從2015年高考新課標卷Ⅱ第12題談?wù)剬?dǎo)函數(shù)的構(gòu)造

陳崇榮++陳坤其

（2015年高考新課標Ⅱ第12題）設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）

的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）圖1

解構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）x，h′（x）=xf′（x）-f（x）x2<0，所以h（x）在0，+∞單調(diào)遞減，又因為f（x）是奇函數(shù)，所以h（x）是偶函數(shù)，h（-1）=f（-1）-1=f（-1）=0.由h（x）=f（x）x得f（x）=x·h（x），要使f（x）>0，只需x·h（x）>0，即x>0，

h（x）>0，或x<0，

h（x）<0.畫出h（x）的草圖，如圖1，所以x<-1或0

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）x是其中一個關(guān)鍵點，如何構(gòu)造呢？課本是否出現(xiàn)類似這樣的結(jié)構(gòu)呢？在《普通高中課程標準試驗教科書·數(shù)學(xué)選修2-2》中《導(dǎo)數(shù)的計算》給出了導(dǎo)數(shù)運算法則：[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）（g（x）≠0）.很明顯在該運算法則中只需令g（x）=x就可得到題中的結(jié)構(gòu)xf′（x）-f（x）.2拓展

構(gòu)造函數(shù)在各地高考及質(zhì)量檢查中經(jīng)常出現(xiàn)，本文就總結(jié)一些典型的構(gòu)造.

2.1構(gòu)造和（差）函數(shù)——若形如f′（x）±g′（x），可以構(gòu)造f（x）±g（x）.

例1設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對任意的x∈R有f（x）+f（-x）=x2，且在（0，+∞）上有f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.[1，+∞）B.（-∞，1]C.（-∞，2]D.[2，+∞）

解析f（x）+f（-x）=x2可以變形為f（x）-x22+f（-x）-x22=0.令g（x）=f（x）-x22，則g（x）+g（-x）=0，所以g（x）為奇函數(shù).當(dāng)x>0時，g′（x）=f′（x）-x>0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，g（x）在R上單調(diào)遞增，f（2-a）-f（a）≥2-2a可變形為f（2-a）-（2-a）22≥f（a）-a22，即g（2-a）≥g（a），所以2-a≥a，即a≤1.所以選擇B.

點評本題由“f′（x）>x”能否想到構(gòu)造函數(shù)“g（x）=f（x）-x22”呢？思路應(yīng)該結(jié)合已知條件“f（2-a）-f（a）≥2-2a”的變形f（2-a）-（2-a）22≥f（a）-a22，找到突破口.

2.2根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造積函數(shù)

形如f′（x）g（x）+f（x）g′（x），可以構(gòu)造h（x）=f（x）g（x），例如：

①對于f′（x）+f（x）>0（<0），構(gòu)造h（x）=exf（x）；

②對于xf′（x）+f（x）>0（x<0），構(gòu)造h（x）=xf（x）；

③對于xf′（x）+nf（x）>0（<0），構(gòu)造h（x）=xnf（x）等.

例2（皖南八校2015屆高三第一次聯(lián)考）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x<0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）

A.1B.3C.5D.1或3

解析因為當(dāng)x<0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）x2f（x），令F（x）=x2f（x），式子2xf（x）+x2f′（x）>x2f（x）就轉(zhuǎn)化為F′（x）>F（x），即F′（x）-F（x）>0，再次構(gòu)造函數(shù)F（x）ex，則[F（x）ex]′=ex[F′（x）-F（x）]（ex）2>0，于是F（x）ex在（-∞，0）上單調(diào)遞增，所以F（x）ex0時，則-x<0，所以-2xf（-x）+x2f′（-x）>x2f（-x），所以2xf（x）+x2f′（x）>-x2f（x），所以F′（x）+F（x）>0，所以[exF（x）]′>0，所以exF（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以exF（x）>e0F（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）>0；又因為f（0）=0，所以f（x）在R上的零點個數(shù)為1個.選擇A.

點評本題兩次構(gòu)造函數(shù)“F（x）=x2f（x）”和“F（x）ex”頗有難度，仔細分析也“有跡可尋”，從“2xf（x）+x2f′（x）>x2f（x）”出發(fā)，首先由“2xf（x）+x2f′（x）”不難想到構(gòu)造函數(shù)“F（x）=x2f（x）”，于是有“F′（x）-F（x）>0”，從而再次構(gòu)造出“F（x）ex”，問題便解決.

2.3根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造商函數(shù)

形如f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x），可以構(gòu)造h（x）=f（x）g（x），例如：

①對于xf′（x）>f（x）（xf′（x）-f（x）<0），構(gòu)造h（x）=f（x）x；

②對于f′（x）>f（x）（f′（x）-f（x）<0），構(gòu)造h（x）=f（x）ex；

③對于xf′（x）>nf（x）（xf′（x）-nf（x）<0），構(gòu)造h（x）=f（x）xn；

④對于f′（x）>kf（x）（f′（x）-kf（x）<0），構(gòu)造h（x）=f（x）ekx.

例3（2015年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查）定義在0，+∞上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-f（x）=x，且f1=1.現(xiàn)給出關(guān)于函數(shù)f（x）的下列結(jié)論

①函數(shù)f（x）在1e，+∞上單調(diào)遞增②函數(shù)f（x）的最小值為-1e2

③函數(shù)f（x）有且只有一個零點④對于任意x>0，都有f（x）≤x2

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由xf′（x）-f（x）=x的結(jié)構(gòu)，我們可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）x，則

g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，于是g′（x）=1[]x[X）]，所以可以設(shè)g（x）=lnx+c，又因為f（1）=1，所以g（1）=1，所以ln1+c=1，解得c=1.我們可以得到g（x）=lnx+1，從而f（x）=xlnx+x.

對于選項①②可以通過求導(dǎo)來判斷.f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，得x=1e2.

當(dāng)x>1e2時，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0

令f（x）=0，得xlnx+x=0，即x=1e，x=0（舍），所以f（x）有且只有一個零點，故③正確.

對于④，我們只要證明xlnx+x≤x2對任意x>0恒成立，即證lnx+1≤x成立，很明顯該不等式成立，所以④正確.綜上所述，選D.

例4（甘肅省蘭州市2015年高三診斷）己知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）

A.（-2，+∞）B.（0，+∞）C.（1，+∞）D.（4，+∞）圖2

解析因為f（x+2）為偶函數(shù)，所以f（x+2）的圖像關(guān)于x=0對稱，所以f（x）的圖像關(guān)于x=2對稱，所以f（4）=f（0）=1.令g（x）=f（x）ex（x∈R），則g′（x）=f′（x）ex-f（x）ex（ex）2=f′（x）-f（x）ex，又因為f′（x）0.故選B.

點評例3和例4中，由“xf′（x）-f（x）”、“f′（x）

例5（四川省成都外國語學(xué)校2015屆高三月考）定義在（0，π2）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）

A.3f（π4）>2f（π3）B.f（1）<2f（π6）sin1

C.2f（π6）>2f（π4）D.3f（π6）

解析設(shè)F（x）=f（x）sinx，則F′（x）=f′（x）sinx-f（x）cosxsin2x，因為f（x）0，于是F′（x）>0，x∈（0，π2），所以F（x）=f（x）sinx在（0，π2）上為增函數(shù)，因為π4<π3，所以F（π4）π6得F（1）>F（π6），即f（1）>2f（π6）sin1，所以B也錯誤；由π6<π4，所以F（π6）

點評能否構(gòu)造出函數(shù)F（x）=f（x）sinx是關(guān)鍵，從哪里出發(fā)尋找解題的突破口呢，很明顯應(yīng)該從題目的已知條件f（x）0，于是根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）sinx.

由上可知，根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，如何構(gòu)造呢，我們可以根據(jù)已知條件和導(dǎo)數(shù)的三個運算法則：①[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x）②f（x）g（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）、③[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）進行恰當(dāng)?shù)倪x擇符合題意的函數(shù)，從而構(gòu)造出新的函數(shù)，進而解決問題.