“多想少算”思想下對立體幾何問題的解答

☉江蘇省江浦高級中學 劉金勇

對考生分析問題、解決問題能力的考查是高考重要考查點之一，考試說明中明確要求：解題中能選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設問進行獨立思考與探究，建設性地解決問題.本文以立體幾何問題為例說明“多想少算”思想的運用，以期對同學們解題有所幫助.

一、構造特殊模型，化抽象為直觀

例1 （2015年北京西城一模）如圖1，四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長均為1，記四面體ABCD的體積為F（x），則函數(shù)F（x）的單調增區(qū)間是_____；最大值為______.

解：聯(lián)想特殊幾何模型，該四面體可視為菱形ACBD（其中∠CAD=60°）沿對角線CD折疊而成.

評析：本解法通過構造特殊模型，將復雜的運算孕于簡單的推理之中，符合高考命題“小題小做”“多想少算”的理念.

二、還原于規(guī)則幾何體，化隱為顯

例2 如圖2，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為________.

分析：由于本題中多面體ABCDEF為非規(guī)則幾何體，不能直接求其體積，因此可以考慮用分割法，使其分割為兩個體積相等的三棱錐與一個直三棱柱.

評析：某些問題中所給出的幾何體雖然并不規(guī)則，但通過深思不難發(fā)現(xiàn)其都有規(guī)則之處，即這些幾何體都可以視作由規(guī)則的幾何體即長方體或正方體切割而得，進而使其隱含的性質得以直觀體現(xiàn)，使問題簡潔得解.

拓展：本題還可以這樣來分割：取EF的中點P，則多面體ABCDEF分割成正四面體ADEP、正四面體PBCF和正四棱錐P-ABCD，也易于計算.

三、空間化平面，三維降二維

例3 如圖3，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）.

評析：對空間想象能力的考查，是考試大綱提出的對考生能力點的考查之一.圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.本解法將三維化二維，有效降低了對空間想象能力的要求，將幾何量隱含的關系直觀顯現(xiàn)出來.

四、動中有靜，尋找不變量

例4 如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=，M是BC1的中點，N是MC1的中點，若異面直線AN與CM所成的角為θ，距離為d，則dsinθ=__________.

解：取CC1的中點K，則KN∥CM，故∠ANK為異面直線AN與CM所成的角或其補角.

因為AB⊥面BCC1B1，CM⊥BC1，所以CM⊥AN.又KN∥CM，所以KN⊥AN，即θ=90°.

因為CM∥KN，所以CM∥平面ANK，故異面直線AN與CM的距離等于直線CM與平面ANK的距離，即等于點M到平面ANK的距離.而平面AKN⊥平面BCC1，所以點M到平面ANK的距離等于點M到直線AN的距離.

評析：長方體中不僅包含了所有的數(shù)學思想方法，密切了與中學數(shù)學中其他內容的聯(lián)系，更體現(xiàn)著從靜到動，從單一到多方面，從長方體本身應用問題到利用長方體去解決問題的發(fā)展變化.仔細研究這些變化對學好空間幾何無疑是有裨益的.

五、化動為靜，以直代曲

例5 如圖6，已知正四棱錐V-ABCD可繞著AB任意旋轉，AB?平面α.若AB=2，VA=，點V在平面α上的射影為O，則CO的最大值為______.

要求CO的最大值，可以轉化為先求OF的最大值.

OC2=CF2+OF2≤CF2+（OM+MF）2=，當且僅當O、M、F三點共線時取到等號，所以CO的最大值為

評析：本題中除了固定不變的長度、線線、線面、面面關系外，還滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，使題意更加新穎，解法更加靈活，思維更加廣闊.也正因為某些點、線、面位置的不確定，成為學生進行常規(guī)思考、轉化的障礙；但又因為其是可變的、開放的，更有助于學生空間想象能力及綜合能力的培養(yǎng).只有多方著力，尋求轉化，才能摸索出解決動態(tài)立體幾何問題的基本策略.

綜上，對學生數(shù)學解題能力的培養(yǎng)，是高中數(shù)學教學目標之一，教學中教師應注意從解題思路的尋找上多下功夫，如此題如何解，為什么這樣解，這種解法是如何想到的等，建立知識間的有效關聯(lián)，進而在解題中迅速尋找到簡潔的解題途徑.