緊扣題目特征 尋找解題方法

荊春芳

《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》是數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第六章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）》的延續(xù)，這兩章是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有學(xué)好了這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，才能為后續(xù)復(fù)雜幾何題的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).近幾年各地中考試題和競(jìng)賽試題也經(jīng)常在這些方面命題.本章的主要內(nèi)容分為三大塊：平行線的判定條件及性質(zhì)、圖形的平移和三角形的基礎(chǔ)知識(shí).現(xiàn)針對(duì)這三塊重要內(nèi)容舉例加以分析，幫助同學(xué)們掌握解決這些問(wèn)題的方法技巧.

例1 如圖1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.

【分析】本題對(duì)∠A1、∠A2、∠B1的大小并沒(méi)有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的3個(gè)角的大小無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的.我們從直觀圖形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要說(shuō)明兩角的和等于第三個(gè)角，通常可以通過(guò)添加輔助線把較大角分成兩個(gè)較小角，首先使分出的一個(gè)角等于∠A1，這可以通過(guò)添加平行線實(shí)現(xiàn)，再說(shuō)明余下的一個(gè)角等于∠A2即可.

【解答】如圖1，過(guò)B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 當(dāng)已知與未知的轉(zhuǎn)化不明顯時(shí)，常常通過(guò)作輔助線的方法加以解決，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線是解決平行線問(wèn)題時(shí)常用的作輔助線的方法；（2） 從上面的解題過(guò)程可以看出，這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于已知條件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作連接A1、A2之間的折線段，當(dāng)連接A1、A2之間的折線段增加到4條時(shí)，如圖2，仍然有結(jié)果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

進(jìn)一步可推廣為∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，這時(shí)如圖3，連接A1、An之間的折線段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（當(dāng)然，仍要保持AA1∥BAn） .

【推廣】有些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問(wèn)題推廣到復(fù)雜的情況，這是一種提升自我思考能力的方法.

此題還可以進(jìn)行如下變化：① AA1∥BA2這個(gè)條件不變，如果點(diǎn)B1向右移動(dòng)到如圖4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？② AA1∥BA2這個(gè)條件不變，點(diǎn)B1向上移動(dòng)到如圖5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之間又有怎樣的關(guān)系呢？相信同學(xué)們可自行解答.

例2 在△ABC中，高BD和CE所在直線相交于O點(diǎn)，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度數(shù).

【分析】因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，又△ABC不是直角三角形，所以△ABC的形狀應(yīng)分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論.

【解答】（1） 如圖6，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，高BD和CE所在直線相交于三角形內(nèi)的O點(diǎn)，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.

（2） 如圖7，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，高BD和CE所在直線相交于三角形外的O點(diǎn)，此時(shí)∠A與∠O分別是對(duì)頂角∠ACE與∠DCO的余角，由余角的性質(zhì)可知，∠BOC=∠A=60°.

綜上所述，∠BOC的度數(shù)是120°或60°.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 解圖形形狀不唯一、幾何圖形位置關(guān)系不確定或與分類(lèi)概念相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常用到分類(lèi)討論法；（2） 中線、高、角平分線是三角形中的三條重要線段，從它們所處的位置看，高與中線、角平分線不一樣，中線、角平分線都交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，而高的位置隨著三角形形狀的變化而變化：銳角三角形三條高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形三條高交于直角頂點(diǎn)，鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外一點(diǎn)，今后研究三角形高的問(wèn)題時(shí)都要注意符合題設(shè)條件的圖形的多樣性.

例3 如圖8，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（ ）.

A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）

C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）

【分析】折疊中含有很豐富的相等的量，因此在折疊的動(dòng)態(tài)變化中，尋找不變關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在此題中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，不變關(guān)系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四邊形BCED中，未知的量減少了，利用四邊形的內(nèi)角和是360°建立方程，就能夠得到問(wèn)題的答案.

【解答】由三角形內(nèi)角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.

在四邊形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故選B.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 折疊類(lèi)問(wèn)題是近幾年中考的熱門(mén)考題，通常把某個(gè)圖形按給定的條件折疊，通過(guò)折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來(lái)命題.折疊類(lèi)問(wèn)題立意新穎，變幻巧妙，能有效地培養(yǎng)同學(xué)們的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.（2） 此題是用代數(shù)法解幾何計(jì)算問(wèn)題，這種方法的基本思路是：引入未知數(shù)，運(yùn)用圖形性質(zhì)建立方程或不等式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式，因此這種方法也稱為“方程思想”.如圖9，把上題中的三角形紙片改成四邊形紙片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D與∠1、∠2的關(guān)系？請(qǐng)你動(dòng)手試試看.

例4 已知△ABC中，三邊長(zhǎng)a、b、c都是整數(shù)且滿足a>b>c，a=10，那么滿足條件的三角形共有多少個(gè)？

【分析】這是一道典型的幾何類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，如果一個(gè)個(gè)三角形去列舉，不僅麻煩而且容易重復(fù)或遺漏，特別地，當(dāng)a的取值很大時(shí)，列舉根本不可能實(shí)現(xiàn)，因此解決此類(lèi)問(wèn)題通常需要分類(lèi)討論，為了不重復(fù)、不遺漏，還可以采用列表法.

解：由三角形的三邊關(guān)系知b+c>a，因?yàn)閎>c，a=10，可知b>5，又因?yàn)閎<10，且b是整數(shù)，所以b=6、7、8、9，按此標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)可求出c，列表討論如下：

因此，滿足條件的三角形共有1+3+5+7=16（個(gè)） .

【點(diǎn)評(píng)】（1） 計(jì)數(shù)問(wèn)題要防止重復(fù)或遺漏，因此計(jì)數(shù)要按順序有條理地進(jìn)行，同時(shí)經(jīng)常需要分類(lèi)討論；（2） 研究三角形的邊的長(zhǎng)短關(guān)系時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)度必須滿足三角形的三邊關(guān)系定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，否則就有可能產(chǎn)生三條線段不能構(gòu)成三角形的情況，此題是用列表法，先把大邊固定，然后根據(jù)三邊關(guān)系限制較小的兩邊；（3） 周長(zhǎng)為30，各邊長(zhǎng)互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個(gè)？你會(huì)做嗎？（提示：先確定最長(zhǎng)邊的范圍，然后用上面的方法討論）

通過(guò)探索直線平行的條件和平行線的性質(zhì)，我們知道平行作為兩條直線的位置關(guān)系，與角的大小存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它反映了圖形與數(shù)理之間的關(guān)系，這里的數(shù)形結(jié)合既是重要的知識(shí)內(nèi)容，又是重要的思想方法，同時(shí)添加基本輔助線——平行線，也為解決很多問(wèn)題帶來(lái)方便；圖形的平移要求我們對(duì)圖形多觀察，多動(dòng)手操作，經(jīng)歷知識(shí)的形成和應(yīng)用的過(guò)程，從而更好地體會(huì)圖形的變換的應(yīng)用價(jià)值和豐富的內(nèi)涵；研究三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是要掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法即化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化未知為已知的化歸思想，另外整體思想、方程思想等也都是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在本章中也都有所體現(xiàn).