對(duì)如何突破勾股定理逆定理教學(xué)難點(diǎn)的思考

吳春梅

摘 要：勾股定理逆定理的證明的學(xué)習(xí)，可以很好地考察學(xué)生對(duì)命題與逆命題的學(xué)習(xí)是否扎實(shí)。課堂中老師如何引導(dǎo)，是否在《命題》《勾股定理》教學(xué)中做好充分的鋪墊，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理逆定理非常關(guān)鍵。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，長遠(yuǎn)來看，從初中階段開始對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要;從教師實(shí)施教學(xué)的角度來看，教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高、如何理解教材、以何種方式向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí)，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常重要。

關(guān)鍵詞：勾股定理逆定理;命題;逆命題;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一、勾股定理逆定理課堂教學(xué)實(shí)錄

勾股定理是歐式幾何中的一顆璀璨的明星，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)勾股定理之前對(duì)其內(nèi)容已有所了解，對(duì)勾股定理的證明也有所涉獵，課上表現(xiàn)出濃厚的興趣，而對(duì)于勾股定理逆定理的了解卻很少，甚至在勾股定理逆定理課堂上出現(xiàn)了以下情形。

師：已知一個(gè)三角形三邊長為 3，4，5，請(qǐng)判斷此三角形的形狀。

生：直角三角形。

師：理由。

生：勾股定理。因?yàn)?3，4，5 為勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理可以判斷此三角形為直角三角形……

整個(gè)班級(jí)幾乎全軍覆沒，混淆了勾股定理與其逆命題。

為了讓學(xué)生找出自己的問題，我讓學(xué)生重新回憶了勾股定理的內(nèi)容，分清勾股定理的描述中的題設(shè)與結(jié)論，思考運(yùn)用勾股定理的前提。讓學(xué)生意識(shí)到，判定此三角形為直角三角形所要用到的理論依據(jù)是勾股定理的逆命題，但是此逆命題是真是假，有待我們大家來證明。

二、反思教學(xué)中的失誤

學(xué)生集體出現(xiàn)同樣的問題，教師就不得不反思，是否在某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題。

許多老師在上公開課時(shí)喜歡選擇“勾股定理”，但“勾股定理逆定理”卻非常少見。可見“勾股定理逆定理”這一課題比較難[1]。在《教學(xué)難點(diǎn)如何突破》一文中，教研員總結(jié)了在“勾股定理逆定理”這一堂課中，教師們突破難點(diǎn)的方式，由此反思自己在教學(xué)中出現(xiàn)了以下幾個(gè)問題[2]。

1.在勾股定理逆定理的教學(xué)中，在復(fù)習(xí)完勾股定理后，沒有做任何鋪墊，直接給出問題“三邊長度為 3，4，5 的三角形是什么形狀？”學(xué)生剛剛接觸完勾股定理以及勾股數(shù)，非常容易將老師的問題指向理解錯(cuò)誤，不加思考直接回答問題。之后讓學(xué)生思考勾股定理的運(yùn)用條件，很多學(xué)生就已經(jīng)意識(shí)到自己的問題?？梢?，如何將問題呈現(xiàn)給學(xué)生，也會(huì)在一定程度上影響學(xué)生思考問題的方向。

2.沒有給足時(shí)間讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚自己的問題，倉促解釋后讓學(xué)生證明勾股定理的逆定理。而在證明過程中，沒有啟發(fā)學(xué)生讓學(xué)生充分理解問題，獨(dú)立解決勾股定理逆定理的證明，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理一知半解。勾股定理逆定理的證明方法有很多種，應(yīng)該放手讓學(xué)生去思考和發(fā)揮，以留下深刻的印象[3]。

三、其他定理與其逆命題混用

在勾股定理逆定理的教學(xué)過程中，教師發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生混用定理與其逆命題以后，在相繼出現(xiàn)的以下兩個(gè)定理的應(yīng)用中，也出現(xiàn)了類似的問題。

（一）含30°角直角三角形性質(zhì)定理誤用

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材的第 60 頁習(xí)題如下。

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC。求∠A，∠B的度數(shù)。

多數(shù)學(xué)生如圖1解答：

如圖中顯示，解答沒有任何說理的過程，課堂上詢問學(xué)生這樣解答的原因，學(xué)生給的理由是“含30°角的直角三角形的性質(zhì)”。

（二）直角三角形斜邊上中線性質(zhì)定理誤用

此定理的逆命題是真命題，但是在課堂上從來沒有提及更沒有給過證明。在一次作業(yè)中卻發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生如圖2所示運(yùn)用此定理。 題目及學(xué)生的典型解答過程如圖2所示。

解答過程只截取了與此命題相關(guān)的部分， 如同上一道題，除了已知條件， 得出∠AOB=90°沒有任何論證過程。在與學(xué)生交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答此題的理論依據(jù)是“直角三角形斜邊上中線性質(zhì)定理”。

四、找到問題的根本所在——逆命題概念不清

學(xué)生不只在“勾股定理逆命題”一堂課中出現(xiàn)問題，在遇到其他定理的逆命題的運(yùn)用時(shí)也出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的問題出現(xiàn)在“命題”的學(xué)習(xí)中。同理，多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)同樣的問題，那么一定是教師在教學(xué)中出現(xiàn)了問題。

初中階段介紹逆命題時(shí)，是說將命題的題設(shè)與結(jié)論全部交換，但是學(xué)生所接觸到的定理的逆命題，有的只是交換部分題設(shè)與結(jié)論，有學(xué)者將其稱為“偏逆命題”。[4]由于老師在講解逆命題概念時(shí)，完全沒有涉及“偏逆命題”的內(nèi)容，這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)逆命題的概念比較模糊。仔細(xì)觀察我們學(xué)生出現(xiàn)問題的幾個(gè)例子，勾股定理與其逆命題是完全交換題設(shè)與結(jié)論，其余兩個(gè)命題是部分題設(shè)和結(jié)論交換，屬于偏逆命題。

高中階段會(huì)繼續(xù)在《簡易邏輯》中深入對(duì)命題的學(xué)習(xí)，并且命題的學(xué)習(xí)進(jìn)入高中后并不簡單。在教學(xué)中老師們常常也會(huì)出現(xiàn)各種問題和爭論。[5]這就要求老師在一開始就應(yīng)該將逆命題的幾種情況作簡單的介紹，在學(xué)生接觸到如上所述逆命題時(shí)，不致于對(duì)其是某定理的逆命題完全不知曉。

五、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從提高教師自身素養(yǎng)開始

我們一直在強(qiáng)調(diào)，要在教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，向我們的下一代傳播數(shù)學(xué)文化，但老師自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)好，是實(shí)施這一設(shè)想的大前提。這就要求教師先要對(duì)整個(gè)教材有所思考和把握，充分理解教材。未雨綢繆，從學(xué)生的角度出發(fā)設(shè)想學(xué)生可能在哪些教學(xué)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，教材中哪些知識(shí)有關(guān)聯(lián)性，并且將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)提前在教學(xué)中做好充分的鋪墊。

教師要提高自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)很重要。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，體現(xiàn)在每一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)中。

參考文獻(xiàn)

[1]蔡建成.勾股定理的逆定理的教學(xué)價(jià)值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1999（01）：9-10.

[2]龐彥福，趙清.教學(xué)的難點(diǎn)怎樣突破：以勾股定理的逆定理證明為例[J].中國西部，2014（29）.

[3]葉添善.勾股定理逆定理的八種證法[J].教學(xué)與研究（中學(xué)數(shù)學(xué)版），1982（03）.

[4]孫振武.關(guān)于命題和逆命題的討論[J].數(shù)學(xué)教師，1985（12）.

[5]尚愛華，任會(huì)昌.關(guān)于命題的討論[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（08）：21-22.

[6]徐彥明.《關(guān)于命題的討論》一文的一點(diǎn)瑕疵[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（06）：29.