生活中的一元一次不等式

王長(zhǎng)穎

一元一次不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間不等關(guān)系的有效模型，現(xiàn)實(shí)生活中的許多實(shí)際問(wèn)題可以建立一元一次不等式模型加以解答，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

一、 電梯中的載物問(wèn)題

例1 有3人攜帶會(huì)議材料乘坐電梯，這3人的體重共210 kg，每捆材料重20 kg，電梯最大負(fù)荷為1 050 kg，那么該電梯在此3人乘坐的情況下最多還能搭載幾捆材料？

【分析】本題中的最大負(fù)荷為1 050 kg，實(shí)際上隱含著：3人的體重+攜帶會(huì)議材料≤1 050，因而可以設(shè)該電梯最多還能搭載x捆材料，進(jìn)而建立關(guān)于x的不等式解決問(wèn)題.

【解答】設(shè)該電梯最多還能搭載x捆材料，依題意，得：

20x+210≤1 050，解得x≤42.

所以，x的最大值為42.

答：該電梯最多還能搭載42捆材料.

【點(diǎn)評(píng)】乘坐電梯是日常生活中極其平常的事情，乘坐電梯搭載材料千萬(wàn)不要超過(guò)最大負(fù)荷，否則就會(huì)出現(xiàn)超載無(wú)法關(guān)門(mén)的現(xiàn)象.

二、 體育活動(dòng)中的買(mǎi)球問(wèn)題

例2 同慶中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從軍躍體育用品商店一次性購(gòu)買(mǎi)若干個(gè)足球和籃球（每個(gè)足球的價(jià)格相同，每個(gè)籃球的價(jià)格相同），若購(gòu)買(mǎi)3個(gè)足球和2個(gè)籃球共需310元，購(gòu)買(mǎi)2個(gè)足球和5個(gè)籃球共需500元.

（1） 求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元？

（2） 根據(jù)同慶中學(xué)實(shí)際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購(gòu)買(mǎi)足球和籃球共96個(gè)，要求購(gòu)買(mǎi)足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)5 720元，這所中學(xué)最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)籃球？

【分析】第（1）題，隱含著兩個(gè)等量關(guān)系式：購(gòu)買(mǎi)3個(gè)足球的費(fèi)用+2個(gè)籃球的費(fèi)用=310元，購(gòu)買(mǎi)2個(gè)足球的費(fèi)用+5個(gè)籃球的費(fèi)用=500元，因此，可以建立方程組進(jìn)行解答；第（2）題，隱含著一個(gè)不等關(guān)系式：購(gòu)買(mǎi)足球和籃球的總費(fèi)用≤5 720元.設(shè)購(gòu)買(mǎi)a個(gè)籃球，即可列出不等式加以解決.

【解答】（1） 設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)足球需要x元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)籃球需要y元.根據(jù)題意，得：

3x+2y=310，2x+5y=500. 解得：x=50，y=80.

所以，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)足球需要50元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)籃球需要80元.

（2） 設(shè)購(gòu)買(mǎi)a個(gè)籃球，則購(gòu)買(mǎi)（96-a）個(gè)足球，根據(jù)題意，列不等式，得：

80a+50（96-a）≤5 720，解得：a≤30■.

因?yàn)閍為整數(shù)，所以a最多是30，所以這所中學(xué)最多可以購(gòu)買(mǎi)30個(gè)籃球.

【點(diǎn)評(píng)】踢足球和打籃球是同學(xué)們喜愛(ài)的體育活動(dòng).購(gòu)買(mǎi)足球和籃球前，一定要做好經(jīng)費(fèi)預(yù)算，才能夠確保合理使用經(jīng)費(fèi).

三、 商品購(gòu)買(mǎi)方案問(wèn)題

例3 某商店5月1日舉行促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)，當(dāng)天到該商店購(gòu)買(mǎi)商品有兩種方案.方案一：用168元購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡成為會(huì)員后，憑會(huì)員卡購(gòu)買(mǎi)商店內(nèi)任何商品，一律按商品價(jià)格的8折優(yōu)惠；方案二：若不購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡，則購(gòu)買(mǎi)商店內(nèi)任何商品，一律按商品價(jià)格的9.5折優(yōu)惠.已知小敏5月1日前不是該商店的會(huì)員.

（1） 若小敏不購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡，所購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格為120元時(shí)，實(shí)際應(yīng)支付多少元？

（2） 請(qǐng)幫小敏算一算，所購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)時(shí)，采用方案一更合算？

【分析】第（1）題，按方案二直接可以計(jì)算；第（2）題，隱含著不等式關(guān)系是：方案一的費(fèi)用<方案二的費(fèi)用.設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格為x元，可得方案一的費(fèi)用為（0.8x+168）元、方案二的費(fèi)用為0.95x元，進(jìn)而建立不等式，求出所購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格的范圍.

【解答】（1） 120×0.95=114（元），所以實(shí)際應(yīng)支付114元；

（2） 設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格為x元，由題意得：0.8x+168<0.95x，解得x>1 120，所以當(dāng)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格超過(guò)1 120元時(shí)，采用方案一更合算.

【點(diǎn)評(píng)】促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)是商家經(jīng)常采用的方法.不同的商家有不同的方案，既需要我們“貨比三家”，也需要我們對(duì)相同商品比較不同購(gòu)買(mǎi)方案時(shí)價(jià)格大小關(guān)系，得到價(jià)廉物美的商品.

四、 食物中成分的問(wèn)題

例4 2012年5月20日是第23個(gè)中國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日，某校社會(huì)實(shí)踐小組在這天開(kāi)展活動(dòng)，調(diào)查快餐營(yíng)養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門(mén)獲取了一份快餐的信息（如圖）.根據(jù)信息，解答下列問(wèn)題.

（1） 求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；

（2） 若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；

（3） 若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值.

【分析】（1） 已知百分比和總量，則脂肪質(zhì)量為400×5%；（2） 已知碳水化合物的百分比，則碳水化合物質(zhì)量為400×40%=160，故蛋白質(zhì)與礦物質(zhì)的質(zhì)量之和為400-20-160，又知蛋白質(zhì)的質(zhì)量是礦物質(zhì)的質(zhì)量的4倍，所以設(shè)礦物質(zhì)的含量為x，則有x+4x=400-20-160；（3） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為（380-5y）克，根據(jù)兩者所占百分比的和不超過(guò)85%，可得4y+（380-5y）≤400×85%，從而y的取值范圍可求出.

【解答】（1） 400×5%=20，答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克；

（2） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得：x+4x+20+400×40%=400，所以x=44，所以 4x=176.

答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克；

（3） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為（380-5y）克，所以4y+（380-5y）≤400×85%，y≥40，380-5y≤180，所以所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克.

【點(diǎn)評(píng)】本題設(shè)計(jì)新穎，以快餐中的營(yíng)養(yǎng)成分信息為背景，考查了同學(xué)們從信息表中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的能力.同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)建立不等式模型加以解答.

五、 商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

例5 某大型超市從生產(chǎn)基地購(gòu)進(jìn)一批水果，運(yùn)輸過(guò)程中質(zhì)量損失10%.假設(shè)不計(jì)超市其他費(fèi)用，如果超市要想至少獲得20%的利潤(rùn)，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高（ ）.

A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%

【分析】設(shè)購(gòu)進(jìn)一批水果有a kg，進(jìn)價(jià)為m元，這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上提高原價(jià)的x倍，則有：■≥20%，解得x≥■，所以x的最小值為33.4%，即這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高33.4%.

【解答】B.

【點(diǎn)評(píng)】商家買(mǎi)賣(mài)商品過(guò)程中總是沒(méi)有賠本的，盡管在銷(xiāo)售過(guò)程中有損耗，往往通過(guò)提高售價(jià)來(lái)達(dá)到所要獲取的利潤(rùn)率.

例6 某商場(chǎng)用36 000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6 000元.其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)138元；乙種商品每件進(jìn)價(jià)100元，售價(jià)120元.

（1） 該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2） 商場(chǎng)第二次以原進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，購(gòu)進(jìn)乙種商品的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，甲種商品按原售價(jià)出售，而乙種商品打折銷(xiāo)售.若兩種商品銷(xiāo)售完畢，要使第二次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲利不少于8 160元，乙種商品最低售價(jià)為每件多少元？

【分析】第（1）題，隱含著兩個(gè)相等關(guān)系式：購(gòu)進(jìn)甲種商品的費(fèi)用+購(gòu)進(jìn)乙種商品的費(fèi)用=36 000元，銷(xiāo)售甲種商品的獲利+銷(xiāo)售乙種商品的獲利=6 000元，因而可以列出方程組進(jìn)行解答；第（2）題，第二次購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)的利潤(rùn)為2×200×（138-120）=7 200元，如果設(shè)最低售價(jià)為x元，則第二次購(gòu)進(jìn)乙種商品銷(xiāo)售后的利潤(rùn)為120×（x-100）元，從而可以應(yīng)用不等式進(jìn)行解決問(wèn)題.

【解答】（1） 設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品件數(shù)分別為x、y件，依題意，得：

120x+100y=36 000，（138-120）x+（120-100）y=6 000.

所以x=200，y=120.

所以第一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品件數(shù)分別為200、120件.

（2） 第二次購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，仍按原價(jià)銷(xiāo)售后的利潤(rùn)為：2×200×（138-120）=7 200元，所以設(shè)乙種商品最低售價(jià)為x元，第二次購(gòu)進(jìn)乙種商品銷(xiāo)售后的利潤(rùn)為120×（x-100）元，得：7 200+120×（x-100）≥8 160，解得x≥108，所以x有最小值為108元，所以乙種商品在第一次售價(jià)的基礎(chǔ)上最低售價(jià)為每件108元.

【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了同學(xué)們把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，要求應(yīng)用二元一次方程組和一元一次不等式解決生活中銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題.

六、 生活用水問(wèn)題

例7 為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi).如表是該市居民“一戶(hù)一表”生活用水計(jì)費(fèi)價(jià)格表的部分信息：

（說(shuō)明：① 每戶(hù)產(chǎn)生的污水量等于該戶(hù)自來(lái)水用水量；② 水費(fèi)=自來(lái)水費(fèi)用+污水處理費(fèi)用）

已知小王家2012年4月份用水20噸，交水費(fèi)66元；5月份用水25噸，交水費(fèi)91元.

（1） 求a、b的值；

（2） 隨著夏天的到來(lái)，用水量將增加.為了節(jié)省開(kāi)支，小王計(jì)劃把6月份的水費(fèi)控制在不超過(guò)家庭月收入的2%.若小王家的月收入為9 200元，則小王家6月份最多能用水多少?lài)崳?/p>

【分析】第（1）題，根據(jù)兩次付費(fèi)，可得一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程即可；第（2）題，根據(jù)第（1）題的計(jì)算結(jié)果可以求得用水30噸時(shí)的費(fèi)用，再確定6月份用水量是否超過(guò)30噸，并建立不等式解決問(wèn)題.

【解答】（1） 由題意，得：17（a+0.8）+3（b+0.8）=66，17（a+0.8）+8（b+0.8）=91.解得a=2.2，b=4.2.

（2） 當(dāng)用水量為30噸時(shí)，水費(fèi)為：17×3+13×5=116元，9 200×2%=184元.

因?yàn)?16<184，所以小王家6月份的用水量超過(guò)30噸.

設(shè)小王家6月份用水量為x噸，由題意，得：17×3+13×5+6.8（x-30）≤184，解得x≤40，所以，x的最大值為40.

答：小王家6月份最多能用水40噸.

【點(diǎn)評(píng)】“節(jié)約用水，人人有責(zé)”，使用不同水量，其每噸的交費(fèi)也不相同.本題既滲透了節(jié)約用水的意識(shí)，也考查了從表格中獲取相關(guān)信息的能力.

七、 方案設(shè)計(jì)問(wèn)題

例8 （2012·益陽(yáng)）為響應(yīng)市政府“創(chuàng)建國(guó)家森林城市”的號(hào)召，某小區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗共17棵，已知A種樹(shù)苗每棵80元，B種樹(shù)苗每棵60元.

（1） 若購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗剛好用去1 220元，問(wèn)購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗各多少棵？

（2） 若購(gòu)買(mǎi)B種樹(shù)苗的數(shù)量少于A種樹(shù)苗的數(shù)量，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用.

【分析】第（1）題，可用一元一次方程求解；第（2）題，由“購(gòu)買(mǎi)B種樹(shù)苗的數(shù)量少于A種樹(shù)苗的數(shù)量”建立不等式，再結(jié)合樹(shù)苗的棵數(shù)是整數(shù)求解.

【解答】（1） 設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗x棵，則購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗（17-x）棵，根據(jù)題意得：

80x+60（17-x）=1 220，解得x=10，所以17-x=7.

答：購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗10棵，B種樹(shù)苗7棵.

（2） 設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗x棵，則購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗（17-x）棵，根據(jù)題意得：

17-x8■，購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗所需費(fèi)用為80x+60（17-x）=20x+1 020，則費(fèi)用最省需x取最小整數(shù)9，此時(shí)17-x=8，這時(shí)所需費(fèi)用為20×9+1 020=1 200（元）.

答：費(fèi)用最省方案為：購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗9棵，B種樹(shù)苗8棵. 這時(shí)所需費(fèi)用為1 200元.

【點(diǎn)評(píng)】最優(yōu)化或方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，常常要借助于不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答.