空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用探究

☉江蘇省海門中學(xué) 徐巧石

向量是近代數(shù)學(xué)中基本和重要的數(shù)學(xué)概念之一，它溝通了代數(shù)、幾何和三角，是一種工具性的知識(shí)，有著極為豐富的實(shí)際背景.空間向量為處理立體幾何問(wèn)題提供了新的視角.空間向量的引入，為解決三維空間中的圖形位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具.

對(duì)于空間向量的考查，通常是以立體幾何為載體，“落腳點(diǎn)”在于應(yīng)用.應(yīng)用分兩個(gè)方面：一是空間圖形位置關(guān)系的判定，二是角度的度量.本文主要探討空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用.此類問(wèn)題通常也稱為探索性問(wèn)題，具有一定的難度，需要學(xué)生熟練掌握空間圖形的位置關(guān)系，通過(guò)反復(fù)嘗試尋找到問(wèn)題的答案.

一、回歸課本，尋根探源

存在性問(wèn)題在課本中共有五道習(xí)題涉及，這為此類問(wèn)題回歸課本找到了依據(jù).

1.（蘇教版選修2-1，第119頁(yè)，13）如圖1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

（1）略；

（2）略；

（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使PF與BC所成的角是60°.

評(píng)注：（3）考查的是兩直線夾角的計(jì)算，與直接求夾角不同，它是從相反的方向出發(fā)，已知兩直線的夾角，求滿足條件的動(dòng)點(diǎn).解這個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)注意點(diǎn)：①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)需要注意動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，其橫、縱坐標(biāo)相等并且滿足0≤x=y≤；②兩直線的夾角θ與兩直線的方向向量的夾角α之間滿足|cosα|=cosθ.

2.（蘇教版選修2-1，第115頁(yè)，15）在如圖2所示的坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=

（1）確定點(diǎn)P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；

（2）略.

評(píng)注：（1）同樣考查的是兩直線夾角的計(jì)算，與1（3）的區(qū)別是：①兩直線的夾角是特殊值直角；②動(dòng)點(diǎn)增加為兩個(gè).兩個(gè)注意點(diǎn)：①P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在線段CD上，并且PQ=；②對(duì)于兩直線的夾角為直角，可直接利用=0找到等量關(guān)系.

3.（蘇教版選修2-1，第119頁(yè)，9）如圖3，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，MN是異面直線AC與C1D的公垂線段，試確定點(diǎn)M在AC上及點(diǎn)N在C1D上的位置.

評(píng)注：本題仍是對(duì)兩直線夾角的計(jì)算的考查，與1、2兩題不同之處在于它有兩組直線MN和AC、MN和C1D分別垂直且含有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，從動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)和直線夾角數(shù)兩方面進(jìn)行了延伸，解答時(shí)仍需要注意兩動(dòng)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)所滿足的條件.

（1）略.

（2）在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE//平面PAB？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，試說(shuō)明理由.

評(píng)注：（2）考查的是直線與平面的位置關(guān)系，已知直線與平面平行求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).若直線CE與平面PAB平行，只需滿足CE的方向向量與平面PAB的法向量垂直，且直線CE不在平面PAB上即可.

5.（蘇教版選修2-1，第118頁(yè)，8）如圖5，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ.

（1）略；

二、轉(zhuǎn)換角度，識(shí)其本質(zhì)

上述5題都是存在性問(wèn)題，對(duì)于它們的求解，只需將題中所給的結(jié)論當(dāng)做已知條件進(jìn)行反推找到相應(yīng)的等價(jià)條件即可，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和解題時(shí)的逆向思維.

對(duì)于這5道題的考查載體，我們可以進(jìn)一步進(jìn)行劃分.1、2、3題考查的是直線與直線的夾角.如果兩直線的夾角是直角，則只需利用兩直線的方向向量的數(shù)量積為0即可，如果不是直角，則要利用兩直線的方向向量的夾角α與兩直線的夾角θ之間滿足的等式|cosα|=cosθ.4、5兩題考查的是直線與平面的夾角中的兩類特殊情況平行和垂直.如果平行，則利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，如果垂直，則利用直線的方向向量與平面的法向量平行即可.

從角的角度來(lái)講，線線角、線面角的存在性問(wèn)題書中習(xí)題都已經(jīng)有所涉及，面面角的存在性問(wèn)題沒(méi)涉及，因此很有可能以考查面面角為載體，出存在性的問(wèn)題.

若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點(diǎn)P的位置.

評(píng)注：解題的關(guān)鍵是利用二面角θ與兩平面的法向量的夾角α之間滿足|cosθ|=|cosα|，sinθ=sinα.

三、鏈接高考，推測(cè)可能

8.（2011年高考江蘇附加題，22）如圖8，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在CC1上.設(shè)二面角A1-DN-M的大小為θ.

（1）當(dāng)θ=90°時(shí)，求AM的長(zhǎng)；

縱觀這兩題，共同點(diǎn)是都存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所求問(wèn)題都和這個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān).7中通過(guò)兩直線的夾角把動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，8中通過(guò)二面角將動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).由已知條件先確定動(dòng)點(diǎn)位置，再求解其他結(jié)果.以角為著眼點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)還有可能通過(guò)線面角聯(lián)系起來(lái).

對(duì)于空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題，只要緊緊抓住兩角之間滿足的關(guān)系這一主線，同時(shí)注意動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的條件，建立等式，萬(wàn)變不離其宗，問(wèn)題可迎刃而解.