一道中考題的五種解法

吳俊明　王冬茍

例 已知二次函數(shù)y=x２+2ax-2b+1和y=-x２+（a-3）x+b２-1的圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點(diǎn)M，N.求a，b的值.

解法１：設(shè)M（x１，0），N（x２，0），則x１，x２是方程x２+2ax-2b+1=0的兩個根，也是方程-x２+（a-3）x+b２-1=0的兩個根.因此有

x１+x２=-2a，x１x２=-2b+1；x１+x２=a-3，x１x２=1-b２.

∴ －２ａ＝ａ－３，－２b＋１＝１－b２.

解得a=1，b=2或a=1，b=０.

當(dāng)a=1，b=0時(shí)，不合題意，舍去，因此a=1，b=2.

解法２：依題意，方程x２+2ax-2b+1=0與方程-x２+（a-3）ｘ+b２-1=0有兩個相同的實(shí)根，因此兩個方程中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)成比例，即

解得a=1，b＝2或a=1，b=0． 其中a=1，b＝０不合題意，舍去．

解法３：因?yàn)閮蓲佄锞€開口的大小相同，方向相反.又經(jīng)過x軸上兩個不同的點(diǎn)，所以這兩個拋物線關(guān)于x軸對稱.它的頂點(diǎn)必關(guān)于x軸對稱．這樣就有

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合題意，舍去．

解法４：抓住兩拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱和兩拋物線與y軸的交點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，得

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合題意，舍去．

解法５:在拋物線y=x２+2ax-2b+1上任取兩點(diǎn)，那么這兩點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)必在另一條拋物線y=-x２+（a-3）x+b２-1上.

取x=1，得y=2a-2b+2，得點(diǎn)A（1，2a-2b+2）.

取x=1，得y=a+b２-5，得點(diǎn)A′（1，a+b２-5）.

取x=-1，得y=-2a-2b+2，得點(diǎn)B（-1，-2a-2b+2）.

取x=-1，得y=-a+b２+1，得點(diǎn)B′（-1，-a+b２+1）.

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合題意，舍去．

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