初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化

摘 要：初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生從條件到結(jié)論的思維方式和推理方法，使學(xué)生經(jīng)由嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程形成綜合運(yùn)用“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)與方法解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題和相關(guān)生活實(shí)際問(wèn)題的能力。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以從課前準(zhǔn)備階段的學(xué)情分析與教學(xué)思考入手，明確課堂教學(xué)目標(biāo)和基本教學(xué)方法；課堂上通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生分析前期所學(xué)知識(shí)提煉“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究路徑，基于幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化穩(wěn)步推進(jìn)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、獨(dú)立思考、小組合作學(xué)習(xí)等多樣化的學(xué)習(xí)過(guò)程，從中培養(yǎng)模型觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)建模思維。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何模型；三角形；中位線定理；平行四邊形；逆命題

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：0450-9889（2024）13-0072-05

初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生從條件到結(jié)論的思維方式和推理方法，使學(xué)生經(jīng)由嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程形成綜合運(yùn)用“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)與方法解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題和相關(guān)生活實(shí)際問(wèn)題的能力。而這對(duì)于剛剛接觸邏輯推理的初中生而言，不僅思維難度較大，而且綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與方法解決問(wèn)題的能力要求也相對(duì)較高?；趯W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們認(rèn)為，運(yùn)用幾何模型幫助學(xué)生總結(jié)已有的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用已有的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建幾何模型，可以有效強(qiáng)化學(xué)生的模型意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，促進(jìn)其形成幾何直觀和空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］。

初中數(shù)學(xué)幾何模型是幫助學(xué)生理解和解決“圖形與幾何”領(lǐng)域相關(guān)問(wèn)題的有效工具。借助模型，學(xué)生可以更加直觀地掌握?qǐng)D形的形狀、大小、位置等概念，提升對(duì)圖形的理解以及對(duì)相關(guān)問(wèn)題的解決能力。初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域所涉及的定義、性質(zhì)、判定、定理等，多數(shù)都有對(duì)應(yīng)的幾何模型。可以說(shuō)，初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)實(shí)際上就是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何模型、探索幾何模型性質(zhì)、拓展幾何模型相關(guān)聯(lián)的衍生模型、在數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用幾何模型解決問(wèn)題的過(guò)程。因此，針對(duì)該領(lǐng)域的教學(xué)，教師應(yīng)根據(jù)教與學(xué)的需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適合的情境，適當(dāng)增加幾何模型及衍生模型的教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立模型意識(shí)、培養(yǎng)模型觀念，使他們對(duì)已學(xué)知識(shí)和方法有更深入的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)建模思維［2］。下面我們以人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“三角形中位線定理”一課為例，探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)實(shí)踐幾何模型的建立、應(yīng)用和強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生模型觀念、提高學(xué)生邏輯推理能力、促進(jìn)學(xué)生形成幾何直觀和空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體做法。

一、課前準(zhǔn)備階段的學(xué)情分析與教學(xué)思考

（一）學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了運(yùn)用全等三角形的相關(guān)知識(shí)探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理的學(xué)習(xí)過(guò)程，能夠運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理并對(duì)這個(gè)推理過(guò)程做出說(shuō)明，能夠計(jì)算求解簡(jiǎn)單的角、線段、面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題，演繹推理能力得到了進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展。這些推理經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累及相關(guān)解題能力的發(fā)展，為學(xué)生在本課探索并證明三角形中位線定理打下了扎實(shí)的思維方法基礎(chǔ)。

根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形中位線定理的過(guò)程中，遇到的最大困難是不知如何將“中位線定理”這一新問(wèn)題向之前所學(xué)的平行四邊形知識(shí)轉(zhuǎn)化，也就是不知道如何添加輔助線將中位線問(wèn)題變成平行四邊形問(wèn)題。盡管部分學(xué)生在預(yù)習(xí)教材內(nèi)容后知道了怎樣添加輔助線，但對(duì)于為什么要添加輔助線、為什么要這樣添加輔助線、還可以怎樣添加輔助線、以后遇到新的類(lèi)似問(wèn)題又該如何添加輔助線等問(wèn)題依然感到困惑。而要解決這一系列衍生問(wèn)題，幾何模型的建立起著至關(guān)重要的作用。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行四邊形這一特殊的幾何模型進(jìn)行深度探究，促進(jìn)其深度理解，重點(diǎn)是讓學(xué)生從中感悟到模型的作用和魅力，進(jìn)而發(fā)展其邏輯推理能力，促進(jìn)其形成模型思維［3］。

（二）目標(biāo)分析

本課教學(xué)，學(xué)生需要理解并掌握三角形中位線的定義，能夠通過(guò)定義畫(huà)出三角形的中位線。在探索和證明三角形中位線定理的過(guò)程中，學(xué)生需要了解輔助線添加的目的，先通過(guò)合情推理直觀感受中位線的位置特點(diǎn)，再通過(guò)演繹推理證明中位線的位置關(guān)系，進(jìn)而得出其中的數(shù)量關(guān)系。此外，學(xué)生還需要學(xué)會(huì)先通過(guò)幾何直觀進(jìn)行判定、再通過(guò)邏輯推理來(lái)驗(yàn)證判定的數(shù)學(xué)思維方法，并通過(guò)把三角形中位線定理的題設(shè)與結(jié)論互換證明其逆命題的真實(shí)性，鞏固通過(guò)添加輔助線構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決新問(wèn)題的思維方法。本課教學(xué)對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)集中在培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、抽象能力、推理能力以及對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力等方面。

（三）教學(xué)分析

三角形中位線定理是三角形的重要性質(zhì)定理。本課在探索和證明三角形中位線定理的過(guò)程中，應(yīng)考慮學(xué)生原有的知識(shí)積累和認(rèn)知水平，特別是學(xué)生已經(jīng)掌握的解決問(wèn)題的方法和技巧，并在此基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，使學(xué)生通過(guò)新舊經(jīng)驗(yàn)的相互作用形成新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，豐富和調(diào)整已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生完成三角形中位線定理的證明過(guò)程。本課教學(xué)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從用三角形解決平行四邊形問(wèn)題過(guò)渡到用平行四邊形解決三角形中位線問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)并引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用，使學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、合作探究，有效突破借輔助線添加實(shí)現(xiàn)定理證明的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

為幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)建立幾何模型、運(yùn)用幾何模型、強(qiáng)化幾何模型的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷提煉“圖形與幾何”領(lǐng)域基本研究路徑，面對(duì)新問(wèn)題經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證最終建立、運(yùn)用和強(qiáng)化新的幾何模型的學(xué)習(xí)過(guò)程。其間需要在三角形中位線定理基本圖形基礎(chǔ)上衍生出做輔助線的方法，以及用全等三角形和平行線四邊形知識(shí)解決問(wèn)題的方法等方法性知識(shí)，教師在教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將兩種方法進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生感受到運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性；通過(guò)對(duì)三角形中位線定理逆命題的證明，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究路徑以及問(wèn)題解決方法的多樣性［4］。

二、課堂教學(xué)階段幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化

（一）以舊引新提煉研究路徑

主問(wèn)題：這段時(shí)間我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

在學(xué)生自由作答的同時(shí)，教師可強(qiáng)化以下三個(gè)追問(wèn)，逐漸引出相關(guān)的研究路徑（如圖1）。

追問(wèn)1：在研究平行四邊形時(shí)，我們研究了哪些內(nèi)容？

追問(wèn)2：觀察符號(hào)語(yǔ)言，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問(wèn)3：關(guān)于這些性質(zhì)和判定的研究，我們經(jīng)歷了哪些學(xué)習(xí)過(guò)程？

教學(xué)分析：通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生回憶平行四邊形的學(xué)習(xí)內(nèi)容，歸納“圖形與幾何”領(lǐng)域從性質(zhì)到判定、從文字到符號(hào)、從猜想到驗(yàn)證的研究路徑，一方面可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)，另一方面可以為本課三角形中位線的學(xué)習(xí)與研究明確方向和路徑。學(xué)生通過(guò)對(duì)平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的回顧，可進(jìn)一步明確兩者之間互為逆命題的關(guān)系；通過(guò)對(duì)比四邊形和平行四邊形性質(zhì)上的差異，體會(huì)從一般到特殊的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的特殊性所在；通過(guò)思考“為什么要學(xué)習(xí)符號(hào)語(yǔ)言”的問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美；通過(guò)觀察符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)一步理解用兩個(gè)條件判定一個(gè)平行四邊形的優(yōu)勢(shì)及重要性。

（二）經(jīng)由“猜想—驗(yàn)證”，初步建立幾何模型

1.引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)猜想

主問(wèn)題：請(qǐng)大家猜一猜三角形中位線與什么有關(guān)？

追問(wèn)1：三角形的中位線是一條什么線？

追問(wèn)2：你覺(jué)得三角形的中位線有什么特點(diǎn)？

追問(wèn)3：要想證明我們的猜想對(duì)不對(duì)，必須要知道已知條件是什么、求證是什么。請(qǐng)問(wèn)這里的已知條件和求證各是什么？

追問(wèn)4：解決這個(gè)問(wèn)題的切入點(diǎn)在哪里？

追問(wèn)5：中點(diǎn)是這個(gè)問(wèn)題非常重要的已知條件，我們需要回憶一下跟中點(diǎn)有關(guān)的知識(shí)。那么，與中點(diǎn)有關(guān)的知識(shí)，我們之前學(xué)習(xí)了哪些？哪些可以幫我們解決這個(gè)問(wèn)題？

教學(xué)分析：從“三角形中位線”這一數(shù)學(xué)名詞入手，學(xué)生很容易聯(lián)想到它一定與中點(diǎn)有關(guān)。于是教師可以先畫(huà)出三角形的一條中位線，讓學(xué)生直觀感知它是什么，從而引出三角形中位線的定義，便于學(xué)生理解和接受。鑒于三角形的中位線定理在同一個(gè)題設(shè)下指向兩個(gè)結(jié)論（一個(gè)表明位置關(guān)系，一個(gè)表明數(shù)量關(guān)系），并且需要添加輔助線來(lái)證明，這就進(jìn)一步增加了它的學(xué)習(xí)難度。那么，教師如何幫助學(xué)生分解學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？教師可以先讓學(xué)生觀察三角形中位線的基本圖形，猜想其特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。通常情況下，多數(shù)學(xué)生能夠直觀猜測(cè)到與第三邊平行的位置關(guān)系，卻很少有學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)二者之間的數(shù)量關(guān)系。雖然學(xué)生只能猜到一半的結(jié)論，但教師可以順應(yīng)學(xué)生的思維實(shí)施教學(xué)，先證明是否平行：通過(guò)共同探討已知條件、求證什么，厘清研究方向和內(nèi)容，把直觀的猜想判定上升到邏輯推理的高度，從中培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

2.組織學(xué)生展開(kāi)小組合作探究

教師順應(yīng)學(xué)生的思維，先課件出示如圖2所示的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想。

師：要想證明兩線平行，目前我們有哪些方法？

生：平行線的判定法。

師：還有嗎？（無(wú)應(yīng)答）

師：之前我們學(xué)習(xí)了平行四邊形，平行四邊形的對(duì)邊有什么性質(zhì)？

生：互相平行。

師：那么，你能得到什么啟發(fā)？

生：證明它是平行四邊形的一組對(duì)邊！

師：那么，接下來(lái)我們需要做的就是，如何在三角形中位線這個(gè)圖上構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形，再利用平行四邊形的知識(shí)來(lái)證明兩線平行。試試看吧！

由證明兩線平行過(guò)渡到發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證兩線的數(shù)量關(guān)系，教師在提出自己的猜想后，開(kāi)始帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)與三角形有關(guān)的知識(shí)，為驗(yàn)證兩線的倍半關(guān)系尋找突破口：七年級(jí)學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)知識(shí)，知道線段中點(diǎn)可以平分線段，得到相等或倍半的數(shù)量關(guān)系；八年級(jí)學(xué)習(xí)了三角形的中線知識(shí)，知道中線可以平分三角形的一條邊以及三角形的面積，同樣可以得到相等或倍半的數(shù)量關(guān)系，甚至在等腰三角形中還具有三線合一的性質(zhì)；在八年級(jí)學(xué)習(xí)三角形全等時(shí)，還學(xué)習(xí)了倍長(zhǎng)中線構(gòu)造三角形全等的知識(shí)。

教學(xué)分析：帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，是為了教給學(xué)生解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識(shí)，學(xué)會(huì)從已學(xué)知識(shí)中選擇適用的知識(shí)解決所面臨的新的關(guān)聯(lián)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與運(yùn)用，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力。

面對(duì)本課倍半關(guān)系這個(gè)新問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考、再小組合作不斷嘗試，最后互相補(bǔ)充，給出了八種證明三角形中位線定理的方法。

解法一：如圖3（1），延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，則△ADE≌△CFE。于是有∠DAC=∠ACF，AD=CF，則BD∥CF，BD=CF，四邊形DBCF為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法二：如圖3（2），延長(zhǎng)ED至F，使DF=DE。解法和過(guò)程同解法一。（略）

解法三：如圖3（3），過(guò)點(diǎn)A做AG∥BC。過(guò)點(diǎn)E做GF∥AB，交BC于點(diǎn)F，交AG于點(diǎn)G。于是四邊形ABFG為平行四邊形，△AEG≌△CEF。于是AB∥GF，AB=GF，GE=EF=0.5GF，AG=BF=FC=0.5BC。于是有AD=0.5AB=GE=0.5GF，四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法四：如圖3（4），過(guò)點(diǎn)A做AG∥BC，取BC中點(diǎn)F，連接FE并延長(zhǎng)，交AG于點(diǎn)G。則有△AEG≌△CEF，AG=FC=BF=0.5BC，GE=EF=0.5GF，于是四邊形ABFG為平行四邊形，AD∥GE，AD=0.5AB=GE=0.5GF；四邊形ADEG為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

解法五：如圖3（5），過(guò)點(diǎn)A做AG∥BC。過(guò)點(diǎn)D做GF∥AC，交BC于點(diǎn)F，交AG于點(diǎn)G。過(guò)程與方法同解法三（略）。

解法六：如圖3（5），過(guò)點(diǎn)A做AG∥BC，取BC中點(diǎn)F，連接FD并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)G。解法與過(guò)程同解法四（略）。

解法七：如圖3（6），延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE。由EA=EC，ED=EF，可知四邊形ADCF為平行四邊形，則BD∥CF，BD=CF，于是四邊形DBCF為平行四邊形，則有DE∥BC，DE=0.5BC。

解法八：如圖3（7），分別過(guò)點(diǎn)B，A，C向直線DE做垂線段，垂足分別為F，G，H。則有△ADG≌△BDF，△AEG≌△CEH，F(xiàn)B∥CH；于是FD=DG=0.5FG，GE=EH=0.5GH，F(xiàn)B=AG=HC，DE=0.5FH，四邊形FBCH為平行四邊形，DE∥BC，DE=0.5BC。

在學(xué)生完成證明后，教師帶領(lǐng)學(xué)生適時(shí)總結(jié)這些解法的共性：在已有線段中點(diǎn)的前提下，可補(bǔ)全另一條線段，使之形成互相平分的關(guān)系（如圖4），進(jìn)而構(gòu)造出平行四邊形或全等三角形，再利用平行四邊形的知識(shí)進(jìn)行證明。此時(shí)可見(jiàn)，平行四邊形可以起到聯(lián)系未知與已知的橋梁作用，從而成為一種解題方法的新模型。這個(gè)模型可以啟發(fā)學(xué)生：今后遇到新問(wèn)題，要努力往模型的方向進(jìn)行思考，思考的問(wèn)題包括“這個(gè)新問(wèn)題與我們之前學(xué)過(guò)的哪個(gè)模型有聯(lián)系？”“可以怎樣聯(lián)系？”“這個(gè)問(wèn)題可以怎樣轉(zhuǎn)化？”等等。

教學(xué)分析：在證明三角形中位線定理的過(guò)程中，教師通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、推理論證、歸納總結(jié)、形成定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)；通過(guò)啟發(fā)學(xué)生回顧三角形中位線定理的證明過(guò)程，讓學(xué)生感悟平行四邊的性質(zhì)定理、判定定理在其中所起到的重要作用；通過(guò)總結(jié)建立模型的方法，讓學(xué)生理解一題多解和多題一解，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用平行四邊形和三角形的知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

（三）經(jīng)由逆向推理，嘗試運(yùn)用幾何模型

主問(wèn)題：三角形中位線定理實(shí)際上就是三角形中位線的性質(zhì)。平行四邊形性質(zhì)的逆命題就是平行四邊形的判定，那么三角形中位線定理的逆命題也能成立嗎？

追問(wèn)：根據(jù)三角形中位線定理的符號(hào)語(yǔ)言，請(qǐng)寫(xiě)出逆命題的已知和求證，并進(jìn)行證明。

教學(xué)分析：用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出三角形中位線定理的逆命題（如圖5），對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難。根據(jù)幾何圖形的研究路徑，進(jìn)一步研究中位線定理的逆命題是否成立，旨在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。對(duì)于學(xué)生而言，三角形中位線定理的證明可以讓他們了解添加輔助線的方法以及運(yùn)用平行四邊形知識(shí)解決問(wèn)題的優(yōu)越性和必要性，但是在證明逆命題的過(guò)程中，學(xué)生將會(huì)重新思考解決問(wèn)題的切入點(diǎn)以及添加輔助線的新方法，并形成新的幾何模型，進(jìn)一步鞏固和掌握添加輔助線的方法以及平行四邊形知識(shí)和模型思想的應(yīng)用。

學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作、互相補(bǔ)充的方式，最終用三種方法完成了這一逆命題的證明。

1.從倍半關(guān)系入手，通過(guò)倍長(zhǎng)中位線做輔助線構(gòu)造平行四邊形，再運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的知識(shí)最終解決問(wèn)題。

解法一：如圖6（1），延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，則DF∥BC，DF=BC，四邊形DBCF是平行四邊形，于是有BD∥CF，BD=CF，△ADE≌△CFE；于是可得AD=DB，AE=EC。

2.從倍半關(guān)系入手，通過(guò)取中點(diǎn)連線構(gòu)造兩個(gè)平行四邊形，再推理出第三個(gè)平行四邊形，最終運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決問(wèn)題。

解法二：如圖6（2），取BC的中點(diǎn)F，連接DF，EF，則DE=BF=FC，DE∥BC；于是可知四邊形DBFE和四邊形DFCE均為平行四邊形，于是有BD∥EF，DF∥EC，則四邊形ADFE為平行四邊形，AD=DB，AE=EC。

3.從平行的條件入手，通過(guò)做平行線構(gòu)造平行四邊形，再結(jié)合倍半關(guān)系，判定兩個(gè)新的平行四邊形，最后解決問(wèn)題。

解法三：過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交BC于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形DBFE為平行四邊形；于是可得DE=BF，DE=0.5BC，DE=FC，DE∥BC；于是四邊形DFCE和四邊形ADFE為平行四邊形，則有AD=DB，AE=EC。

從不同角度思考，解決問(wèn)題的方法不同，思維的路徑也不同，最終形成的幾何模型及解決問(wèn)題時(shí)所用到的知識(shí)點(diǎn)也不同。從學(xué)生解決問(wèn)題的方法來(lái)看，學(xué)生一步一步地從運(yùn)用全等三角形知識(shí)過(guò)渡到運(yùn)用平行四邊形的知識(shí)解決問(wèn)題，基本達(dá)成了本課教學(xué)目標(biāo)。

三、課堂小結(jié)與課后作業(yè)

（一）課堂小結(jié)

回顧總結(jié)，強(qiáng)化解題過(guò)程中幾何模型的建立、應(yīng)用與強(qiáng)化以及推理過(guò)程中轉(zhuǎn)化思想與模型思想的應(yīng)用。

問(wèn)題1：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

問(wèn)題2：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些添加輔助線的方法？

問(wèn)題3：在本課中，你學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問(wèn)題4：什么是幾何模型？你體會(huì)到幾何模型的哪些魅力？

教師用四個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)本課的學(xué)習(xí)收獲，最終提煉出如圖7所示的結(jié)論。

教學(xué)分析：小結(jié)部分從知識(shí)、方法、思想三個(gè)層面對(duì)本課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸納，化繁為簡(jiǎn)，旨在培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的習(xí)慣與能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與空間觀念。

（二）課后作業(yè)

教師用問(wèn)題5引出如圖8所示的課后作業(yè)。

問(wèn)題5：根據(jù)本課所學(xué)內(nèi)容，已知兩個(gè)中點(diǎn)可以證明平行和倍半關(guān)系，已知平行和倍半關(guān)系可以證出兩個(gè)中點(diǎn)，那么把一個(gè)中點(diǎn)與一個(gè)平行或倍半關(guān)系相結(jié)合能否得出另外兩個(gè)結(jié)論呢？

教學(xué)分析：最后的探究式課后作業(yè)，既是本課知識(shí)應(yīng)用的延續(xù)，也是解題切入點(diǎn)、添加輔助線方法的延續(xù)，還是思維方法和幾何模型的延續(xù)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本課所學(xué)內(nèi)容，對(duì)幾何模型進(jìn)行強(qiáng)化。

總之，模型觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“三會(huì)”核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一，與小學(xué)階段的模型意識(shí)相互銜接。在小學(xué)階段，模型意識(shí)僅要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性有一個(gè)初步的感悟；到了初中階段，模型觀念開(kāi)始要求學(xué)生對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，要求學(xué)生能夠初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程。為了回應(yīng)課標(biāo)的要求，本課教學(xué)通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)建立幾何模型，在解決新的問(wèn)題時(shí)應(yīng)用幾何模型，讓學(xué)生在反反復(fù)復(fù)的正向、逆向的思維訓(xùn)練中逐漸熟悉幾何模型，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性，讓學(xué)生在學(xué)到新的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也學(xué)會(huì)總結(jié)思維方法，建立和應(yīng)用幾何模型解決問(wèn)題，從而有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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［2］黃勇.初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的模型運(yùn)用［J］.天津教育，2019（8）：103-104.

［3］白金巍.如何有效開(kāi)展初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)［J］.科普童話(huà)，2020（15）：52.

［4］常文婷.初中幾何教學(xué)問(wèn)題與解決方法［J］.中國(guó)教師，2019（增刊1）：84.

［5］何璇.基于數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的定理教學(xué)研究：以“三角形中位線定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（24）：26-28.

注：本文系南寧市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于新課程標(biāo)準(zhǔn)初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（2022C492）、南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“初中生‘?dāng)?shù)學(xué)思維表達(dá)能力’培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（2023B203）、南寧市“中小學(xué)、幼兒園教育教學(xué)銜接”專(zhuān)項(xiàng)課題“新課標(biāo)背景下小初數(shù)學(xué)教學(xué)有效銜接的研究”（2022XJJY001）的階段研究成果。

（責(zé)編 白聰敏）