中，教師恰當(dāng)?shù)厥褂靡龑?dǎo)性問題和括號是切實可行的方法.對于人教版情境中“如果物體先向左運動3 m，再向右運動5 m，那么兩次運動后的最后結(jié)果是什么？”這個問題，具體的教學(xué)方法可為，將物體同向運動的情況作為該問題的鋪墊與小學(xué)階段的加法意義取得有效聯(lián)結(jié).例如，用“如果物體先向左運動3 m，再向左運動5 m，那么兩次運動后的最后結(jié)果是什么？”這個問題引導(dǎo)學(xué)生深入剖析為什么用加法？即，兩次相同方向的連續(xù)運動是加法，以此來加深學(xué)生對加法的理解，便于后面相反方向運動的正遷移.接著，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生首先將相反意義的量表示出來，例如，物體向左運動3 m可以表示為向右運動多少米？這樣做的結(jié)果可以將相反方向的運動統(tǒng)一為相同方向的運動.之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示出來左運動3 m，和向右運動5 m兩個量，并強調(diào)用括號將兩個量分別括起來羅列在一起，即，(–3)(+5)，最后，通過和小學(xué)學(xué)過的加法取得聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這兩個量之間用什么運算來連接.這種引導(dǎo)性問題和括號的方法可以持續(xù)1～2節(jié)課的時間，當(dāng)學(xué)生能夠統(tǒng)一相反意義的量并區(qū)分運算符號和性質(zhì)符號之后，可以逐漸弱化.例如，引導(dǎo)性問題可以不出現(xiàn)，(–3)+(+5)可以表示為(–3)+5.

其次，從數(shù)學(xué)自身發(fā)展角度來看，數(shù)系從自然數(shù)擴充到有理數(shù)后，需要研究自然數(shù)的運算法則和運算律是否對有理數(shù)也成立.在自然數(shù)系中，學(xué)生熟悉數(shù)量之間的關(guān)系，即意義相同用加法，意義相反用減法.例如，問題“8月份小明基本工資收入2 000元，其它收入1 000元，8月份小明收入多少錢？”用加法解決.問題“8月份小明收入2 000元，支出1 000元，8月份小明收入多少錢？”用減法解決.當(dāng)引進了有理數(shù)之后，通過正負(fù)號可以將相反意義的量統(tǒng)一為相同意義的量.但是由于學(xué)生對于負(fù)數(shù)的理解和加法意義的理解不深入，因此學(xué)生一旦被要求將這些正負(fù)數(shù)之間的運算關(guān)系表示出來的時候，學(xué)生又將負(fù)號表示的含義和情境中的具體信息聯(lián)系起來，這樣又回到了自然數(shù)減法的怪圈之中.

[1]Vamvakoussi, Van Dooren, Verschaffel. Naturally biased? In Search for Reaction Time Evidence for a Natural Number Bias in Adults [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2012, (3): 344.

[2]Vamvakoussi, Van Dooren, Verschaffel. Educated Adults are Still Affected by Intuitions about the Effect of Arithmetical Operations: Evidence from a Reaction-Time Study [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 82(2): 323.

[3]王傳兵.七年級學(xué)生對負(fù)數(shù)概念的理解[D].華東師范大學(xué)，2007.

[4]胡趙云.立足學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)重構(gòu)有理數(shù)加減運算[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（4）：59.

[5]鞏子坤.有理數(shù)運算的理解水平及其教與學(xué)的策略研究[D].西南大學(xué)，2006.

[6]鞏子坤.基于學(xué)生的理解水平制定課程目標(biāo)——以“小數(shù)乘法運算”為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（2）：34.

[7]張澤慶.數(shù)學(xué)問題情境對小學(xué)生解決問題能力的影響研究[D].西南大學(xué)，2011.

[8]戴聰.不同情境對于MHD問題解決的影響[J].社會心理科學(xué)，2011，（129）：1 408.

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Research on the Influence of Problem Contexts on Students’ Constructing the Rule of Rational Number Addition

CHEN Li-min1, JING Min2
(1. Liaoning Research and Training Center for Basic Education, Shenyang Normal University, Liaoning Shenyang 110034, China;
2. Teacher Education College, Shenyang Normal University, Liaoning Shenyang 110034, China)

163 six graders were administered two problem contexts in order to explore the influence of different problem contexts selected from two versions of seventh grade math textbooks on pupils’ constructing the rule of rational number addition. Results revealed that, first, students had cognitive difficulty in the learning of the concept of addition from natural numbers to rational numbers. Second, students’ performance on correct computational results in the two contexts was significantly different. Third, there was no significant difference between pupils’ performance on the correct mathematical operations and correct answers (i.e., computational results and mathematical operations are both correct) from the two contexts.

rational number addition; problem context; cognitive difficulty

G623.5

A

1004–9894（2015）04–0064–04

[責(zé)任編校：陳雋]

2015–07–10

遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度課題——數(shù)學(xué)學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)實施中的問題與對策研究（JG15CB006）；全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度教育部重點課題——校本教研與農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教研組建設(shè)案例研究（GIA117011）

陳麗敏（1976—），女，遼寧沈陽人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．