數據·課例·建議
——淺談小學數學教研指導工作

顧非石，顧泠沅

（1．華東師范大學　數學系，上?！?00241；2．上海市教育科學研究院，上?！?00032）

數據·課例·建議
——淺談小學數學教研指導工作

顧非石1，顧泠沅2

（1．華東師范大學數學系，上海200241；2．上海市教育科學研究院，上海200032）

環(huán)繞當前小學數學教研工作的需要，運用數據兼敘事的方法，就若干教學案例開展實證研究，結果表明：明白學科的內在邏輯，突出重要的概念類型，遵循合理的認知順序和提供攀登式的學習機會，是改進教研工作不容忽視的4個重要方面.教學建議：充分重視數學學科知識與教學理論知識的融合，以此推動整個數學教研，可使當前的改革具備更堅實更可信的基礎；堅守先設計再改進的循環(huán)、前分析后評估的往復，才能使數學教研成為可操作的專業(yè)實踐過程；基于分析的設計和基于證據的改進，可以作為當前改進教研工作的兩個重要的突破口.

邏輯主干；內容要點；漸進順序；學習機會；實踐性知識

1　數據的啟迪

今天，小學數學課程的內容結構如何合理安排？哪些概念類型對日后的數學學習成就產生重要影響？哪種學習機會對學生的數學應用能力有關鍵意義？這些問題，長期以來引起了教研人員和廣大教師的熱議，而多年的改革試驗正在用事理與數據的方式使這一類討論引向深入.

1.1從隱喻與數據談起

這里有兩幅隱喻圖（圖1）.左邊是數學知識發(fā)生、發(fā)展自然演進的樹狀圖，圖中把小學數學內容的主干描述為數的概念（自然數、分數），數和運算（四則運算及應用），數和圖形（直觀、數形關系及推理）.這樣的結構突出知識生長點和認知邏輯，要點明顯，易于掌握全貌；與兒童生活的聯系和實際應用則作為基礎背景去處理.當然，處理不當易被誤解為“脫離”，這是這種結構的嚴重問題.右邊是個灌木叢，根據美國2000NCTM《中小學數學教育的原則與課程標準》繪制，前后共有兩排，前排是代數、幾何、度量衡、數與運算、數據分析和概率的知識分塊，后排是聯系、推理證明、表述、交流、解決問題的認知方法，然后將它們按螺旋式交替安排，知識早期分塊，并突出了分類型的能力要求，是這種結構的創(chuàng)新特色.但中國教師在試驗中發(fā)覺，熟一塊換一塊，斷斷續(xù)續(xù)會造成不斷“燒夾生飯”.馬立平基于美國小學的實踐對此提出批評，認為這樣的內容結構，學科結構瓦解，定義體系渙散，覆轍猶在，這不能不引起教育工作者的擔憂和警惕.她據此認定，數學概念體系、內在結構與基本原理的掌握，直接關乎小學生數學學習的成敗得失.

圖1　一棵大樹還是灌木叢

21世紀初，美國心理學家西格爾（R. S. Siegler）根據小學生數學概念類型，以及學生長期學習的發(fā)展過程（包括若干數學技能、能力，還有人口統(tǒng)計學特性等12個變量），在英國選取3 677名學生（其中599名有動態(tài)數據），分析五、六年后學生高中代數發(fā)展狀況，結果如圖2所示.由圖可見，對加、減、乘、除四則運算意義的理解和運用，與高中代數成績的相關十分顯著，而且隨著四則的順序不斷遞增其相關度；另外，一個是除法、另一個是分數概念，對以后代數學習成就有特別重要的影響.該項研究發(fā)表于2012年7月美國的《心理科學》雜志，據說對英國小學的數學課程改革產生了重要影響.當年8月他來滬與作者交流，深感明白數學學科內在邏輯、深度理解核心概念的重要作用.

圖2　除法和分數等概念與高中代數發(fā)展狀況的回歸分析

此外，2013年12月公布的國際PISA測試以數學為主，測試成績最高的國家和地區(qū)依次為中國上海、新加坡、中國香港、中國臺北、韓國、中國澳門、日本、荷蘭、芬蘭、加拿大等.關于測試數據的一項“學習機會”分析值得注意，那就是各國（地區(qū)）學生接觸“正式數學”（主要指概念、法則、定理演繹體系的數學）和接觸“應用數學”的頻率分布，如圖3所示.由圖可知：測試成績最高的10個國家（地區(qū)）有9個都屬于高正式數學的兩個象限，足見接觸數學邏輯體系與基本原理的重要意義，其中東亞的6個國家（地區(qū)）集中在高正式、低應用的象限（歐洲的芬蘭也是），這更是一種文化特點.新加坡和加拿大處于高正式、高應用象限，幾個發(fā)達國家如俄羅斯、美國等也處于雙高象限；測試成績排位較前，但處于高應用的國家，如荷蘭、德國、澳大利亞、新西蘭、法國等，這些國家的經驗也很值得研究與借鑒.由此可推測，數學教學理應堅守應用、論理和心理3大原理的平衡，重視應用并非處處充斥實用材料，運算和推理仍是最基本的思想方法，而所有的論理與應用都必須站在兒童學數學的立場之上.

圖3　各國（地區(qū)）學生學習機會的頻率分布圖

1.2教研指導的實證分析

受到上述問題的啟發(fā)，研究者從微觀的教學工作入手，開展典型課例的實證研究.自2011年開始，中、日、美3國聯合，對小學數學教師指導者的實踐與理論作深化研究.采用的方法主要有教研指導錄像與課堂錄像的數據編碼分析，兼以精致化的敘事研究技術.這里的教研指導錄像分析，主要集中在指導內容與指導方式兩部分.

初步研究表明，中國的教研指導不停留于空談知識與理論，而是集中于數學教學的實踐性知識（技能），即前端分析、任務設計、過程測評、行為改進4個方面，非常務實，且有明顯的工作優(yōu)勢.教研指導者有豐富的課堂教學經驗，因此他們的指導以估計問題然后講評和一般講評為主.當然，不足之處也很顯然.比如前端分析與過程測評相對薄弱，未能將其用于設計與改進；指導過程中生成性問題應對不足，偏于強勢、平等討論少.下面，選擇該項研究中的4個課例，以例說理，簡述如后.

2　用課例說事

2.1明白學科的內在邏輯（以“退位減法”為例）

兩位數退位減法一課，在小學數學教學中受到廣泛關注，且是教研指導工作的一個典型范例.在研究時，選取新手和專家兩類教師分別任教.指導者則本著更新教學理念的出發(fā)點，從情境設計、學具使用、估算與算法多樣化等方面介入指導.預研究經過兩次指導、兩次改進，但出乎意料的是，結果并不令人滿意.當堂實錄顯示，課堂的散亂、浮鬧時有所見，安靜的思考機會偏少.授課前與授課后的測查統(tǒng)計呈現表1所述的情況.其中，課前已有84%的學生會用豎式計算，他們在以前的學習中（如不退位減法等）已完成了從學具、圈劃、數數等具體擺弄到形式化抽象的重要一步，問題僅在“20以內減法出錯”、“十位上沒有退一以后再減”，而課后在這些問題上有所改善的學生僅占三成左右.執(zhí)教老師覺得，要靠較多課后的作業(yè)去補救，足見實效并不明顯.問題出在哪里？經教師和指導者的進一步分析，他們認為：

（1）這節(jié)課在減法情境的“漂亮”上花了不少功夫，如小動物、卡通圖，等等，但在促進兒童理解上考慮甚少.

（2）學具操作意在利于抽象為豎式運算，在大多數學生已會列豎式的情況下，是否還要回到圈劃、小棒擺弄？繁復又費時，反而淹沒了本課的主要問題.在這里，重溫一下兩位數計算器可能是個合適的選擇，比如用“懸珠”引出“退位點”.

（3）估算是一種重要的“毛估性思維”，但要分清它是計算課的教學環(huán)節(jié)還是一種意識？兩位數退位減法是否也先要估算？

（4）算法多樣化在何時何處出現為佳？此處過多糾纏是否會淡化“退1為10”的基本算理？課上有學生說12-8=4可以這樣算：2減8不夠可以倒過來8-2得6，但答案是4，再把6對應為4，這實際上助長了死記硬套.總起來說，這樣的課，形式的理念似乎多了點，為學生理解而教的辦法似乎少了些.

表1　課堂前后測學生情況統(tǒng)計表（%）

看來，如何依據課前的扎實分析（前端分析）有針對性地設計教學任務，如何通過施教過程中的測評即時改進教學行為，業(yè)已成為指導工作有待突破的要害所在.加涅（R. M. Gagne）等人所著《教學設計原理》一書就非常重視退位減法的教學設計.他們所作的前端分析有如下幾種.例如層級分析（如圖4），從簡單減法到任何整數的減法，共分為11個層級，從算理上說一步一步十分細膩，每個細節(jié)都注意到了，但每一個層級自有不同的難易度，關系又偏復雜，貫穿怎樣的邏輯主干，不甚明白，當然較難記住.又如減法運算流程分析（如圖5）.該項分析突出了個位上的借位與十位上的退1后再減，已將兩位數減法運算作了信息加工的機械處理，但卻隱去了“退1為10”的算理理解，同樣不利于學生的學習，因為對學生的教學不應等同于給機器輸入一種預定的程序.在這里，專家教師卻采用了強調算理理解“不掉鏈子”的主干分析，把技能層級與認知邏輯融合在一起，見圖6.他們指出，兩位數退位減法的教學應當站在兩個基礎上：一是掌握不退位的兩位數減法，數位對齊，逐位相減；二是20以內退位減法，不僅理解其意義并且能自動化運算.然后進入第二個臺階，就是兩位數退位減法的規(guī)范運算，突出“個位上的借位相減”與“十位上退1后再減”.這里的基本算理是退1為10.第三個臺階是在加深理解此一原理的前提下倡導學生靈活與探索.在教過兩位數退位減法一課之后，用未教過的如100-47等隔位退位或靈活組合的試題作測查，專家教師突出主干的班正確率達70%，未采用這一設計的班正確率僅47%，可見算理理解的重要作用.

圖4　減法教學的層級分析

圖5　減法運算的流程分析圖

圖6　減法教學的主干分析圖

2.2突出重要的概念類型（以“分數的單位”為例）

對于小學數學教學來說，直觀、形象、管用是與學習興趣連在一起的，這毋庸置疑.但任何直觀都有缺陷，它無法代替數學意義的理解.有一節(jié)課，內容是同分母分數的加法.課上出示了如下的一幅“餅圖”（圖7），用以說明加的運算道理.結果當然是，但也有學生說結果是，因為等號左邊的餅明明分為10塊，兩人共吃了其中的6塊.錯在哪里呢？老師說，分數是部分，整體應該是1個餅，這樣的理由學生聽不懂.老師又說，如果答案是，那就是，怎么比還小了呢？學生更糊涂了.仔細查閱了那位老師所用的新編教材，發(fā)覺教材采用“分餅”引進分數的意義，卻并未突出分數概念的一個重點——分數的單位.其實在上例中，單位是和同單位所以可以相加，結果的單位保持不變，還是，“4個加上2個，一共是6個”，也就是.查清了原因，研究者認為，盡管對分數的理解，可以是m除以n的商，也可以是m與n之比，但對小學生來說，理解這一概念類型的重要之點應為m個度量單位為的數.基于這樣的認識，以分數的單位為重點，適當調整了分數部分的教材：先直觀后用m個引入分數的概念，學生容易接受；用同單位才能比較的道理，導出同分母分數的大小比較；接著很自然地得出單位放大、縮小的分數基本性質和通分、約分的技能；由此到了分數的運算規(guī)則就變得簡易明了.其實，幼兒園的孩子都會說，3頭牛加5匹馬等于8個動物，他們已經有了同單位才能相加的認識.美國的學校，由于未講清分數的單位，小學生常有這樣的疑問“，怎么會越除越大了？”后來老師解釋這除法的意義是4中間有幾個，學生終于明白.試驗表明，突出此一概念的要點，組織好相關概念之間的關系，教學效果便事半功倍，反之則負擔沉重，不得要領.至于試驗的效果數據與錄像分析，因與前一節(jié)的方法相同，限于篇幅，這里就不再重復了.

圖7　餅圖

2.3遵循合理的認知順序（以“周長與面積”為例）

先簡單后復雜、先容易后繁難，這是數學教學的常識性做法.至于改革，原先不合理的可以顛覆，原來合情合理的卻不可以“倒個”.例如，小學生通常都是先學周長再學面積，某省市正好來了個“倒個”，三年級上學期第四章學面積，三年級下學期第五章學周長.先學面積的理由據說有兩條：一是兒童往往先看到整體（長方體），再摸到面（長方形），之后才是線.二是長方形面積公式是“長×寬”，而周長公式“(長×寬)×2”，更復雜.這樣的理由站得住嗎？為此做了兩種順序的對比試驗.試驗“先學面積”遇到的問題是：新教師教得費時費力，學生只是記住了長方形、正方形的面積或周長的計算公式，周長、面積概念混淆；有經驗教師試教，即便在技能上有所改進，但學習實效仍不明顯.順過來，先學周長再學面積：在學習加法時，結合長方形、正方形的周長概念——四周一圈的長度，它是“一段一段加起來的”（加法法則），單位是厘米，師生合作計算，注重概念、運算法則和度量單位3個要素.然后到學習乘法時，再出長方形、正方形的面積概念——整個塊面的大小，它是“一格一格數出來的”，總共幾個格可用幾行幾列相乘得到（乘法法則），單位是平方厘米，1平方厘米大約有“一片指甲那么大”，老師指導學生用學周長3個要素的方法自行學習面積這一新內容，將乘法運算與面積概念結合起來，既解決數形分章導致的兩者割裂，又將學周長的要素遷移到學面積的過程中來，這樣的改進頗有實效.據此作了一次不對等的數據比較，讓僅有兩年教齡的新教師按“先學周長”的順序教，讓17年教齡的有經驗教師按“先學面積”的教材教，各自都上了不斷改進的3次課，結果有經驗老師的課反而效果不理想.選取組合圖形周長、面積計算的正確率和綜合運用單位出借人數百分比3組數據作比較，結果如圖8、9、10所示.由圖可知，到了第三次課，組合圖形周長計算正確率，先學周長的正確率接近100%，先學面積的至多近6成；組合圖形面積計算正確率，先學周長的至少有一成半（15.7%）全會，先學面積的幾乎都不會（0%）；至于周長與面積單位，概念混淆度，先學面積的明顯高于先學周長的安排.可見，兩種順序，對周長、面積概念的理解完全不一樣，即使是有經驗教師，也難免其中的概念混淆，這是很值得引起重視的.

再說周長與面積的關系，它是一個重要的數學問題.很多教材都有以火柴棒為單位搭正方形和長方形的游戲，然后讓學生考察它們的周長和面積，并問你們“發(fā)現了什么”，這樣的問題對學生來說并不明確，雖可發(fā)散，但思考的指向不明.其實是要導向“周長相等，面積不一定相等”的結論.如果再進一步，周長一定的長方形拉得越“扁”，面積變得越小，從而讓他們體驗正方形的面積最大，這是一個較好的數學問題，到了中學還可引出這一問題的簡要證明：設長方形長為a+x、寬為a-x，它的周長是l=4a（定長），面積是當x=0時，面積最大，此時就是每邊為a的正方形.教材還有用火柴棒搭組合圖形的游戲，學生操作時會顯得雜亂、費時，教師常改用畫格子圖的方法讓學生從中探索周長與面積的關系（如圖11）.其實無非是要說明：凹進去的圖形，周長不變甚至增加，面積卻會變小.有老師要學生“探索”凹在角上有什么規(guī)律？凹在邊上有什么規(guī)律？再凹進去怎么樣？這也許就不是一個好的數學問題，節(jié)外生枝鉆牛角尖，學生反而犯糊涂.這樣的“深挖洞”究竟有多大的思維價值？

圖8　組合圖形周長計算正確率統(tǒng)計

圖9　組合圖形面積計算正確率統(tǒng)計

圖10　綜合運用周長和面積單位出錯率統(tǒng)計

圖11　“探索”周長與面積的關系

怎樣設計好的數學問題，是對專業(yè)知識的一種挑戰(zhàn).這里不妨讓教師了解一點“等周問題”.先是等周長的四邊形正方形面積最大，然后等周長的多邊形正多邊形面積最大，最終是個著名的數學問題：平面上等周長的封閉曲線中，圓圍成的面積最大.這可以用有趣的肥皂膜上的實驗來演示.近世幾何學家施泰納有一種證明，共分3步：

（1）等周長面積最大的圖形一定是凸的.如果是凹的，如圖，一定可把翻成，此時周長不變，但面積比前者更大，出現矛盾.

（2）平分該圖形周長的弦一定平分它的面積.如果AC不平分該圖形ABCD的面積，上半部分大下半部分小，可把翻成，此時周長不變，但圖形ABCB’面積更大，出現矛盾.

（3）該圖形一定是圓.因為平分，可只研究該圖形的一半，P為上任一點，如圖12，Ⅰ、Ⅱ兩塊圖形不變，第Ⅲ塊是三角形，只有當∠P為直角時面積最大，因此P在半圓弧上.這個定理在數學史上占有重要地位，它對變分法的產生和發(fā)展起了重大作用.各種各樣的等周問題，不但有趣、而且管用，人們稱為是一個好的數學問題.1984年蘇步青先生在上?？茖W會堂為中學數學教師辦講習班，蘇老專著《微分幾何五講》，第一講都是圓的等周問題，他是用高等數學方法證明的.

圖12　圓圍成的面積最大

2.4提供攀登式的學習機會（以“有余數的除法”為例）

這是一個根據測評反思然后改進教學行為的生動范例.早在1996年，弗賴登塔爾研究所的達朗其（Jan de Lange）在ICME-8的大會報告中介紹了荷蘭的一堂課：81名家長出席學校家長會，每張桌子可坐6人，需要布置多少張桌子？一類學生具體地擺桌子；第二類學生經歷了具體擺到抽象為算式運算的過程；第三類學生只是套用現存的算式去做.他認為，三類學生中只有第二類才真正體驗到了“數學化”的含義.原先中國某校一位老師的課，第一個環(huán)節(jié)是復習，要學生區(qū)分除法有兩種，一種是等分除法，還有一種是包含除法，例如前面達朗其的問題，81中包含幾個6，屬于包含除法.第二個環(huán)節(jié)是程式化的訓練，如3×()＜7，()里最大能填幾，為試商作鋪墊.第三個環(huán)節(jié)才進入有余數的除法，學生并不清楚前兩個環(huán)節(jié)的用意是什么？跟著走，一頭霧水.到第三環(huán)節(jié)才點出今天這堂課的主題，單就計算（包括余數概念和試商技能）而言學生不覺得很難.第四個環(huán)節(jié)要跳一跳”，引導學生“攀登”，即自行尋找余數與除數之間有什么規(guī)律？學生都說不知道.老師具體列出

再問學生可以看出什么規(guī)律？學生還是不知道.老師說，余數分別是1、2、3、4，除數是5，它們之間有什么關系？學生說1+4=5、2+3=5，還是不著邊際.此時下課鈴響了，老師只好這樣問，1、2、3、4比5大還是?。繉W生恍然大悟齊聲說：1、2、3、4比5小.老師接著小結：我們通過師生共同探索，余數一定小于除數.課后組織研討，大家一致認為，在這堂課上學生沒有真正體驗數學化的過程，這是假的攀登式學習.其中一位農村教師說，在我們鄉(xiāng)下教除法，用的是一句話：“除法就是分豆子”.教師們由此得到啟發(fā)，試驗了如圖13所示的改進方法：7顆豆平均分放3個盤子.這樣一改，課上得順暢了，一邊是從實物到算式的形式化，另一邊是從算式到實物尋找意義，真的體驗了數學化的全過程.

圖13　“除法就是分豆子”

可是，這樣的試驗還碰到了問題：學生只會動手做，除法要拿豆子來.雖然熱熱鬧鬧，卻陷入了教學的淺薄.老師們針對該問題作了進一步的改進，分了幾次豆子之后，要學生“放掉豆子和盤子，然后在腦中分豆子，這一改進很見效，學生學會了動腦想，看似靜悄悄，卻能拒絕思維的貧乏.到了需要“攀登”的環(huán)節(jié)，老師還是問：余數與除數有什么規(guī)律？以前是都說不知道，這次不少學生都說：余數要小于除數.老師問為什么？學生則說：余數是余下的豆子數，除數是盤子數，如果余下的豆子數比盤子數大，那每個盤子至少還可以放一顆.由此足見，安排適合兒童的認知情境和學習臺階，由此組織學生的探索和攀登，潛力無窮，這正是近年來中國教師的實踐創(chuàng)造.

為了對這類創(chuàng)造性改進作量化的分析，研究者曾采用弗蘭德師生語言互動作時間考量，以探討“余數小于除數”的環(huán)節(jié)為例，數據如表2.制成統(tǒng)計圖見圖14.由圖可見，改進后與改進前相比較：（1）課堂靜止或不理解的時間、教師指示或命令、批評或辯護權威行為，在改進課中下降為零；教師演講、學生按老師要求表述，明顯減少.（2）教師的提問、學生主動表達自己的發(fā)現的語言在改進課中明顯增加；教師接納學生感覺的語言也有上升.這就清楚顯示了教學的理念與行為正在發(fā)生有益的改變.

圖14　改進前后師生語言互動狀況統(tǒng)計圖

3　結語與建議

前文用了4個課例，作散點式的典型考察，其意義不在具體內容，而在4類普遍性問題的深化討論，那就是在小學數學的教改中，盡可能遵循數學的內在邏輯，突出原理和概念類型的重點，循序漸進地安排認知順序，將會在很大程度上提升數學學習的效能.而且，學生的應用能力和創(chuàng)造性思維無法單獨授受，植根于好的數學情境和實施臺階式的攀登學習，才有望獲得提升.這是回歸樸素的教學改革的基本道理，所謂“素者不飾”，樸素的東西絕不靠外觀裝點得來，應是一種內涵的深化.值得一提的是，這正體現了中國傳統(tǒng)的優(yōu)勢，尤其是改革開放以來我國數學教改的新創(chuàng)造.由此看來，新中國數學教育工作者半個多世紀以來不斷變革的教學研究與完整的指導系統(tǒng)堪稱“國之瑰寶”，她堅守的在工作實踐中歷練的正確思路值得進一步的傳承與光大.

表2　師生語言互動時間分布表

建議有下述3條.

（1）充分重視數學學科知識與教學理論知識的融合，以此推動整個數學教研，可使當前的改革具備更堅實更可信的基礎.

這本來是數學教研的題中應有之義，似乎不必多說.可是，長期以來，前有純學科的結構化偏向，丟掉了數學來源于生活，它有廣泛的實際應用；忘記了兒童如何學數學有其獨特的認知方式，成人化的材料和學法使數學變得艱澀難懂，無奈之下，數學教學淪落為死讀硬記、程式訓練.之后，又出現了只講教育教學理念的“去數學化”改革傾向，例如逢課必談生活中的實用，把情境興趣僅作為一件漂亮的外衣，文中第一個課例中濫用“估算”與表面熱鬧的“算法多樣化”等，生硬套用各種理念，老師們有強烈反應：是為形式理念而教，還是為理解掌握而教？看來，這里所說的兩類知識還處于割裂的狀態(tài)，課程教材有這樣的毛病，教學尤甚.到了教師的專業(yè)培訓，兩方面的專家常各唱一調，講教學論的不牽入數學，講數學的忽視兒童認知特點.所以，這里建議特別提醒兩類知識的“融合”，它對數學教育工作者來說，是個特別重要的問題.

那是一類新的知識，早在1986年，美國的心理學家舒爾曼（L. Shulman）把它稱為學科教學法知識（PCK），引發(fā)了此后各種細化的分類研究和不同意見的爭論，但重要的卻是，他正確地指出，這種知識不是學科與教學論兩類知識的拼盤，而必須煉成一種“合金”.往后不少學者的研究指出，是否具備這種知識是專業(yè)教師與學科專家的分水嶺，它是所有各種教師專業(yè)知識的金字塔的塔頂.這里的研究則發(fā)現，盡管理論工作者正在對這種知識的分解與歸納做研究，使它形成一個可以“明言”的體系，而在廣大一線教師這一頭，已有大量可以“意會”的閃光碎片，它們常以真實的案例形態(tài)出現.比如文中第一個課例中，曾提到的兩位數退位減法中，分11步走的層級分析很數學化，但并不切合于教學；減法流程的機械化分析，符合信息加工的認知方式，但少了算理的理解.而一位專家教師把算理與認知融合在一起，采用強調算理理解“不掉鏈子”的主干分析，在應用中卻取得相當的成功.這樣精彩的事例舉不勝舉，如能加以集中歸納，豈不是一樁有益的大事？

（2）堅守先設計再改進的循環(huán)、前分析后評估的往復，才能使數學教研成為可操作的專業(yè)實踐過程.

這看來又是一個需要回到常識的話題.前面說到數學教學的一類新的知識，其實是一種實踐性的知識，它無論對于數學教學研究，還是實際指導，均為頭等重要.眾所周知，數學教學是一個專業(yè)領域.早在1996年，著名學者西蒙（H. Simon）就指出，專業(yè)與科學不同，科學的對象是自然物，專業(yè)的對象主要是人造物，比如建筑，又如教育，它們常常為了某個特定的目標，通過不斷地設計與改進去實現，為了建筑物的實用或美觀，設計、改進循環(huán)往復沒有底.數學教學作為專業(yè)也是一樣，不斷地設計與改進成了教師專業(yè)化的根本途徑.所謂前端分析是在學生現有基礎上確立數學教學的目標與價值，過程評估重在考量目標的達成度，有終結的、階段的也有即時的情況.明確了特定目標，才有后面的任務設計與教學改進.文中第二個課例是單位分數，從直觀解釋出現的問題，進而分析分數單位的價值意義，才有后來的新設計與教學改進.

從實際問題到學會數學化是數學教學的一個重要目標.這里以第四個課例為例談談其中的設計與改進.有余數的除法用“分豆子”來引入，很直觀、容易理解什么是余數，試商是什么意思，而且一邊是“分豆子”的操作，另一邊是算式的運算，正過去是數學抽象，反過來是尋找意義，比較好的體現了“數學化”的一個過程.設計是好的，但在教學過程中碰到了問題：學生依賴于實物，不會動腦想，于是試驗了一種改進：中間插入一個環(huán)節(jié)——“腦中分豆子”，幾次之后，很順利地進入了有余數除法的算式運算，而且學生還能得出“余數小于除數”的規(guī)律性認識.關于這個問題，指導者告訴老師，美國學者布魯納（J. S. Bruner）有個認知三操作理論，學生學習的規(guī)律總是循著“具象”操作到半具體、半抽象的“表象”操作，最后達到“抽象”操作的結果.老師則說，“原來如此，但過去學理論太高深我們不會用，結合例子我們才能理解.”可見，理論要化解為教學的情境知識，讓老師從課例中積累，這是一筆寶貴的財富，沿著這樣的路，教師的專業(yè)化方能成為可操作、可檢測的過程.

（3）基于分析的設計和基于證據的改進，可以作為當前改進教研工作的兩個重要的突破口.

整個案例研究，研究者深切認識到，一線教師與研究人員的親密合作實屬頭等重要.一線教師經驗豐富但缺少理性的觀照，研究人員理論深刻但缺乏對實情的細微了解.高水平的案例創(chuàng)造需要兩者的合作互補.真正的合作并不容易，合作要有共同關注的課題作紐帶.多年的實踐表明，如下兩個方面是高水平案例制作較難破解的障礙.一是教學設計與改進僅出于簡單經驗和習慣做法，沒有鮮明的改革目標指向和有特點的具體措施，許多課例大多同質，甚至流于灌輸知識和機械訓練的老路子，比如有余數除法中原先一位老師的課就是這樣.二是這種設計與改進，沒有針對學生學習中出現的新問題或偏離教學已定目標的新現象，這樣的課例，即使有一定的變化，欠缺了為什么這樣改變的依據.因此，設計源于科學分析、改進基于過程測評，成為數學教學改革兩個重要的突破口.

現以第三個課例即“周長與面積”為例.先教周長還是先教面積可以有多種不同的理由解釋，為此研究者作了兩種順序的教學設計，不僅以過程實錄作描述性的記載，從中尋找各自的問題與優(yōu)勢，而且做了過程性測試和對比，以此兩條給出實證依據.而且，還對加法與周長、乘法與面積作數形結合的思考，從教會學生學習方法的角度，先是講授為主讓學生學會周長運算的3個要素，后是放手讓學生根據3個要素自行開展面積的學習.這樣的設計與改進，增強了改革目標的導向性和現實問題的針對性，處處針對前分析做出有效設計，以實效評估為證據隨時改進教學.

說完了3點建議，就此再提一個問題：早在2005年，美國學者李希（R. Lesh）和斯里拉曼（B. Sriraman）等已從設計科學的角度，將數學教學比之于建筑事業(yè)，并說：建筑留下的不是理論，而是房子.那么數學教學改革給老師留下的該是什么？

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Data·Cases·Suggestions——Discussion on the Curriculum Revolution of Mathematics in Primary School

GU Fei-shi1, GU Ling-yuan2
(1. East China Normal University Mathematics Departments, Shanghai 200241, China;
2. Shanghai Academy of Educational Sciences, Shanghai 200032, China)

This article focuses on the requirement of teaching researches in elementary school. It used data analysis and narrative analysis to do empirical research in cases of teaching. The results shows that there are four significant important parts in teaching research which are the understanding of logical structure of the subject, highlighting the important concepts types, advancing gradually in cognition and providing challenges in study. The article suggests that the design based on analysis and improvements based on evidences are breakthrough points, the accumulations in these two parts could build up a solid foundation of practicing knowledge in math teaching.

logical main structure; important point of content; advance gradually; challenges in study; practicing knowledge

G420

A

1004–9894（2015）06–0073–07

[責任編校：周學智]

2015–08–10

顧非石（1980—），男，上海人，博士生，主要從事數學教學研究．