雙根法是優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的又一利器

我們知道，二次函數(shù)有三種形式，分別是一般式、頂點(diǎn)式、雙根式.其中雙根式可以把一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）表示為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2為方程ax2+bx+c=0的兩根.對于雙根式的應(yīng)用，筆者通過翻閱大量資料發(fā)現(xiàn)，其應(yīng)用大都僅僅局限于二次函數(shù)方面，似乎不能在其他方面發(fā)揮功效，筆者又在知網(wǎng)上搜索雙根法的相關(guān)文章，也不能看到其他方面的應(yīng)用，似乎很少有人研究.但事實(shí)上，雙根法還可以有更精彩的應(yīng)用.筆者下面通過幾道近幾年的高考題為例，談?wù)勊趦?yōu)化解析幾何運(yùn)算方面的應(yīng)用.現(xiàn)分析如下，供大家參考.

例1（2012年高考重慶卷第20題）如圖1所示，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形.圖1

（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程.

分析本題是一道典型的直線與圓錐曲線的綜合解答題，通常的做法是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理消元解決.結(jié)合本題，問題的關(guān)鍵是解決PB2⊥QB2這個(gè)條件轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零之后的復(fù)雜運(yùn)算，思路雖然清晰，但運(yùn)算比較復(fù)雜.

傳統(tǒng)解法（1）該橢圓的離心率e=255，標(biāo)準(zhǔn)方程為x220+y24=1；（略）

（2）由（1）知B1-2，0，B22，0.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然不成立.

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)其方程為y=kx+2.Px1，y1，Qx2，y2.

由y=kx+2，

x220+y24=1，得x2+5k2x+22-20=0.即（1+5k2）x2+20k2x+20k2-20=0，

所以x1+x2=-20k21+5k2，x1x2=20k2-201+5k2.

因?yàn)镻B2⊥QB2，所以PB2·QB2=2-x12-x2+y1y2=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在直線y=k（x+2）上，所以y1=k（x1+2），y2=k（x2+2）.

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0，

所以4-2（x1+x2）+x1x2+k2x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0，

化簡得（1+k2）x1x2+（2k2-2）（x1+x2）+4k2+4=0.

所以（1+k2）×20k2-201+5k2+（2k2-2）×-20k21+5k2+4k2+4=0，（1+k2）×5k2-51+5k2+（2k2-2）×-5k21+5k2+k2+1=0，

所以（1+k2）（5k2-5）+（2k2-2）（-5k2）+（k2+1）（1+5k2）=0，

即5k4+5k4-10k4+10k2+k2+5k2-5+1=0，

故16k2-4=0，k=±12.

故直線l的方程為y=±12（x+2），即x+2y+2=0或x-2y+2=0.

點(diǎn)評此法雖然思路清晰，但運(yùn)算極為繁瑣.特別是在緊張的考試中，學(xué)生能算出最后結(jié)果的微乎其微.

本題中，如何化簡（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0是運(yùn)算的難點(diǎn).上述的解法雖然可行，但效率卻不夠高，且極容易出錯(cuò).事實(shí)上，我們只要能把（2-x1）（2-x2）和（x1+2）（x2+2）用k來表示，問題便能得到解決.如若注意到x1，x2是方程的兩根，可把x2+5k2x+22-20=0左端的式子用雙根法表示，然后進(jìn)行合理賦值，就能輕而易舉得到結(jié)果.

優(yōu)化解法同傳統(tǒng)解法可得x2+5k2x+22-20=0與（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0，因?yàn)閤1，x2是方程x2+5k2x+22-20=0的兩根，所以x2+5k2x+22-20=（1+5k2）（x-x1）（x-x2）①，

①式中再令x=2得，22+5k2（2+2）2-20=（1+5k2）（2-x1）（2-x2），

所以（2-x1）（2-x2）=80k2-161+5k2，

①式中令x=-2得，（-2）2+5k2（2-2）2-20=（1+5k2）（-2-x1）（-2-x2），

所以（x1+2）（x2+2）=-161+5k2，

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=80k2-161+5k2+k2×-161+5k2=64k2-161+5k2=0.

所以64k2-16=0，即k=±12.下同傳統(tǒng)解法.

點(diǎn)評此法通過巧設(shè)雙根式并進(jìn)行合理賦值，運(yùn)算極為簡潔，真正達(dá)到了化繁為簡的效果，可以說幾乎沒有什么運(yùn)算了，令人嘆為觀止！

變式1（2013年上海春季高考理科第28題）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1-1，0、F21，0，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1，B2.

（1）若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的短軸長為2，過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且F1P⊥F1Q，求直線l的方程.

（答案：（1）3x24+3y2=1；（2）直線l的方程為x+7y-1=0或x-7y-1=0）

我們現(xiàn)在再來看更為復(fù)雜的例2，若用傳統(tǒng)解法解決，幾乎不能算出來，而雙根法則顯示出巨大的威力.圖2

例2（2014年高考遼寧理科數(shù)學(xué)第20題）圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖2）.雙曲線C1：x2a2-y2b2=1過點(diǎn)P且離心率為3.

（1）求C1的方程；

（2）橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A，B兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求l的方程.

解析（1）可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2，C1的方程為x2-y22=1；（略）

（2）由（1）知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-3，0，3，0，由此設(shè)C2的方程為x23+b21+y2b21=1，其中b1>0.由點(diǎn)P2，2在C2上，得23+b21+2b21=1，解得b21=3.因此C2的方程為x26+y23=1.

顯然l的斜率不為0，故可設(shè)l的方程為x=my+3.點(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2，

由x=my+3，

x26+y23=1，得m2+2y2+23my-3=0，因?yàn)閥1，y2是方程的兩根，

故有m2+2y2+23my-3=m2+2y-y1y-y2，①

因?yàn)锳P=2-x1，2-y1，BP=2-x2，2-y2，

所以AP·BP=2-x12-x2+2-y12-y2

=2-my1-32-my2-3+2-y12-y2

=m22-3m-y12-3m-y2+2-y12-y2=0，②

①式中令y=2得2m2+2+26m-3=m2+22-y12-y2，

所以2-y12-y2=2m2+26m+1m2+2，③

①式中再令y=2-3m，

得m2+22-3m2+23m×2-3m-3=m2+22-3m-y12-3m-y2，

所以m22-3m-y12-3m-y2=-4m2+10-46m2+2.④

③、④代入②易得2m2-26m+46-11=0，故可解得m=362±1，

因此直線l的方程為x-362-1y-3=0或x-362+1y-3=0.

點(diǎn)評本題方法使用了巧設(shè)直線方程的技巧，有效地降低了運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用雙根法，更是達(dá)到了優(yōu)化運(yùn)算的效果，可以說是雙劍合璧！

變式2（2015年高考福建理科數(shù)學(xué)第18題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)0，2，且離心率為22.

（1）求橢圓E的方程；圖3

（2）如圖3，設(shè)直線x=my-1m∈R交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G-94，0與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

（答案：（1）x24+y22=1；（2）點(diǎn)G-94，0在以線段AB為直徑的圓的圓外）

通過上面幾道高考題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，雙根法在解決解析幾何中涉及MA·MB=λ（其中λ為常數(shù)，M為定點(diǎn)，A，B為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)）的問題時(shí)具有巨大的威力，能使問題得到有效的解決.使得繁瑣的運(yùn)算變成簡單可行的任務(wù)，能極大地提高解題效率！作者簡介藍(lán)云波，男，1981年10月生.中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師.致力于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和初等數(shù)學(xué)研究工作 .發(fā)表文章20余篇.