高等數(shù)學(xué)中不定積分求法的探討

梁翠敏

摘要：不定積分的求解問題是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常遇到的問題之一，其主要思想就是根據(jù)已知函數(shù)來求其原函數(shù)。不定積分的求解方法很多，而且運(yùn)用靈活，本文將介紹不定積分的性質(zhì)，分析不定積分的多種求解方法并結(jié)合高等數(shù)學(xué)中實(shí)際例題加以探討。

關(guān)鍵詞：不定積分 高等數(shù)學(xué) 求解方法

不定積分是我們所學(xué)高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，下面我們就結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的實(shí)際例題對(duì)不定積分問題的求解方法進(jìn)行總結(jié)及探討。

一、不定積分的基本概念及性質(zhì)

定義 ：若在某區(qū)間上，有可導(dǎo)函數(shù)，如果存在此函數(shù)的原函數(shù)，則稱函數(shù)為可積函數(shù)，并將函數(shù)的全體原函數(shù)表示為，稱是在區(qū)間上的不定積分，其中是積分符號(hào)，是被積函數(shù)，被稱作積分變量。

性質(zhì)1：兩個(gè)可積函數(shù)的代數(shù)和的積分等于它們各自積分代數(shù)和，其表達(dá)式為：

這個(gè)性質(zhì)可以用于將自身不容易積分的函數(shù)分解為兩個(gè)容易積分的函數(shù)來求解，或是將兩個(gè)不容易積分的函數(shù)合并為和的形式來求解，這樣便于更加靈活的求解不定積分。

性質(zhì)2：被積函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)可以被提到積分號(hào)外，其表達(dá)式為：

這個(gè)性質(zhì)可以使得不定積分的求解計(jì)算更加清晰明了，不至于因?yàn)槌?shù)因子的干擾而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。

二、不定積分的求解方法

本部分以高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實(shí)際例題來說明不定積分求解方法的原理和所適用的情況，為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不定積分的求解起到一定的指導(dǎo)作用。

1.直接積分法

直接積分法主要是直接或是通過不定積分的積分公式以及不定積分的線性運(yùn)算規(guī)則來求不定積分，基本思路是：首先把被積函數(shù)變換為多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)和的形式，然后再通過不定積分線性運(yùn)算的法則和不定積分的基本積分的公式求解。

例1：不定積分的求解

分析：若果對(duì)它直接進(jìn)行積分會(huì)發(fā)現(xiàn)很難，因此我們需要對(duì)所求的不定積分變形，使其出現(xiàn)能夠使用簡(jiǎn)單的積分公式就能求出不定積分的形式。

解：

注：解此類題目，需要在能夠記牢基本不定積分公式的基礎(chǔ)上還要能夠熟練運(yùn)用這些公式，做到變換自如方能解題無阻。

2.換元法

第一類換元積分法

第一類換元積分法就是將所求被積函數(shù)用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q以后，轉(zhuǎn)化為公式中能夠被積分的一種形式。也就是說當(dāng)不定積分不容易用直接積分法求得時(shí)，我們可以將被積函數(shù)分解成的形式，通過變量代換，將關(guān)于的積分化為的積分，于是就有了下面的公式：

可以被簡(jiǎn)單積出，那么不定積分的問題也就解決了。

其基本步驟如下：

（1）先湊微分，即

（2）然后做變量代換后的積分，令，即

（3）最后再將變量帶回得到原問題的解，即

例2：不定積分的求解

分析：看到積分變量上只是常數(shù)因子就應(yīng)該要簡(jiǎn)單一些，就應(yīng)該很容易想到要將作為換元的對(duì)象，然后就會(huì)很容易求出原不定積分的解。

解：設(shè)，則，于是按照上述步驟就得到下面的求解過程：

第二類換元積分法

如果出現(xiàn)不定積分使用前兩種方法都不易求得，但是，在作變量替換后，得到的不定積分可以被求得，我們?nèi)ソ獾膯栴}就是第二類換元方法。

其基本步驟如下：

（1）首先換元，令，即

（2）然后再進(jìn)行積分，

（3）最后代回，求出原不定積分的解，即

例3：不定積分的求解

分析：這是典型的第二類換元的例題，也是最常見的第二類換元形式，見到這種形式，首先就應(yīng)該想到嘗試用三角函數(shù)去換元。

解：令，則，，因此上述不定積分問題可以轉(zhuǎn)換為下面公式

由于，因此可以得到，帶入上式可得

3.分部積分法

分部積分法通常適用的情形是兩類完全不同的被積函數(shù)的乘積。分部積分法主要包括兩種類型：降冪分部積分和升冪分部積分。用此方法求解不定積分問題時(shí)的原則同樣是是以新得到的積分比原先的積分更容易“積分”作為選擇的原則。

三、總結(jié)

不定積分求解問題雖然沒有固定方法可循，但這些題目的核心還是有規(guī)律可循的。在不定積分的學(xué)習(xí)過程中，要靈活多變，注意方法的結(jié)合，在練習(xí)中不斷提升解不定積分問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008：130—149.

[2]張立卓， 孫輝. 談不定積分運(yùn)算中的一些靈活性[J]. 高等數(shù)學(xué)研究， 2002， 5（4）：32-34. DOI：10.3969/j.issn.1008- 1399.2002.04.014.