聚焦量率意義 統(tǒng)整數(shù)的認(rèn)識(shí)

【摘" "要】在情境中，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都具有數(shù)量和關(guān)系兩層意義。在實(shí)際教學(xué)中，可以嘗試在教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)就提前孕伏量率意義，從“整數(shù)倍”開(kāi)始，為不同數(shù)系的數(shù)均能表示量率意義奠定基礎(chǔ)。教師以人教版教材“倍的認(rèn)識(shí)”為例，通過(guò)“分析教學(xué)內(nèi)容，提煉核心概念；精準(zhǔn)把握學(xué)情，確立學(xué)習(xí)起點(diǎn)；設(shè)置核心任務(wù)，構(gòu)建量率意義”等探索與實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)整體性的關(guān)聯(lián)和階段性的滲透，確保教學(xué)的全面性和深度。

【關(guān)鍵詞】量率意義；倍的認(rèn)識(shí)；數(shù)的認(rèn)識(shí)

在“倍的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師往往將“倍”與前概念“幾個(gè)幾”或“份”相聯(lián)系，著重分析倍數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)和模型的建構(gòu)。量率意義的滲透主要依托“分?jǐn)?shù)”教學(xué)，從分?jǐn)?shù)表示一個(gè)量開(kāi)始，逐步擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量的關(guān)系，從而凸顯分?jǐn)?shù)的量率意義。然而在情境中，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都具有數(shù)量和關(guān)系兩層意義。從一致性的視角審視，在數(shù)量層面，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，它們都表示有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位；在關(guān)系層面，這些數(shù)都能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系（如圖1）。

基于此，可否嘗試在教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)，就提前孕伏數(shù)的量率意義，從“整數(shù)倍”開(kāi)始，為不同數(shù)系的數(shù)均能表示量率意義奠定基礎(chǔ)？下面以人教版教材“倍的認(rèn)識(shí)”為例進(jìn)行深入探究與實(shí)踐。

一、分析教學(xué)內(nèi)容，提煉核心概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2022年版課標(biāo)”）將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域劃分為“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題。將“數(shù)量關(guān)系”專(zhuān)門(mén)設(shè)為一個(gè)學(xué)習(xí)主題，為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域增設(shè)了新的研究視角。

在現(xiàn)行教材中，相差關(guān)系編排在一年級(jí)下冊(cè)“20以內(nèi)的退位減法”單元中，倍數(shù)關(guān)系編排在三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”單元中。這兩個(gè)單元均通過(guò)解決問(wèn)題的形式進(jìn)行編排，雖強(qiáng)調(diào)了數(shù)量關(guān)系的分析，但并未深入探討一個(gè)數(shù)從“表示具體數(shù)量”到“表示數(shù)量之間關(guān)系”的轉(zhuǎn)變。僅僅是在整數(shù)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)量意義，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)關(guān)系意義。

自2022年版課標(biāo)頒布以來(lái)，為了凸顯教學(xué)的一致性，教學(xué)中基本采用計(jì)數(shù)單位作為大概念來(lái)連接整數(shù)與分?jǐn)?shù)。但從本質(zhì)上講，這種關(guān)聯(lián)仍然基于數(shù)量意義。事實(shí)上，在當(dāng)前教學(xué)中，很少會(huì)從數(shù)量之間關(guān)系的角度來(lái)連接整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

小學(xué)階段涉及兩個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系模型，即加法模型“總量=分量+分量”和乘法模型“總量=每份量×份數(shù)”。對(duì)于作為學(xué)習(xí)比率起點(diǎn)的“倍的認(rèn)識(shí)”，現(xiàn)行教材的編寫(xiě)有諸多值得商榷的地方（如圖2）。首先，例題素材采用多樣化的蘿卜，對(duì)缺乏生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生而言，要準(zhǔn)確辨認(rèn)這些蘿卜并不容易。這導(dǎo)致學(xué)生在表述倍數(shù)關(guān)系時(shí)不知如何表示各種蘿卜，因而說(shuō)不清誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍。其次，教材中缺乏核心任務(wù)的明確表述，學(xué)習(xí)目的模糊，難以識(shí)別。最后，對(duì)倍數(shù)關(guān)系中至關(guān)重要的“標(biāo)準(zhǔn)量”，教材中也未進(jìn)行明確標(biāo)注（如圈畫(huà)）或強(qiáng)調(diào)，這不利于倍數(shù)模型的建構(gòu)。由此可見(jiàn)，教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)應(yīng)關(guān)注關(guān)系本身，精心選擇素材和設(shè)計(jì)任務(wù)，以促進(jìn)學(xué)生深度理解和構(gòu)建相關(guān)概念。

二、精準(zhǔn)把握學(xué)情，確立學(xué)習(xí)起點(diǎn)

學(xué)生能否在“倍的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)中初步感悟整數(shù)的量率雙層意義，且具體地描述兩者的區(qū)別？為探討這一問(wèn)題，筆者圍繞整數(shù)表示數(shù)量、相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系三方面，設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，以問(wèn)卷調(diào)查與訪談相結(jié)合的方式，診斷學(xué)生對(duì)它們的認(rèn)識(shí)。本次診斷以本校二（5）班43名學(xué)生作為診斷對(duì)象。這些學(xué)生剛學(xué)習(xí)完“倍的認(rèn)識(shí)”，尚未進(jìn)行整數(shù)表示量率的相關(guān)辨析。

● 診斷問(wèn)題1：你覺(jué)得“3個(gè)”“多3個(gè)”和“3倍”所表示的意義是否相同？

此診斷問(wèn)題旨在初步判斷學(xué)生是否了解一個(gè)數(shù)在表示數(shù)量、相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系時(shí)的差異。對(duì)此，42名學(xué)生給出了否定的回答，僅有1名學(xué)生認(rèn)為它們所表示的意義相同。結(jié)果表明，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到三者在意義上存在差異，這為后續(xù)的深入探究奠定了基礎(chǔ)。

● 診斷問(wèn)題2：請(qǐng)你用寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)或舉例子等方式，分別表示“3個(gè)”“多3個(gè)”“3倍”的具體含義。

此診斷問(wèn)題旨在進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生能否用文字、圖式或例子等多種形式表征“3個(gè)”“多3個(gè)”“3倍”的不同含義。表1是學(xué)生的具體表征情況，展現(xiàn)了他們對(duì)這三個(gè)概念的理解和應(yīng)用能力。

從上述學(xué)生表征情況可知，學(xué)生能夠運(yùn)用畫(huà)圖、舉例等方式來(lái)表示這三個(gè)概念的含義。然而，在對(duì)“3倍”的表征上，學(xué)生表現(xiàn)出模式化的傾向，表征形式缺乏多樣性和個(gè)性化。

● 診斷問(wèn)題3：“3個(gè)”“多3個(gè)”和“3倍”有什么不同？

此診斷問(wèn)題旨在評(píng)估學(xué)生能否在理解的基礎(chǔ)上，對(duì)“3個(gè)”“多3個(gè)”和“3倍”的差異作出概括性的描述。在訪談中，部分學(xué)生能夠較為準(zhǔn)確地說(shuō)明三者的區(qū)別，如“3個(gè)”僅表示具體數(shù)量，“多3個(gè)”需要通過(guò)比較兩個(gè)數(shù)量的差值得出，“3倍”則指比較量中包含3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量。然而，仍有部分學(xué)生在描述區(qū)別時(shí)存在困難，教師教學(xué)時(shí)需為他們提供適當(dāng)?shù)闹С?，以幫助他們理解三者的差異?/p>

三、設(shè)置核心任務(wù)，構(gòu)建量率意義

基于教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)置結(jié)構(gòu)化的核心任務(wù)，精心選擇學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生依托任務(wù)和材料進(jìn)行深入思辨，從而完成對(duì)數(shù)的量率意義的建構(gòu)。

（一）概念探究：辨析圖式，建構(gòu)概念

學(xué)習(xí)材料對(duì)概念的形成具有至關(guān)重要的作用。教學(xué)中，可通過(guò)梳理知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑、區(qū)分相近概念的異同等方式，設(shè)計(jì)富有思辨性的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生通過(guò)思辨真正把握概念的本質(zhì)及其內(nèi)在關(guān)系。例如，在“倍的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師可通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)材料（如圖3），整體呈現(xiàn)這些前概念，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行辨析。

任務(wù)一提供了三幅圖式，這三份材料分別描述了“蘋(píng)果有3個(gè)”（材料①）、“蘋(píng)果的個(gè)數(shù)比梨多3個(gè)”（材料②）、“蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是梨的3倍”（材料③），分別指向具體數(shù)量、相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生需要仔細(xì)觀察這三份材料，并進(jìn)行深入分析。而為了幫助學(xué)生辨析這三個(gè)概念，教師應(yīng)將理解層級(jí)進(jìn)行細(xì)分，并針對(duì)每個(gè)層級(jí)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，初步建構(gòu)倍的概念。具體如下。

層級(jí)1：明確三個(gè)“3”的意義，重點(diǎn)突出對(duì)“3倍”的理解，初步形成對(duì)倍的感知。

問(wèn)題1：三個(gè)“3”分別表示什么含義？

層級(jí)2：感悟具體數(shù)量是數(shù)出來(lái)的、數(shù)量關(guān)系是比出來(lái)的，初步感知數(shù)量的絕對(duì)性和關(guān)系的相對(duì)性。

問(wèn)題2：三個(gè)“3”是怎么得到的？

層級(jí)3：感悟相差關(guān)系比個(gè)數(shù)，倍數(shù)關(guān)系比份數(shù)。

問(wèn)題3：材料②和材料③的“3”都是比出來(lái)的，它們?cè)诒容^時(shí)有什么不同？

（二）變式練習(xí)：辨析圖式，內(nèi)化概念

變式練習(xí)有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的深度理解。通過(guò)任務(wù)一，學(xué)生已初步建構(gòu)了3倍概念。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行改造，引導(dǎo)學(xué)生深入探究倍的概念。

1.改變標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量是倍數(shù)關(guān)系中極其重要的元素，兩個(gè)數(shù)量間存在“幾倍”關(guān)系由標(biāo)準(zhǔn)量的大小決定，是倍數(shù)的度量標(biāo)準(zhǔn)。在倍概念的深度理解階段，教師可通過(guò)改變標(biāo)準(zhǔn)量（如圖4），讓學(xué)生判斷蘋(píng)果數(shù)量和梨數(shù)量間的關(guān)系，從而幫助學(xué)生鞏固對(duì)倍的理解，同時(shí)突出標(biāo)準(zhǔn)量的重要性。

在任務(wù)二中，兩則材料分別描述“蘋(píng)果個(gè)數(shù)是梨的6倍”與“蘋(píng)果個(gè)數(shù)是梨的2倍”?；诖?，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么蘋(píng)果數(shù)量不變的情況下，倍數(shù)關(guān)系也會(huì)發(fā)生變化？經(jīng)過(guò)討論交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘋(píng)果個(gè)數(shù)與梨?zhèn)€數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵在于標(biāo)準(zhǔn)量（梨的個(gè)數(shù)）。比較量（蘋(píng)果的個(gè)數(shù)）中包含幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量（梨的個(gè)數(shù)），即表示蘋(píng)果個(gè)數(shù)是梨的幾倍。這種標(biāo)準(zhǔn)量變化后的倍數(shù)判斷，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)倍概念的解釋?zhuān)€突出了倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)屬性。

2.改變比較量

除了改變標(biāo)準(zhǔn)量，還可以通過(guò)改變比較量來(lái)改造學(xué)習(xí)材料。在保持標(biāo)準(zhǔn)量不變的前提下，教師可要求學(xué)生根據(jù)固定的倍數(shù)來(lái)改變比較量（如圖5）。學(xué)生需要依據(jù)倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)屬性，即“比較量中包含幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量就是幾倍”來(lái)準(zhǔn)確改變比較量。

在任務(wù)三的學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助3倍的模型進(jìn)行逆推（如圖6）。具體而言，先確定標(biāo)準(zhǔn)量梨的個(gè)數(shù)，再根據(jù)3倍關(guān)系計(jì)算出蘋(píng)果的數(shù)量，最后與原來(lái)的蘋(píng)果數(shù)量進(jìn)行比較，決定增減的數(shù)量。由此，在改變比較量的過(guò)程中，促進(jìn)倍的結(jié)構(gòu)模型逐漸形成。

（三）結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)：關(guān)聯(lián)整體，深化概念

結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的“整體性思維”具有重要意義，有助于他們構(gòu)建更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.關(guān)聯(lián)度量，感悟本質(zhì)

在倍概念的建構(gòu)過(guò)程中，教師需強(qiáng)調(diào)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)量來(lái)刻畫(huà)比較量。在結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)將對(duì)倍概念的理解提升到度量層面，引導(dǎo)學(xué)生深入理解一倍數(shù)和多倍數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的度量思維。

為實(shí)現(xiàn)倍概念與度量之間的一致性，教師可利用前述任務(wù)中的學(xué)習(xí)材料（如圖7），采用遞進(jìn)式追問(wèn)的教學(xué)策略，助推學(xué)生對(duì)概念理解的深化和拓展。具體追問(wèn)如下：（1）蘋(píng)果和梨的數(shù)量各不相同，為什么都能表示蘋(píng)果的數(shù)量是梨的3倍？（2）蘋(píng)果個(gè)數(shù)都是梨的3倍，為什么分別對(duì)應(yīng)3個(gè)、6個(gè)和9個(gè)？（3）3倍還可能表示誰(shuí)和誰(shuí)的倍數(shù)關(guān)系？此時(shí)的3倍對(duì)應(yīng)多少？

2.關(guān)聯(lián)量率，區(qū)分意義

實(shí)際上，倍概念的本質(zhì)是比率（“率”），即對(duì)兩個(gè)數(shù)量份數(shù)的比較，其核心結(jié)構(gòu)為“乘法結(jié)構(gòu)”。在“倍的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生開(kāi)始接觸到一個(gè)數(shù)同時(shí)表示量率雙重意義的情境。根據(jù)上述學(xué)情的診斷分析，此時(shí)學(xué)生已具備一定感悟量率意義的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。教師教學(xué)時(shí)可以借助數(shù)線模型，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上尋找“量”與“率”（如圖8），從而感悟量率意義的區(qū)別。

在任務(wù)四的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在表征“3個(gè)”和“多3個(gè)”的過(guò)程中，可能出現(xiàn)多種不同的表達(dá)方式。教師應(yīng)借助比較分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)線上任意3段都能表示這兩種意義。盡管所選取的3段位置不同，但其段數(shù)卻是相等的，這體現(xiàn)了“3”在表示具體數(shù)量時(shí)的絕對(duì)性。在表征“3倍”時(shí)，多數(shù)學(xué)生可能受圖7中三幅“3倍”圖的影響，認(rèn)為3段、6段、9段都能表示“3倍”。然而，這種理解可能會(huì)引發(fā)學(xué)生的思維沖突，即“3段、6段、9段表示的是具體數(shù)量，還是3倍這個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？3倍關(guān)系是否也能用數(shù)段數(shù)的方法表示出來(lái)？”針對(duì)這些疑問(wèn)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，明確當(dāng)“3”表示具體數(shù)量時(shí)，能在數(shù)線上直接找到確切的段數(shù)。當(dāng)“3”表示數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系時(shí)，這種關(guān)系無(wú)法在數(shù)線上用每個(gè)點(diǎn)直接表示出來(lái)（可以多個(gè)點(diǎn)表示）。但當(dāng)3倍關(guān)系明確時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)量可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)量的變化而進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此具有相對(duì)性。

數(shù)既是對(duì)數(shù)量的抽象，也是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從“計(jì)數(shù)單位”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)基本概念出發(fā)，構(gòu)建數(shù)概念的長(zhǎng)程教學(xué)。特別要注意的是，數(shù)的關(guān)系意義往往容易被忽視，因此教師需要打破分?jǐn)?shù)才能表示量率意義的固有觀念，從具有基礎(chǔ)意義的“倍”開(kāi)始逐步滲透量率的概念?？偟膩?lái)說(shuō)，量率意義應(yīng)貫穿教學(xué)始終，循序漸進(jìn)，體現(xiàn)整體性的關(guān)聯(lián)和階段性的滲透，確保教學(xué)的全面性和深度。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］李國(guó)強(qiáng).2022年版課標(biāo)中“數(shù)量關(guān)系”主題的價(jià)值意蘊(yùn)與教學(xué)策略［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（4）：9-14.

［3］楊春琴.把握關(guān)系結(jié)構(gòu)" "建構(gòu)倍的模型：“倍的認(rèn)識(shí)”教材分析與教學(xué)建議［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2024（6）：18-20.