四種命題的關(guān)系

范忠良

摘 要： 四種命題的概念與表示形式，即如果原命題為：若p則q，則它的逆命題為：若q則p，即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題；否命題為：若？劭p則？劭q，同時否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命題；逆否命題為：若？劭q則？劭 p，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，即得其逆否題；兩個互為逆否的命題同真或同假.

關(guān)鍵詞： 原命題 逆命題 否命題 逆否命題

在數(shù)學中用語言、符號或式子表達時，可判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.數(shù)學中的定義、公理、定理、公式等都是真命題.

邏輯聯(lián)接詞有“或”、“且”、“非”，不含邏輯聯(lián)接詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)接詞構(gòu)成的命題叫復合命題，復合命題構(gòu)成的形式有三種：“p或q”、“p且q”、“p非q”.

“馬有四條腿”，“迭部縣是甘南州的一個縣”，“等邊三角形的三個角相等”，這三句話是不是命題？是命題.因為這三句話是判斷一件事情的語句，下面做幾個變化：第一，把這三個命題的條件與結(jié)論找出來，然后將它們互換；第二，將條件與結(jié)論分別否定后寫出新的句子；第三，將否定了的條件與結(jié)論互換看得到什么樣的句子.

1.①馬有四條腿；②有四條腿的是馬；③不是馬的沒有四條腿；④沒有四條腿的不是馬.

2.①迭部縣是甘南州的一個縣；②甘南州的一個縣是迭部；③不是迭部縣就不是甘南州的縣；④不是甘南州的縣就不是迭部縣.

3.①等邊三角形的三個角相等；②三個角相等的三角形是等邊三角形；③不是等邊三角形的三個角不相等；④三個角不相等的三角形不是等邊三角形.

你可能會想，第一組的②③與第二組的②③是錯誤的，它不是真命題.然而它們確實是命題，因為它們也是判斷一件事情的語句，不論判斷錯誤還是正確，都是命題.下面我們討論它們之間的關(guān)系.

由前面的變化可知，這三組命題的①與②命題中，一個命題的題設（即條件）與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論與題設，那么這兩個命題稱為互逆命題，把其中一個叫做原命題時，另一個就叫做它的逆命題.在①與③兩個命題中，一個命題的題設與結(jié)論分別是另一個命題的題設與結(jié)論的否定.這樣的兩個命題互否命題，把其中的一個叫做原命題時，另一個叫做它的否命題.①與④兩個命題中，一個命題的題設與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論與題設的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題，把其中一個叫做原命題時，另一個就叫做它的逆否命題.

若用A與B分別表示原命題的題設與結(jié)論，用A與B分別表示A與B的否命題，則四種命題的形式如下：原命題：若p成立，則q就成立，或“p？圯q”；逆命題：若q成立，則p就成立，或“q？圯p”；否命題：若？劭p成立，則？劭q就成立，或“？劭p？圯？劭q”；逆否命題：若？劭q成立，則？劭p就成立，或“？劭q？圯？劭p”.

對照第一組的四種命題，我們觀察得到：同一個命題的否命題與逆命題是互逆的；同一個命題的逆命題與逆否命題是互否的；同一個命題的逆命題與否命題是互逆的.

下面我們再看看第一組的四種命題：①正確而②不正確，而第三組中①正確，②也正確，所以說，原命題正確，它的逆命題不一定正確.同樣看到第二組的①正確而③不正確，第三組中的②③同時正確，由此可知：原命題正確，它的否命題不一定正確.觀察第三組中的①與④，發(fā)現(xiàn)它們分別是同時正確，由此可見：原命題正確，那么它們的逆命題一定正確.

寫出一個命題的逆命題，否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件與結(jié)論，然后按定義來寫.在判斷原命題及其逆命題、否命題及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.

1.四種命題間的逆否關(guān)系

原命題與逆命題互為逆命題，否命題與逆否命題互為逆命題；原命題與否命體互為否命題，逆命題與否命題互為否命題；原命題與逆否命題互為逆否命題，否命題與逆命題互為逆否命題.

上面是四中命題之間的相互關(guān)系，那么它們的真假性是否也有一定的相互關(guān)系呢？觀察下面四個命題：

（1）若f（x）是正弦函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（2）若f（x）是周期函數(shù)，則f（x）是正弦函數(shù)；（3）若f（x）不是正弦函數(shù)，則f（x）不是周期函數(shù)；（4）若f（x）不是周期函數(shù)，則f（x）不是正弦函數(shù).

（2）以上面四個命題為例，并命題（1）是原命題，容易判斷，原命題（1）是真命題，它的逆命題（2）是假命題，它的否命題（3）也是假命題，而它的逆否命題（4）是真命題.由于逆命題與否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系就不難表述.

2.四種命題的真假關(guān)系

（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假關(guān)系；（2）兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有確定的關(guān)系.

由于原命題與它的逆否命題有相同的真假性，因此在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，間接證明原命題為真命題.

例：證明：若x2+y2=0，則x=y=0.

證明：若x、y中至少有一個不為0，不妨設x≠0，則x2>0，所以x2+y2>0，也就是說x2+y2≠0.

因此，原命題的逆否命題為真命題，原命題也是真命題.