遭遇命題新概念的難堪

馮衛(wèi)光

在高中《數(shù)學(xué)》（全日制普通高中教科書·必修）中，給命題下的定義是：可以判斷真假的語(yǔ)句，叫做命題。如:“3是12的約數(shù)嗎？”“求證方程x2 + 1 = 0無(wú)實(shí)數(shù)根”，“│x│=1的根是1”，“x > 5”……都不是命題，它們不涉及到真假，或不能判斷其真假。

上面有些語(yǔ)句中含有變量，在沒有給定這些變量的值之前，是無(wú)法確定語(yǔ)句真假的，這種含有變量的語(yǔ)句稱為開語(yǔ)句。

按照命題的概念，并不是所有的命題都有逆命題，因?yàn)閷⒁粋€(gè)命題視為原命題時(shí)，它的逆命題可能是一個(gè)開語(yǔ)句，而不是命題。如：若x > 0，則x2 > 0，反之，若x2 > 0，則x > 0。

這里的“若p則q”是命題，“若q則p”是開語(yǔ)句，不是命題。

因此，教科書中所定義的四種命題及其關(guān)系是不能成立的，在這里，提出來(lái)與同行朋友商榷。

如：第30頁(yè)

例1，根據(jù)下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題：

（1） 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；

（2） 正方形的四條邊相等；

例1中的（1）、（2）改成“若p則q”的形式，原命題可以寫成：（1）若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)。

（2）若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

它們是真命題。

（1）中的“若q則p”：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)。

“若┐p則┐q”：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是負(fù)數(shù)。

（2）中的 “若q則p”：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形。

“若┐p則┐q”：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。

分析：按命題新概念來(lái)判斷，（1）與（2）中的“若q則p”及“若┐p則┐q”均不是命題，故不能說(shuō)成是逆命題及否命題。

因此，一個(gè)命題是否存在逆命題及否命題，要根據(jù)命題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。若存在才可以說(shuō)四種命題，若不存在，四種命題就無(wú)從說(shuō)起了。

那么，教科書中給的幾種命題的關(guān)系是不是出了問題呢？其實(shí)沒有。教科書的定義是：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。

講互逆命題的前提是兩個(gè)命題，假如兩個(gè)命題的條件與結(jié)論能相換，才是互逆命題。這里不是說(shuō)將任意一個(gè)命題的條件與結(jié)論互換就能夠成為一對(duì)互逆命題。因此，對(duì)于任意一個(gè)命題，不一定存在逆命題（否命題）。而在《數(shù)學(xué)》教科學(xué)書中，忽視了這一點(diǎn)，將任意一個(gè)命題都視為存在其逆命題，以致在例題、練習(xí)及習(xí)題中多處發(fā)生錯(cuò)誤，現(xiàn)列舉一些如下，以饗讀者。

第30頁(yè)練習(xí)

第2題，填空：（1）“末位是零的整數(shù)，可以被5整除”的逆命題是“________________”；

它的逆命題不存在。

第31頁(yè)

教科書在討論一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假存在如下三條關(guān)系時(shí)，舉例有兩處錯(cuò)誤。

1．原命題：“若a = 0，則ab = 0”是真命題，它的逆命題“若ab = 0，則a = 0”是假命題。

2．原命題：“若a = 0，則ab = 0”是真命題，它的否命題“若a≠0，則ab≠0”是假命題。

這里的“若ab = 0，則a = 0”及“若a≠0，則ab≠0”均是開語(yǔ)句，不是命題，無(wú)法判斷其真假，就不能說(shuō)成是假命題。

第33頁(yè)習(xí)題1.7

第2題 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題：

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若m > 0，則x2+ x－m = 0有實(shí)數(shù)根。

分析：（2）中的“若q則p”：相似三角形，一定是全等三角形?！叭舂磒則┐q”：不全等的三角形一定不是相似三角形；

（3）中的“若q則p”： 若x2 + x－m = 0有實(shí)數(shù)根，則m > 0?！叭舂磒則┐q”： 若m ≤ 0，則x2 + x－m = 0沒有實(shí)數(shù)根。

這里的“若q則p” 及“若┐p則┐q”是開語(yǔ)句，不是命題。

第3題 判斷下列命題的真假：

（3）命題“全等三角形是相似三角形”的否命題；

（3）中不存在否命題，不能判斷其真假。

第4題 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假：

（2）“矩形的兩條對(duì)角線相等”。

不存在逆命題及否命題，不能判斷其真假。

第35頁(yè)練習(xí)

第2題，指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件:

(2)p：a∈R，q：a∈Q。

這里的“若p則q”不是命題。

第35頁(yè)

例2，指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“ 既不充分也不必要條件”中選一種）？

（1）p：(x－2)(x－3) = 0；q:x－2 = 0

（4）p：四邊形的對(duì)角線相等，q: 四邊形是平行四邊形。

這里的“若p則q”均不是命題。

第36頁(yè)習(xí)題1.8

第3題，判斷下列命題的真假：

（1）“a > b”是“a2> b2 ”的充分條件；

（2）“a > b”是“a2> b2 ”的必要條件；

（3）“a > b”是“ac2> bc2 ”的充分條件；

（4）“a > b”是“a + c > b + c”的充要條件。

此題中的（4）是命題，（1）、（2）、（3）均不是命題。

在新教科書中，遭遇命題新概念的難堪。筆者建議，命題按初中給出的定義“判斷一件事情的句子 ，叫做命題”更恰當(dāng)些，這是本人在教學(xué)中的一點(diǎn)淺認(rèn)識(shí)，僅供同行參考。