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    孫悟空的七十二變

    2013-05-27 07:32:04王成
    關(guān)鍵詞:同旁內(nèi)角悟空過點

    王成

    一天,悟空來到花果山實驗學(xué)校,聽到同學(xué)們正在討論有關(guān)平行線的性質(zhì)和應(yīng)用,便想考考大家:“同學(xué)們學(xué)習(xí)了有關(guān)平行線的知識,現(xiàn)在俺老孫來出一道題,你們能用自己學(xué)過的知識解決嗎?”

    “如圖1,MA1∥NA2,同學(xué)們,你們來看看∠A1+∠A2=_______°.”悟空話音剛落,就聽到朱小戒搶答:“哎,太簡單了,180°嘛!兩直線平行,同旁內(nèi)角互補啊.孫大圣你就這么小看我們?”

    悟空擺了擺手說:“不著急,看俺老孫來變!變!變!大家看!如圖2-1,MA1∥NA3,同學(xué)們,你們來看看∠A1+∠A2+∠A3=_______°.”“咦!悟空吹了口氣,怎么圖形變了?。俊蓖瑢W(xué)們你一句我一句,但很快就動起了腦筋:既然已知條件是平行線,那我們肯定要運用平行線的性質(zhì)來解決這個問題.大家經(jīng)過討論很快找到了方法:如圖2-2,過點A2作一條輔助線A2B∥MA1,這樣根據(jù)平行于同一直線的兩直線也平行,把圖2-1轉(zhuǎn)化成兩個與圖1相同的基本圖形.把∠A1A2A3分成∠A1A2B與∠BA2A3,它們分別和∠A1與∠A3組成同旁內(nèi)角,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補可得∠A1+∠A2+∠A3=∠A1+∠A1A2B +∠BA2A3+∠A3=180°+180°=180°×2=360°.

    悟空聽了同學(xué)們的發(fā)言,滿意地點了點頭.又吹了口氣說:

    “俺老孫再變!如圖3-1,MA1∥NA4,同學(xué)們,你們來看看∠A1+∠A2+∠A3 +∠A4=_______°.”朱小戒說:“我來!如圖3-2,分別過點A2、A3作A2B∥MA1,A3C∥MA1 ,同樣的方法可以得到∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°+180°+180°=180°×3=540°.”悟空聽了朱小戒的發(fā)言,對朱小戒豎起了大拇指:“了不起啊,小戒同學(xué)!”說完對黑板又吹了口氣:“俺老孫再來一變,你們能用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決這個問題嗎?如圖4-1,MA1∥NAn,則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_______.”

    同學(xué)們思考了一下很快得出了答案:如圖4-2,添加(n-2)條和MA1平行的輔助線,構(gòu)成(n-1)對同旁內(nèi)角,則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°(n-1).

    “現(xiàn)在的學(xué)生觀察、探究、歸納總結(jié)的能力很強?。】磥砦疫€不能小看我們花果山實驗學(xué)校的孩子.”悟空在心里默默地想著. “大圣,真有你的!一個很簡單的問題你居然能變出這么多的問題來,讓我們大家大開眼界啊.大圣再給我們出道題吧,還要變!變!變哦!”同學(xué)們一起說道.

    悟空笑了笑,想了一下:“好吧,再來考考你們啊.”又在黑板上出了一道題:

    如圖5-1,直線AC∥BD,連接AB,點P在該平面上所處位置如圖所示,請大家來研究一下∠APB、∠PAC、∠PBD這三個角的關(guān)系.

    同學(xué)們紛紛動手在自己的草稿紙上做了起來,過了一會兒A同學(xué)很快得到了答案:∠APB=∠PAC+∠PBD.“很好!漂亮!”悟空表揚了A同學(xué). “誰能把自己怎么思考得到答案的過程和大家分享一下嗎?”“我!我!”同學(xué)們爭先恐后地要求回答問題.最后沙小僧同學(xué)走到講臺前把自己的方法寫在黑板上:

    如圖5-2,過點P作PQ∥AC,

    所以∠PAC=∠APQ(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).

    因為AC∥BD,

    所以PQ∥BD(平行于同一直線的兩直線也平行).

    所以∠PBD=∠BPQ(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).

    所以∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠BPQ(等式性質(zhì)).

    即 ∠PAC+∠PBD=∠APB.

    “很好,沙小僧同學(xué)回答很正確,而且書寫規(guī)范,我們大家要向他學(xué)習(xí)!下面我們再來變!點P在如圖5-3所示的位置,請大家來研究一下這三個角的關(guān)系還是∠PAC+∠PBD=∠APB嗎?”

    “不成立!應(yīng)該是∠PAC +∠APB+∠PBD=360°.”很快又有同學(xué)給出了答案.

    理由如下:

    如圖5-4,過點P作PQ∥AC,

    所以∠PAC+∠APQ=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補).

    因為AC∥BD,

    所以PQ∥BD(平行于同一直線的兩直線也平行).

    所以∠PBD+∠BPQ=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補).

    所以∠PAC+∠APQ +∠PBD+∠BPQ=360°(等式性質(zhì)).

    即∠PAC+∠PBD+∠APB=360°.

    “ 太厲害了!不出絕招不行了!大家來看我再變!”悟空拿出了看家本領(lǐng).

    如圖5-5,直線AC∥BD,連接AB,直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分.規(guī)定:線上各點不屬于任何部分,當(dāng)動點P落在某個部分時,連接PA、PB,構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角.當(dāng)動點P落在第③部分時,全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系,并寫出動點P的具體位置和相應(yīng)結(jié)論.(注:有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°.)

    同學(xué)們立即展開了熱烈的討論,最后還是由朱小戒同學(xué)向悟空匯報了大家的探究結(jié)果.

    共有3種情況:

    1. 當(dāng)動點P在線段BA的延長線上時,如圖5-6,此時∠APB=0°,∠PAC=∠PBD.

    因為直線AC∥BD,

    所以∠PAC=∠PBD(兩直線平行,同位角相等).

    2. 當(dāng)動點P在線段BA的延長線的左側(cè)時,如圖5-7,∠PAC=∠PBD+∠APB.

    連接PB交AC于點E.

    因為直線AC∥BD,

    所以∠PEC=∠PBD(兩直線平行,同位角相等).

    又因為∠PAC=∠PEC+∠APB(三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),

    所以∠PAC=∠PBD+∠APB(等量代換).

    3. 當(dāng)動點P在線段BA的延長線的右側(cè)時,如圖5-8,∠PBD =∠PAC+∠APB.

    連接PB交AC于點E.

    因為直線AC∥BD,

    所以∠AEB=∠PBD(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).

    又因為∠AEB =∠PAC+∠APB(三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),

    所以∠PBD =∠PAC+∠APB(等量代換).

    聽到同學(xué)們的探究結(jié)果,悟空很開心:“同學(xué)們,今天我們應(yīng)用了大家最近所學(xué)的知識解決了許多問題,你們的表現(xiàn)很棒!大家既要學(xué)好課本知識,更要靈活運用所學(xué)知識.”

    親愛的同學(xué)們,你們清楚了嗎?還能繼續(xù)根據(jù)上述探究問題的方法,運用所學(xué)的知識繼續(xù)探究當(dāng)動點P運動到第④部分時,三個角之間的關(guān)系嗎?試一試,然后與同伴交流一下.

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