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    探秘三角形中的不等關(guān)系

    2013-05-27 07:32:04吳曉剛
    初中生世界·七年級學習版 2013年3期
    關(guān)鍵詞:大角外角平分

    吳曉剛

    我們已經(jīng)學會用不等式的知識來解決許多生活中的問題,下面請同學們一起來用不等式的知識探索平面圖形——三角形中的不等關(guān)系.

    首先我們想到的三角形中的不等關(guān)系就是“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”,這個大家都知道,比如圖1的△ABC中,AB+AC>BC.其實,這個結(jié)論可以變一下形,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得AB>BC-AC,即BC-AC

    那么,三角形中還有哪些不等關(guān)系呢?如圖2,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD必大于∠A與∠C.這是為什么呢?我們知道∠A+∠ABC+∠C=180°,且∠ABC+∠CBD=180°,那么可以得到∠CBD=∠A+∠C,三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,必然地就可以得到∠CBD>∠A,∠CBD>∠C,概括為“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角”.

    我們再看圖1,這個三角形的三條邊都不相等,BC>AB>AC,三個角也不相等,∠A>∠C>∠B,它們之間有什么聯(lián)系嗎?那是當然的.如圖3,作∠BAC的平分線AD,將△ABC沿AD翻折,使△ADC翻折到△ADE,由于AB>AC,因此點C落在線段AB上的點E,于是∠C=∠AED.因為∠AED是△BED的外角,根據(jù)“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角”得∠AED>∠B,即∠C>∠B.也就是說:當AB>AC時,∠C>∠B,可以概括為“在一個三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角較大”,簡記為“大邊對大角”.反之亦成立.

    這樣,我們就得到了三角形中的3個具有不等關(guān)系的結(jié)論:

    結(jié)論1 三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;

    結(jié)論2 三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角;

    結(jié)論3 在一個三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角較大,簡記為“大邊對大角”.反之亦然.

    下面我們再來探一探三角形中其他衍生的不等關(guān)系,我們可以運用不等式的性質(zhì)和上面的3個結(jié)論進行說明.

    一、 三角形內(nèi)一點衍生的不等關(guān)系

    例1 如圖4,D是△ABC內(nèi)任一點,連接DA、DB、DC.

    說明:(1) AB+AC>DB+DC;

    (2) AB+BC+CA>DA+DB+DC;

    (3) ∠BDC>∠BAC.

    【解析】(1) 因DB、DC、AB、AC并不是同一個三角形中的線段,所以只有構(gòu)造出可以溝通它們之間關(guān)系的圖形才能加以說明.延長BD交AC于P,在△ABP中,AB+AP>PD+BD①,在△PDC中,PD+PC>CD②,①+②得AB+AP+PD+PC>PD+BD+CD,所以AB+AC>DB+DC;

    (2) 根據(jù)(1)中的結(jié)論AB+AC>DB+DC①,同理可得:BA+BC>DA+DC②,CA+CB>DB+DA③,①+②+③得2AB+2BC+2CA>2DA+2DB+2DC,所以AB+BC+CA>DA+DB+DC.

    (3) 根據(jù)(1)中的輔助線可知∠BDC是△CDP的外角,則∠BDC>∠CPD;而∠CPD是△BAP的外角,則∠CPD>∠BAC,故根據(jù)不等式的傳遞性可知∠BDC>∠BAC.

    二、 三角形內(nèi)兩點衍生的不等關(guān)系

    例2 已知:如圖5,E、F是△ABC內(nèi)的兩點,連接BE、EF、FC.

    說明:AB+AC>BE+EF+FC.

    【解析】因為要證的線段沒在同一個三角形內(nèi),它們沒有直接關(guān)系,需要構(gòu)造三角形,使它們在同一個三角形中,才能利用三角形三邊關(guān)系來證.

    【方法一】如圖6,將線段EF向兩端延長,分別交AB、AC于點M、M.在△AMN中,AM+ AN>MN,即AM+AN>ME+EF+FN①;在△BME中,BM+ME>BE②;在△CFN中,F(xiàn)N+CN>FC③.①+②+③得AM+AN+BM+ME+FN+CN>ME+EF+FN+BE+FC,即AB+AC>BE+EF+ FC.

    【方法二】如圖7,分別延長BE、EF交AC于點O、K.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OEK中,OE+OK>EF+FK②;在△KFC中,F(xiàn)K+CK>FC③.①+②+③得AB+AO+OE+OK+FK+CK>BE+EO+EF+FK+FC,即AB+AC>BE+EF+FC.

    【方法三】如圖8,延長BE交AC于點O,延長CF交BO于點J.在△ABO中,AB+AO>BE+EO①;在△OJC中,OJ+OC>JF+FC②;在△JEF中,JE+JF>EF③.①+②+③得AB+AO+OJ+OC+JE+JF>BE+EO+JF+FC+EF,即AB+ AC>BE+EF+FC.

    三、 三角形角平分線衍生的不等關(guān)系

    例3 如圖9,△ABC中,AB>AC,AG平分∠BAC.

    說明:BG>GC.

    【解析】因為AG平分∠BAC,故可將△ABC沿AG翻折,使△ABG翻折到△AQG,由于AB>AC,因此點B落在線段AC的延長線上點Q,于是BG=QG,∠B=∠Q.因為∠GCQ是△ABC的外角,根據(jù)“三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角”知∠GCQ>∠B,即∠GCQ>∠Q.在△GCQ中,∠GCQ>∠Q,根據(jù)“大角對大邊”可得QG>GC,所以BG>GC.

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