分析錯(cuò)誤原因 走出解題誤區(qū)

劉德廣

在《證明》這章的學(xué)習(xí)中，涉及命題的識(shí)別、判定以及寫出互逆命題等.初學(xué)這些問題，同學(xué)們往往會(huì)走入誤區(qū)，犯這樣或那樣的錯(cuò)誤.本文列舉一些常見的錯(cuò)誤，讓我們共同分析其中的錯(cuò)誤原因，走出解題誤區(qū).

一、 不能正確識(shí)別命題

例1 下列語句中，是命題的為（ ）.

A. π是無理數(shù) B. 今天天氣好嗎

C. 連接A、B兩點(diǎn) D. 取線段AB的中點(diǎn)

【錯(cuò)誤解答】C或D.

【錯(cuò)因剖析】判斷一件事情的句子叫做命題.選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，僅僅表示作圖的過程，不能對(duì)某件事情作出判斷.由于有的同學(xué)誤以為是陳述一件事情的句子就是命題，因而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤.

【正確解答】A.

【方法歸納】數(shù)學(xué)命題往往都可以表示成“如果……，那么……”的形式.命題是陳述句，但不能是疑問句、感嘆句或祈使句，也不能是畫圖語句或猜測(cè).

二、 不能識(shí)別命題的條件和結(jié)論

例2 命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0”的條件是_______，結(jié)論是_______.

【錯(cuò)誤解答】互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù) 和為0

【錯(cuò)因剖析】簡單地將命題分成兩部分，誤以為其中一部分就是條件，另一部分就是結(jié)論.

【正確解答】兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù) 這兩個(gè)數(shù)和為0

【方法歸納】確定數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論時(shí)，往往首先改寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”部分即為條件，“那么”部分即為結(jié)論.

三、 不能識(shí)別命題的真與假

例3 下列命題：（1） 兩點(diǎn)之間，線段最短；（2） 150°的補(bǔ)角是50°；（3） 垂直于同一條直線的兩條直線平行；（4） 過一點(diǎn)作已知直線的平行線有一條且只有一條.其中屬于真命題的有（ ）.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

【錯(cuò)誤解答】C或D.

【錯(cuò)因剖析】如果條件成立，那么結(jié)論成立，這樣的命題叫做真命題；如果條件成立，不能保證結(jié)論成立，這樣的命題叫做假命題.命題（2），由于對(duì)于補(bǔ)角的概念不能正確理解，導(dǎo)致出現(xiàn)“條件正確，但結(jié)論不正確”；命題（3），忽視了另外一種情況——不在同一平面內(nèi)的情形，因而“條件正確，但結(jié)論不正確”；命題（4），缺少前提條件“直線外一點(diǎn)”.

【正確解答】A.

【方法歸納】對(duì)于命題的真假判斷問題，解題時(shí)只要熟記有關(guān)定義、性質(zhì)、判定定理等，就能很容易地作出判斷.

四、 不能正確構(gòu)造一個(gè)命題的逆命題

例4 命題“兩負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”的逆命題是_______.

【錯(cuò)誤解答】負(fù)數(shù)是兩個(gè)負(fù)數(shù)的和

【錯(cuò)因剖析】“兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”可以改寫成“如果兩個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù)”，因此，其逆命題為“如果兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)”.有的同學(xué)在改寫命題時(shí)不對(duì)其加以整理，而只是將它機(jī)械地分成兩部分，因而導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【正確解答】如果兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)或和為負(fù)數(shù)的兩數(shù)是負(fù)數(shù).

【方法歸納】構(gòu)造一個(gè)命題的逆命題時(shí)，往往先改寫成“如果……，那么……”的形式，再把其中的條件與結(jié)論互換位置，即可得到原命題的逆命題.

五、 不能確定命題的逆命題真與假

例5 下列命題中，逆命題正確的是（ ）.

A. 對(duì)頂角相等

B. 直角都相等

C. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

D. 若x=2時(shí)，則a2b與a|x|b是同類項(xiàng)

【錯(cuò)誤解答】D.

【錯(cuò)因剖析】分別寫出各個(gè)選項(xiàng)的逆命題，“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”，“直角都相等”的逆命題是“相等的角都是直角”，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題是“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，“ 若x=2時(shí)，則a2b與a|x|b是同類項(xiàng)”的逆命題是“若a2b與a|x|b是同類項(xiàng)，則x=2”，再判斷其真假性.顯然，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是正確的.有的同學(xué)往往由于不能正確把握原命題的結(jié)構(gòu)，確定其條件與結(jié)論，再判定逆命題正確與否，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【正確解答】C.

【方法歸納】解答這類問題時(shí)，往往先根據(jù)原命題的結(jié)構(gòu)、確定其條件與結(jié)論，再構(gòu)造其逆命題，最后判定所得逆命題正確與否.