無(wú)窮區(qū)間上含有p-Laplacian算子的n階積分邊值問(wèn)題正解的存在性

禹長(zhǎng)龍，王菊芳，李國(guó)剛

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018）

1 問(wèn)題提出

無(wú)窮區(qū)間上的邊值問(wèn)題起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用背景。早在1908年，BLAIUS利用相似變化技巧，對(duì)不可壓縮均勻流體沿零攻繞流無(wú)限大平板的邊界層情況給出了著名的布拉休斯邊界層方程：

這是出現(xiàn)最早的無(wú)窮區(qū)間邊值問(wèn)題［1］。1957年，KIDDER在研究半無(wú)窮多孔介質(zhì)壓力與位置及時(shí)間的關(guān)系時(shí)也得到無(wú)窮區(qū)間上的邊值問(wèn)題：

對(duì)這類問(wèn)題的一系列研究，形成了無(wú)窮區(qū)間上的邊值問(wèn)題［2］。近年來(lái)，由于無(wú)窮區(qū)間邊值問(wèn)題的廣泛應(yīng)用，引起了越來(lái)越多人們對(duì)無(wú)窮區(qū)間邊值問(wèn)題解的存在性的關(guān)注，主要結(jié)果見文獻(xiàn)［3］—文獻(xiàn)［11］。

無(wú)窮區(qū)間上含p-Laplacian算子的微分方程邊值問(wèn)題也被廣泛研究［12-15］，無(wú)窮區(qū)間上的含p-Laplacian算子的高階微分方程邊值問(wèn)題的研究結(jié)果很少。關(guān)于這類方程在積分邊界條件下的邊值問(wèn)題的結(jié)論目前還未見到。

本文研究一類無(wú)窮區(qū)間上的含p-Laplacian算子的階微分方程積分邊值問(wèn)題：

解的存在性，其中η∈ ［0，＋∞），α∈ ［0，＋∞）且f∈C（［0，＋∞）×R×R，［0，＋∞））。

假設(shè)滿足以下條件：

H2）f：［0，＋∞）×R×R→ ［0，＋∞）連續(xù)；

H3）F（t，u，v）=f（t，（1＋t）n-1u，（1＋t）n-2v），?ω∈C1（［0，＋ ∞），［0，＋ ∞））非減，且 ?θ（x）∈L1［0，＋ ∞），使得|F（t，u，v）|≤θ（t）φp（ω（|u|））；

2 預(yù)備知識(shí)

定義空間：

下面給出Leray-Schauder非線性抉擇定理。

定理1［16］設(shè)X為賦范線性空間，K?X為有界凸子集，Ω?K為相對(duì)開集，T→K為全連續(xù)映射，點(diǎn)p∈Ω，則下列結(jié)論至少有1個(gè)成立：

1）T在中有不動(dòng)點(diǎn)；

2）?x∈?Ω，λ∈ （0，1），使x=λTx＋（1-λ）p有解。

由于Arzela-Ascoli定理在無(wú)窮區(qū)間上是失效的，為此給出一個(gè)新的判定無(wú)窮區(qū)間相對(duì)緊集的準(zhǔn)則。

則V為X中的相對(duì)緊集。

證明引理的證明類似于文獻(xiàn)［17］中引理2.2的證明。

引理2 設(shè)y∈C（R＋，R＋），則邊值問(wèn)題：

有唯一解：

其中，G（t，s）稱為n階積分邊值問(wèn)題（2）的Green函數(shù)，且

證明對(duì)邊值問(wèn)題（2）的第1式兩邊積分，積分區(qū)間為［t，＋∞），則有：

對(duì)式（3）兩邊積分，積分區(qū)間為［0，t］，則有：

由邊界條件可得：

再對(duì)式（4）兩邊積分，積分區(qū)間為［0，t］，則有：

由邊界條件并交換積分次序得：

重復(fù)上面的過(guò)程，經(jīng)過(guò)n次積分可得：

因此可得：

引理得證。

引理3 ?t，s∈ ［0，＋ ∞），則有：

證明由函數(shù)的單調(diào)性易證。

定義算子T：P→X為

且易得：

引理4 假設(shè)條件H1）—條件H4）成立，則算子T：P→P是全連續(xù)的。

證明易證T：P→P成立。下面證T連續(xù)且是相對(duì)緊的。

首先，證明算子T是連續(xù)的。

設(shè)xn，x∈P且n→＋ ∞ 時(shí)，xn→x，則存在r0使得supn∈N＼｛0｝‖xn‖ ≤r0。令

顯然有：

由勒貝格控制收斂定理可得：

于是有：

綜上所述，當(dāng)n→＋∞時(shí)，‖（Txn）-（Tx）‖→0，所以T是連續(xù)的。

其次，證明算子T將有界集映為相對(duì)緊集。

設(shè)Ω是P的任意有界集，則存在r＞0，使得?x∈Ω，‖x‖＜r，

且

取

下證?x∈Ω，TΩ是等度連續(xù)的。

同理可得：

所以對(duì)?x∈Ω，TΩ是等度連續(xù)的。

最后，證明TΩ是一致收斂的。對(duì)于?x∈Ω，有：

且

所以TΩ是一致收斂的，由引理1得TΩ是相對(duì)緊集，即T是緊算子，因此，T：P→P是全連續(xù)的，證畢。

3 主要結(jié)論及證明

定理2 設(shè)條件H1）—條件H4）成立，且假設(shè)條件H3）中的函數(shù)ω和θ滿足：

H5）?ρ＞0使得：

則邊值問(wèn)題（1）至少有1個(gè)正解x（t），且

其中：

證明考慮邊值問(wèn)題：

其中0＜λ＜1，求解式（7）等價(jià)于求解不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題x=λTx。

令U= ｛x∈X，‖x‖ ≤ρ｝，斷言對(duì)于 ?x∈?U，λ∈ （0，1），x≠λTx。假使不然，設(shè)存在x∈?U，λ∈ （0，1），使得x=λTx，則

所以

即

同理，有：

所以

即

這與條件H5）矛盾，由定理1和引理4可得邊值問(wèn)題（1）至少有1個(gè)正解x（t），且‖x（t）‖＜ρ。

［1］ 鄭連存，張欣欣，赫冀成.傳輸過(guò)程奇異非線性邊值問(wèn)題［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

ZHENG Liancun，ZHANG Xinxin，HE Jicheng.Singular nonlinear Boundary Value Problem for Transmission Process［M］.Beijing：Science Press，2003.

［2］ KIDDER R E.Unsteady flow of gas through a semi-infinite porous medium［J］.J Appl Mech，1957，27：329-332.

［3］ AGARWAL R P，O’REGAN D.Nonlinear boundary value problems on the semi-infinite interval：An upper and lower solution approach［J］.Mathematika，2002，49：129-140.

［4］ 禹長(zhǎng)龍，李志廣，魏會(huì)賢，等.無(wú)窮區(qū)間上二階m點(diǎn)共振邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（1）：7-14.

YU Changlong，LI Zhiguang，WEI Huixian，et al.Existence and uniqueness of solutions for second-orderm-point boundary value problems at resonance on infinite interval［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（1）：7-14.

［5］ AGARWAL R P，O’REGAN D.Infinite Interval Problems for Differential，Difference and Integral Equations［M］.Nether lands：Kluwer Academic Publisher，2001.

［6］ BAI C，F(xiàn)ANG J.On positive solutions of boundary value problems for second-order functional differential equations on infinite intervals［J］.J Math Anal Appl，2003，282：711-731.

［7］ BAXLEY J V.Existence and uniqueness for nonlinear boundary value problems on infinite interval［J］.J Math Anal Appl，1990，147：127-133.

［8］ YU C，GUO Y，JI Y.Existence of solutions form-point boundary value problems on a half-line［J］.Advances in Difference Equations，2009，15：11.

［9］ GALLARDO J M.Second order differential operators with integral boundary conditions and generation of semigroups［J］.Rocky Mt J Math，2000，30：1265-1292.

［10］郭彥平，李春景，韓迎迎.帶p-Laplace算子的三階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，35（6）：524-528.

GUO Yanping，LI Chunjing，HAN Yingying.Existence of positive solutions for boundary value problem of the third order differential equations withp-Laplacian［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2014，35（6）：524-528.

［11］GUO D.Integro-differential equations on unbounded domains in banach spaces［J］.Chin Ann of Math，1999，4：435-446.

［12］LIAN H，PANG H，GE W.Triple positive solutions for boundary value problems on infinite intervals［J］.Nonlinear Anal，2007，67：2199-2207.

［13］GUO Yanping，YU Changlong，WANG Jufang.Existence of three positive solutions form-point boundary valueproblems on infinite intervals［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：717-722.

［14］YU C，WANG J，GUO Y，et al.Positive solutions for boundary-value problems with integral boundary conditions on infinite intervals［J］.Elec J Diff Equa，2012，158：1-9.

［15］禹長(zhǎng)龍，王菊芳，左春艷.一類含有p-Laplacian算子二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，35（2）：127-133.

YU Changlong，WANG Jufang，ZUO Chunyan.Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems withp-Laplacian operator［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2014，35（2）：127-133.

［16］LERAY J，SCHAUDER J.Topologie et equations fonctionelles［J］.Ann Sci Ecole Nor，1934，51：45-78.

［17］LIU Y.Boundary value problem for second order differential equations on unbounded domain［J］.Acta Anal Funct Appl，2002，4：211-216.