芻議“構(gòu)造法”在中學數(shù)學教學中的應用

☉江蘇省南京市金陵中學 嚴 飛

現(xiàn)今的高中生數(shù)學的學習偏重于演繹推理的訓練，過分強調(diào)形式論證的嚴密邏輯性，忽視數(shù)學知識形成、發(fā)生、發(fā)展過程中生動活潑的一面，以及包含著大量的可進行創(chuàng)造性理解的素材，把數(shù)學思維能力的培養(yǎng)基本上局限于邏輯推理上，無形中造成了對數(shù)學思維的偏見，這不僅不利于數(shù)學創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，而且也削弱了數(shù)學教學的作用.數(shù)學不但要培養(yǎng)學生的思維能力，還要培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力.高中數(shù)學的構(gòu)造法是一種培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的教學方法.構(gòu)造法的內(nèi)容十分豐富，形式多樣.它主要將數(shù)學中普遍性與現(xiàn)實性的問題特殊化，抽象性的問題實質(zhì)化，并根據(jù)具體的數(shù)學問題采取相應的解決辦法，進而激發(fā)學生的學習熱情.

一、高中數(shù)學構(gòu)造式解題教學應遵循的原則

（一）要求通過構(gòu)造教學模式將所要解決的數(shù)學問題的本質(zhì)形象直觀地顯示出來，縮短學生的思維過程，引導學生逐步建立模式識別的方法，提高教學效率.

（二）在教師的引導下使學生能夠順利實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)設的問題符合學生的認知水平，提高學生的解題能力.

（三）合理運用直覺、化歸等方式，找到問題的“相似結(jié)構(gòu)”的原型，對現(xiàn)有問題進行聯(lián)想并作出判斷，從綜合分析層面引導學生解決數(shù)學難題.

二、高中數(shù)學構(gòu)造式解題教學培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的途徑

通過構(gòu)造教學模式培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力的途徑有：（1）深入觀察，洞察實質(zhì)；（2）善于聯(lián)想，促進遷移；（3）著意類比，啟發(fā)直覺；（4）縱橫延伸，廣泛聯(lián)系.

1.構(gòu)造時深入觀察，洞察實質(zhì)

仔細觀察問題，有可能發(fā)現(xiàn)問題的突破口，想出某種解決問題的方法.對某些數(shù)學問題，觀察題設和結(jié)論的結(jié)構(gòu)、解析式或圖形的變化規(guī)律、題目所給出的數(shù)據(jù)關系等顯信息，以及問題所聯(lián)系的背景知識和隱含條件等隱信息，有利于洞察數(shù)量關系和結(jié)構(gòu)關系，進行跳躍性思維，縮減某些推理環(huán)節(jié)，增強直覺意識，為創(chuàng)造思維能力的發(fā)揮奠定基礎.

（1）構(gòu)造函數(shù)與方程.

用構(gòu)造方程法解題培養(yǎng)學生的觀察能力是一種新型的教學理念，因為方程是學生解題中最常用的模式，也是學生如何將新的問題化歸為已學知識的一種途徑，這將有助于培養(yǎng)學生的直觀思維能力.方程與函數(shù)有必然的聯(lián)系，是數(shù)學的兩種解題形式.例如，函數(shù)y＝f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標就是方程f（x）＝0的解.在解數(shù)學題時，若要確定函數(shù)中變化的某些量，可以將其轉(zhuǎn)化為求出這些量滿足的方程，通過構(gòu)造函數(shù)圖像將要解決的函數(shù)問題形象地展現(xiàn)出來，然后解方程得到最終解，提高解題效率.

（2）構(gòu)造幾何圖形.

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

分析： 從函數(shù)的表達式上來看，函數(shù)（fx）的幾何意義是：單位圓上的點M與定點P（-3，-2）的連線的斜率.如圖1，設單位圓x2+y2=1過定點P（-3，-2）的切線PM的斜率為k，則切線PM的方程為y+2=k（x+3），即kx-y+3k-2=0.

（3）構(gòu)造新數(shù)列.

在高中數(shù)學中，數(shù)列的通項公式的求法有多種，但利用構(gòu)造新數(shù)列把非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比兩種典型的特殊數(shù)列是最為重要的.構(gòu)造新數(shù)列需要比較靈活的變形技巧，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

例3 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式.

故數(shù)列{an}的通項公式為：

求由an=pan-1+f（n）·rn確定的數(shù)列的通項公式，一般可以通過左右兩邊同除以rn，消除不和諧的rn.

2.構(gòu)造時善于聯(lián)想，促進遷移

聯(lián)想是由此及彼的思考方法.聯(lián)想要以一定的數(shù)學知識、解題經(jīng)驗及技能為基礎.對于某些數(shù)學問題，若能聯(lián)想一些形式相同的、思考方法相似的、結(jié)構(gòu)類似的數(shù)學問題或常規(guī)問題，通過遷移將會悟出解決問題的思路.心理學家認為：把不同事物聯(lián)系起來思考，是人類進行創(chuàng)造性思維活動的重要形式.創(chuàng)造性聯(lián)想就是由一個事物聯(lián)想到另一個事物的思維過程.各種不同屬性的事物反映在頭腦中，并形成了各種不同的聯(lián)想.常見的聯(lián)想方式有：類比聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想、化歸聯(lián)想、屬性聯(lián)想、反向聯(lián)想和因果聯(lián)想等.聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的一種常用思考方法.

例4 求函數(shù)y=的最小值.

分析：若用代數(shù)方法求解本題，較難入手.

思路1：聯(lián)想到兩點間的距離公式，將函數(shù)解析式改寫為y=，則此函數(shù)表達式的幾何意義是x軸上的動點P（x，0）到兩定點A（4，1）、B（-2，-5）的距離之和，而A、B分布于x軸的上下兩側(cè)，則ymin=|AB|=

思路2：聯(lián)想到向量，構(gòu)造向量.

設a=（4-x，1），b=（x+2，5），則a+b=（6，6）.

根據(jù)向量不等式|a|+|b|≥|a+b|，得y=

3.構(gòu)造時著意類比，啟發(fā)直覺

類比是一種推理形式，是聯(lián)想的一種特殊形式和常用的推理方法.類比的具體形式有：問題形式類比（提出新問題）、結(jié)構(gòu)類比（發(fā)現(xiàn)新解法）等.通過類比，調(diào)動大腦中貯存的信息，進行知識組塊，啟迪思維，出現(xiàn)“頓悟”，頓悟的出現(xiàn)是解決問題的關鍵，頓悟是創(chuàng)造性思維的一種表現(xiàn)形式.數(shù)學研究的對象主要是數(shù)和形，兩者往往有著緊密的聯(lián)系.俗話說：“數(shù)離形時少直觀，形離數(shù)時難入微”.因此，對數(shù)學問題的直觀理解是非常重要的.引導學生通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用數(shù)形直觀誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)直覺思維的敏感性和提高其準確性，對誘發(fā)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生，大有益處.

例如，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的兩個最基本的性質(zhì)，將這兩個性質(zhì)結(jié)合起來研究，學生都能理解：若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在x≥0時是單調(diào)增（減）函數(shù)，則函數(shù)f（x）在x≤0時是單調(diào)減（增）函數(shù)，即偶函數(shù)在對稱軸的兩側(cè)有相反的單調(diào)性.通過觀察函數(shù)f（x）=x2的圖像，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x2的圖像的形狀像一個喇叭，像這樣的函數(shù)，我們不妨形象地給它一個名字——“喇叭型函數(shù)”.“喇叭型函數(shù)”的特點是：函數(shù)的圖形有對稱軸，在對稱軸的兩側(cè)函數(shù)有相反的單調(diào)性.不難證明，滿足f（a-x）=f（a+x），且在x≥a時單調(diào)的函數(shù)f（x）是“喇叭型函數(shù)”.當“喇叭”的開口向上（左減右增）時，距對稱軸距離相等的點縱坐標相等，即函數(shù)值相等；距對稱軸距離大的點縱坐標也大，即函數(shù)值也大；距對稱軸距離小的點縱坐標也小，即函數(shù)值也小.反之，當“喇叭”的開口向下（左增右減）時，距對稱軸距離相等的點縱坐標相等，即函數(shù)值相等；距對稱軸距離大的點縱坐標卻小，即函數(shù)值??；距對稱軸距離越小的點縱坐標卻大，即函數(shù)值大（如圖2所示）.

4.構(gòu)造時縱橫延伸，廣泛聯(lián)系

知識的更新和擴充，在于對所學知識的延伸，在于當前知識與已學知識的廣泛聯(lián)系.構(gòu)造教學中應引導學生在更廣、更深的領域內(nèi)挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系，探究問題的縱橫延伸，從而在實施轉(zhuǎn)化的過程中培養(yǎng)學生思維的廣闊性，達到培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的目的.

例5 當0＜a＜1時，試判斷sin（1+a）與sin（1-a）的大小.

這樣，代數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在三角函數(shù)的領域內(nèi)就有了應用的可能，既體現(xiàn)了知識的系統(tǒng)性，又培養(yǎng)了學生的擴散思維，使學生嘗到了創(chuàng)造的滋味，親身體驗到了創(chuàng)造的意義，使創(chuàng)造性思維的形成成為可能，以致必然.

三、高中數(shù)學構(gòu)造式解題教學應避免為講構(gòu)造法而人為構(gòu)造

在教學中對學生的思維能力應有正確的認識，用構(gòu)造法要達到化繁為簡、化難為易的目的，應避免在教學時為了講構(gòu)造法而人為構(gòu)造，增加學生對數(shù)學的畏懼感和挫折感.

例6 設a、b、c是三角形的三邊長，證明不等式2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

用構(gòu)造法證明：因為a、b、c是三角形的三邊長，所以a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b.不妨設0＜a≤b≤c＜a+b，則a＜4b.

令（fc）=c2-2（a+b）c+a2+b2-2ab（b≤c＜a+b）.

則f（b）=b2-2（a+b）b+a2+b2-2ab=a2-4ab=a（a-4b）＜0.

又因為y=f（c）為開口向上的拋物線，且a+b為拋物線的頂點的橫坐標，所以當b≤c＜a+b時，恒有f（c）＜0，即c2-2（a+b）c+a2+b2-2ab＜0，所以2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

本題一經(jīng)構(gòu)造反而讓學生感覺數(shù)學深不可測，沒有達到化繁為簡的目的，反而讓學生更糊涂了.事實上，由a、b、c是三角形的三邊長，得到a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，且a＞0，b＞0，c＞0，于是有ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，三式相加即得2（ab+bc+ac）＞a2+b2+c2.

四、結(jié)束語

有一些問題看似簡單，但真正處理起來非難則繁，如能合理、巧妙地構(gòu)造一些情境，不但易使問題“柳暗花明”，而且其新穎獨特的解題模式讓人深刻感受到數(shù)學思想的美妙.但我們的教學不應是在追求美妙上下功夫，更主要的是把解題用到的數(shù)學思想和方法介紹給學生.運用構(gòu)造方法解題也是這樣，不應為了講解構(gòu)造法而人為構(gòu)造，更應啟發(fā)學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯(lián)想，從而獲得許多構(gòu)思巧妙、新穎獨特、簡捷有效的解題方法.通過解題活動加強學生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學生分析問題的創(chuàng)新能力.

1.單墫.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學·選修2-1［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

2.張定強，趙宏淵，楊紅.高中生數(shù)學反思能力培養(yǎng)的基本模式與實踐探索［J］.數(shù)學教育學報，2008（1）.

3.章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2010（3）.

4.郭玉峰，史寧中.數(shù)學基本活動經(jīng)驗：提出、理解與實踐［J］.中國教育學刊，2012（4）.

5.宋玉連.構(gòu)造法在解題中的應用芻議［J］.連云港教育學院學報，1999（2）.

6.田發(fā)勝，例談構(gòu)造復數(shù)解題［J］.中學數(shù)學教與學，2000（9）.