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    空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用探究

    2015-08-27 02:42:50江蘇省海門中學(xué)徐巧石
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年11期
    關(guān)鍵詞:面角動(dòng)點(diǎn)夾角

    ☉江蘇省海門中學(xué) 徐巧石

    向量是近代數(shù)學(xué)中基本和重要的數(shù)學(xué)概念之一,它溝通了代數(shù)、幾何和三角,是一種工具性的知識(shí),有著極為豐富的實(shí)際背景.空間向量為處理立體幾何問(wèn)題提供了新的視角.空間向量的引入,為解決三維空間中的圖形位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具.

    對(duì)于空間向量的考查,通常是以立體幾何為載體,“落腳點(diǎn)”在于應(yīng)用.應(yīng)用分兩個(gè)方面:一是空間圖形位置關(guān)系的判定,二是角度的度量.本文主要探討空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用.此類問(wèn)題通常也稱為探索性問(wèn)題,具有一定的難度,需要學(xué)生熟練掌握空間圖形的位置關(guān)系,通過(guò)反復(fù)嘗試尋找到問(wèn)題的答案.

    一、回歸課本,尋根探源

    存在性問(wèn)題在課本中共有五道習(xí)題涉及,這為此類問(wèn)題回歸課本找到了依據(jù).

    1.(蘇教版選修2-1,第119頁(yè),13)如圖1,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).

    (1)略;

    (2)略;

    (3)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使PF與BC所成的角是60°.

    評(píng)注:(3)考查的是兩直線夾角的計(jì)算,與直接求夾角不同,它是從相反的方向出發(fā),已知兩直線的夾角,求滿足條件的動(dòng)點(diǎn).解這個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)注意點(diǎn):①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)需要注意動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上,其橫、縱坐標(biāo)相等并且滿足0≤x=y≤;②兩直線的夾角θ與兩直線的方向向量的夾角α之間滿足|cosα|=cosθ.

    2.(蘇教版選修2-1,第115頁(yè),15)在如圖2所示的坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且PQ=

    (1)確定點(diǎn)P、Q的位置,使得B1Q⊥D1P;

    (2)略.

    評(píng)注:(1)同樣考查的是兩直線夾角的計(jì)算,與1(3)的區(qū)別是:①兩直線的夾角是特殊值直角;②動(dòng)點(diǎn)增加為兩個(gè).兩個(gè)注意點(diǎn):①P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足點(diǎn)P在線段BC上,點(diǎn)Q在線段CD上,并且PQ=;②對(duì)于兩直線的夾角為直角,可直接利用=0找到等量關(guān)系.

    3.(蘇教版選修2-1,第119頁(yè),9)如圖3,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,MN是異面直線AC與C1D的公垂線段,試確定點(diǎn)M在AC上及點(diǎn)N在C1D上的位置.

    評(píng)注:本題仍是對(duì)兩直線夾角的計(jì)算的考查,與1、2兩題不同之處在于它有兩組直線MN和AC、MN和C1D分別垂直且含有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,從動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)和直線夾角數(shù)兩方面進(jìn)行了延伸,解答時(shí)仍需要注意兩動(dòng)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)所滿足的條件.

    (1)略.

    (2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE//平面PAB?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,試說(shuō)明理由.

    評(píng)注:(2)考查的是直線與平面的位置關(guān)系,已知直線與平面平行求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).若直線CE與平面PAB平行,只需滿足CE的方向向量與平面PAB的法向量垂直,且直線CE不在平面PAB上即可.

    5.(蘇教版選修2-1,第118頁(yè),8)如圖5,平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ.

    (1)略;

    二、轉(zhuǎn)換角度,識(shí)其本質(zhì)

    上述5題都是存在性問(wèn)題,對(duì)于它們的求解,只需將題中所給的結(jié)論當(dāng)做已知條件進(jìn)行反推找到相應(yīng)的等價(jià)條件即可,這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和解題時(shí)的逆向思維.

    對(duì)于這5道題的考查載體,我們可以進(jìn)一步進(jìn)行劃分.1、2、3題考查的是直線與直線的夾角.如果兩直線的夾角是直角,則只需利用兩直線的方向向量的數(shù)量積為0即可,如果不是直角,則要利用兩直線的方向向量的夾角α與兩直線的夾角θ之間滿足的等式|cosα|=cosθ.4、5兩題考查的是直線與平面的夾角中的兩類特殊情況平行和垂直.如果平行,則利用直線的方向向量與平面的法向量垂直,如果垂直,則利用直線的方向向量與平面的法向量平行即可.

    從角的角度來(lái)講,線線角、線面角的存在性問(wèn)題書中習(xí)題都已經(jīng)有所涉及,面面角的存在性問(wèn)題沒(méi)涉及,因此很有可能以考查面面角為載體,出存在性的問(wèn)題.

    若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,試確定點(diǎn)P的位置.

    評(píng)注:解題的關(guān)鍵是利用二面角θ與兩平面的法向量的夾角α之間滿足|cosθ|=|cosα|,sinθ=sinα.

    三、鏈接高考,推測(cè)可能

    8.(2011年高考江蘇附加題,22)如圖8,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在CC1上.設(shè)二面角A1-DN-M的大小為θ.

    (1)當(dāng)θ=90°時(shí),求AM的長(zhǎng);

    縱觀這兩題,共同點(diǎn)是都存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所求問(wèn)題都和這個(gè)動(dòng)點(diǎn)有關(guān).7中通過(guò)兩直線的夾角把動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái),8中通過(guò)二面角將動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).由已知條件先確定動(dòng)點(diǎn)位置,再求解其他結(jié)果.以角為著眼點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)還有可能通過(guò)線面角聯(lián)系起來(lái).

    對(duì)于空間向量在立體幾何存在性問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題,只要緊緊抓住兩角之間滿足的關(guān)系這一主線,同時(shí)注意動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的條件,建立等式,萬(wàn)變不離其宗,問(wèn)題可迎刃而解.

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