否命題與命題的否定辨析

梅磊

否命題和命題的否定在邏輯上是兩個極易混淆的概念，加之課本上沒有詳細羅列和區(qū)分，因此它是“常用邏輯用語”中的一個難點. 許多同學(xué)對這兩個概念模糊不清，即使能夠區(qū)分開來，卻不能正確地書寫.

否命題和命題的否定的區(qū)別如下. （1）從概念上看：否命題和命題的否定是兩個完全不同的概念.（2）從形式上看：對“若[p]，則[q]”形式的命題而言，其否命題為“若[?p]，則[?q]”;而命題的否定為“若[p]，則[?q]”.（3）從對象上看：否命題一般針對“若[p]，則[q]”形式的命題和可以改寫成“若[p]，則[q]”形式的命題而言;而任何命題都有其命題的否定.（4）從真值上看：否命題的真假性與原命題的真假性沒有關(guān)系;而命題的否定的真假性與原命題的真假性相反.

“若[p]，則[q]”形式的命題的否命題及命題的否定

例1 ? 寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若[m>0]，則方程[x2+x-m]有實數(shù)根;

（2）若[f（x）]是正弦函數(shù)，則[f（x）]是周期函數(shù).

解析 ?（1）否命題：若[m≤0]，則方程[x2+x-m]沒有實數(shù)根.這是假命題.

命題的否定：若[m>0]，則方程[x2+x-m]沒有實數(shù)根.這是假命題.

（2）否命題：若[f（x）]不是正弦函數(shù)，則[f（x）]不是周期函數(shù).這是假命題.

命題的否定：若[f（x）]是正弦函數(shù)，則[f（x）]不是周期函數(shù).這是假命題.

點撥 ?對“若[p]，則[q]”形式的命題而言，其否命題為“若[?p]，則[?q]”，即條件和結(jié)論都要否定;而命題的否定為“若[p]，則[?q]”，即不否定條件，只否定結(jié)論.

可改寫為“若[p]，則[q]”形式的命題的否命題及命題的否定

例2 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）矩形的對角線相等;

（2）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.

解析 ?（1）原命題可以改寫成：若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線相等.

否命題：若一個四邊形不是矩形，則這個四邊形的對角線不相等.這是假命題.

命題的否定：若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線不相等.這是假命題.

（2）原命題可以改寫成：若一個點在線段的垂直平分線上，則這個點到這條線段的兩個端點的距離相等.

否命題：若一個點不在線段的垂直平分線上，則這個點到這條線段的兩個端點的距離不相等.這是真命題.

命題的否定：若一個點在線段的垂直平分線上，則這個點到這條線段的兩個端點的距離不相等.這是假命題.

點撥 ?對于形式上不是“若[p]，則[q]”形式的命題，應(yīng)該首先改寫成“若[p]，則[q]”形式的命題，再寫其否命題和命題的否定. 改寫時，應(yīng)注意區(qū)分哪是條件，哪是結(jié)論.

含有邏輯聯(lián)接詞的命題的否命題及命題的否定

例3 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若[m≤2]且[n≤3]，則[m+n≤5];

（2）若[x=1]或[x=-1]，則[x2=1].

解析 ?（1）否命題：若[m>2]或[n>3]，則[m+n>5].這是假命題.

命題的否定：若[m≤2]且[n≤3]，則[m+n>5].這是假命題.

（2）否命題：若[x≠1]且[x≠-1]，則[x2≠1].這是真命題.

命題的否定：若[x=1]或[x=-1]，則[x2≠1].這是假命題.

點撥 ?對于含有邏輯聯(lián)接詞的命題的否定，要注意“[p]或[q]”的否定是“[?p]且[?q]”，“[p]且[q]”的否定形式是“[?p]或[?q]”.第（1）小題的常見錯誤是把否命題寫成“若[m>2]且[n>3]，則[m+n>5]”;第（2）小題的常見錯誤是把否命題寫成“若[x≠1]或[x≠-1]，則[x2≠1]”.

含有大前提的命題的否命題及命題的否定

例4 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）當(dāng)[c>0]時，若[a>b]，則[ac>bc];

（2）在[△ABC]中，若[A>B]，則[sinA>sinB].

解析 ?（1）否命題：當(dāng)[c>0]時，若[a≤b]，則[ac≤bc].這是真命題.

命題的否定：當(dāng)[c>0]時，若[a>b]，則[ac≤bc].這是假命題.

（2）否命題：在[△ABC]中，若[A≤B]，則[sinA≤sinB].這是真命題.

命題的否定：在[△ABC]中，若[A>B]，則[sinA≤sinB].這是假命題.

點撥 ?對于含有大前提的命題，在寫其否命題和命題的否定時，應(yīng)保持大前提不變.

含有“都是”的命題的否命題及命題的否定

例5 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若兩個整數(shù)[a]，[b]都是偶數(shù)，則[a+b]是偶數(shù);

（2）若[x2+y2=0]，則[x，y]全為0.

解析 ?（1）否命題：若兩個整數(shù)[a]，[b]不都是偶數(shù)，則[a+b]不是偶數(shù).這是假命題.

命題的否定：若兩個整數(shù)[a]，[b]都是偶數(shù)，則[a+b]不是偶數(shù).這是假命題.