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    透視問題本質(zhì) 培養(yǎng)解決能力

    2015-08-27 02:42:52江蘇省海安縣曲塘中學(xué)王正余
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年11期
    關(guān)鍵詞:模式識別本質(zhì)直線

    ☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 王正余

    數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.波利亞在解題中談到:“提高學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠清晰地透視問題的本質(zhì)!問題的本質(zhì)是如何找到的?那就離不開三件事,其一是分析問題,即對問題進(jìn)行解剖,了解條件和所需結(jié)論之間的關(guān)系和鏈接,找到一個(gè)或多個(gè)突破口進(jìn)行嘗試;其二是透視本質(zhì),即在分析問題的基礎(chǔ)上找到問題的本質(zhì),站在更高的地方來看問題解決需要聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識和解決方法,能夠想到存儲在腦海中最基本的數(shù)學(xué)知識和基本技能;最后是轉(zhuǎn)化解決問題,即將陌生問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化劃歸,每一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題都需要轉(zhuǎn)化為熟悉的模式進(jìn)行求解.”波利亞的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們,數(shù)學(xué)問題解決的三個(gè)步驟.在三個(gè)步驟中,筆者認(rèn)為最重要的是第二個(gè)環(huán)節(jié),即如何解剖問題,認(rèn)知問題的本質(zhì)!

    華師大張奠宙教授說起過一個(gè)解題的案例,讓人忍俊不禁:一個(gè)三層飯店的電線壞了,因?yàn)殡姽ふ埣賻滋?,于是大家束手無策暫時(shí)查不出哪里出了問題,于是用電源器械一個(gè)一個(gè)的試,終于找到了問題,只不過花了半天時(shí)間.其實(shí),若電工查只需要用歐姆表將導(dǎo)線之間連接,看線路的電阻值就可以查詢問題,區(qū)區(qū)幾分鐘就可以解決.這個(gè)案例告訴我們,電工知道反應(yīng)電路問題最本質(zhì)的原因,而門外漢自然是只能用窮舉的方式來解決問題.筆者認(rèn)為,這正是我們學(xué)生對于現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題解決中出現(xiàn)的情況類似,下文筆者談?wù)勅绾瓮敢晢栴}本質(zhì),培養(yǎng)問題解決能力.

    一、通過模式識別透視本質(zhì)

    模式識別是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中最基本的運(yùn)用,高考問題的解決也是對學(xué)生進(jìn)行長時(shí)間的模擬訓(xùn)練,模式識別是操作后進(jìn)行的應(yīng)試.北師大張英伯教授就模式識別的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行過指出:“模式識別是中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中比較高效有效的模式,它把學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識將面臨的問題考向進(jìn)行了甄別和歸類,對于形式化思維比較弱的中學(xué)生而言是有好處的,也有利于應(yīng)試穩(wěn)定性.”比如,高中數(shù)學(xué)中的解析幾何一章,是模式識別觀察問題本質(zhì)較為顯著的章節(jié).筆者思考:解析幾何問題很少用來壓軸,為什么?正是因?yàn)槠鋯栴}本質(zhì)通過模式識別容易掌握,思維考查量不大,其最難的部分來源于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查,因此解析幾何問題的本質(zhì)是比較容易把握的,解析幾何問題解決能力是可以通過訓(xùn)練得到提升的.

    具體談?wù)劷馕鰩缀?,在解析幾何一章的教學(xué)中,一類重點(diǎn)、難點(diǎn)同時(shí)也是考試熱點(diǎn)的就是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.這類問題的解決往往有一個(gè)固定的套路,那就是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消元后使用判別式、韋達(dá)定理等工具.但是這類問題傳統(tǒng)解法的一個(gè)最大特點(diǎn)是運(yùn)算量比較大,而且一般還綜合一個(gè)或更多的字母參數(shù),所以學(xué)生對這類題特別“感冒”,然后就尋思著特殊方法和技巧,一心想走捷徑.針對這種現(xiàn)象,筆者采取的招數(shù)是讓他們“打擂臺”:女生用常規(guī)的套路演算,男生則找捷徑,讓他們嘗到“絞盡腦汁,傷透腦筋”,最終以失敗而告終的苦果.

    教師:這是一道高考改編題,主要是對于直線和圓錐曲線位置關(guān)系的考查.

    學(xué)生眾:(很關(guān)注,迫不及待的神情)讀題.

    教師:很經(jīng)典的問法,很古老的問題:直線過定點(diǎn).

    學(xué)生眾:有些失望.

    教師:很明顯我們應(yīng)該先求出直線MN的方程.

    學(xué)生眾:更大的失望.

    學(xué)生A:(與同桌竊竊私語)這樣的問題似乎有些陳舊,不新鮮.

    教師:(看到這種形勢,又聽到學(xué)生A的這句話,話鋒一轉(zhuǎn))有的同學(xué)輕視老一套,總想走捷徑.俗話說得好,“條條大路通羅馬”.我們今天就來一個(gè)老題新解法,比比誰先到羅馬.咱們女同學(xué)吃點(diǎn)虧,踏踏實(shí)實(shí)走老路,男同學(xué)好好發(fā)揮你們的智慧,找找捷徑試試看.

    學(xué)生眾:頓時(shí)氣氛又高漲起來.女同學(xué)忙碌著,男同學(xué)有畫圖的,有凝神苦思的,有緊鎖雙眉的……(時(shí)間在一分一秒地過去,沙沙聲不絕于耳)

    學(xué)生C(男生):??!還沒有解答完畢!

    教師:感覺怎樣?

    學(xué)生D(女生):運(yùn)算是繁了一些,但是很有效.

    教師:遇到問題多問一個(gè)為什么,試著多找?guī)讞l路是應(yīng)該的,但過分追求就等于舍本逐末.而考試又是在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解題,所以捷徑在有限的時(shí)間內(nèi)一旦難于尋找,不妨回到最基本的方式.總之,還是這句話,要重視通性通法(即解析幾何問題最一般的模式處理方式).

    說明:解析幾何問題最根本的處理方式自然是聯(lián)立直線和圓錐曲線方程,利用題中條件,解決直線方程,解決直線過定點(diǎn).解析幾何問題最難的并不是思維方式,而是在合理的模式識別中進(jìn)行正確的代數(shù)運(yùn)算,以及保持清醒的計(jì)算頭腦、長時(shí)間訓(xùn)練的熟練程度,正是有了這樣的問題本質(zhì)的透視,才能給解析幾何問題的解決帶來更高的效率.

    二、通過知識積累透視本質(zhì)

    知識重在積累、重在經(jīng)驗(yàn).我們知道教材中有很多概念、性質(zhì)、定理,但是用這些來解決問題還不夠,現(xiàn)階段的應(yīng)試還需要對于知識本質(zhì)的理解和熟練.大量調(diào)查研究表明,要在中學(xué)應(yīng)試中取得較為優(yōu)秀的成績,僅理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.還需要對于很多知識進(jìn)行額外的積累.以數(shù)學(xué)為例,我們都知道等差數(shù)列最基本的通項(xiàng)公式和求和公式,但是學(xué)生對于等差數(shù)列的認(rèn)知卻僅限于這幾個(gè)基本公式,很多學(xué)生并不知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù),也沒將等差通項(xiàng)公式的函數(shù)本質(zhì)和求和公式的函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行知識的積累(教材中并未對這些公式進(jìn)行函數(shù)本質(zhì)的挖掘),因此,需要不斷積累增強(qiáng)問題理解的本質(zhì),進(jìn)行培養(yǎng)問題解決的能力.

    案例2:關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,筆者設(shè)計(jì)了如下題組.學(xué)生通過解題回顧,總結(jié)規(guī)律,輕松習(xí)得知識.

    題組一:等差數(shù)列的公差為d,a1=-24,從第10項(xiàng)開始為正數(shù),則公差d的取值范圍為________.

    題組二:等差數(shù)列的公差為d,a1=-24,從第10項(xiàng)開始為正數(shù),試分析其前n項(xiàng)和Sn的單調(diào)性;有無最值?若有,是最大值還是最小值?

    學(xué)生眾:在上一題的基礎(chǔ)上,學(xué)生很快抓住了問題的實(shí)質(zhì),輕松獲解.

    題組三:等差數(shù)列{an}中,an=24-2n,試問其前n項(xiàng)和Sn有最值嗎?若有,是最大值還是最小值?當(dāng)n為何值時(shí)取得?

    學(xué)生眾:在上兩題的基礎(chǔ)上,迅速得出a12=0,a11>0,a13<0,從而得出(Sn)min=S11=S12.

    教師:請回顧以上解題過程,歸納等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn,何時(shí)有最值?是最大值還是最小值?

    學(xué)生眾:討論片刻,達(dá)成共識.

    學(xué)生甲:若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1>0,公差d<0,則前n項(xiàng)和Sn有最大值;若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1<0,公差d>0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值.問題的關(guān)鍵是尋找等差數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)的分界.

    說明:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本質(zhì)是一次函數(shù),求和公式本質(zhì)是必經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)(公差不為0時(shí)),這些經(jīng)驗(yàn)積累有助于學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)迅速調(diào)用其本質(zhì)模型解決問題,增強(qiáng)了問題解決的能力.

    三、通過數(shù)學(xué)思想透視本質(zhì)

    數(shù)學(xué)思想是認(rèn)知數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的又一途徑,也是課程標(biāo)準(zhǔn)中一直致力于學(xué)生思維培養(yǎng)的終極目標(biāo).培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力,要讓學(xué)生從問題中找到解決的最好思路,需要站在更高的視角來看待問題.課程制定組組長東北師大史寧中教授在一次講解課程標(biāo)準(zhǔn)中指出:“數(shù)學(xué)解題學(xué)到最后是學(xué)思想方法,有思想方法就可以認(rèn)識問題的本質(zhì),就可以比較輕松地解決問題.”中學(xué)數(shù)學(xué)有很多思想方法,但是比較重要的還是轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等少數(shù)幾個(gè).筆者認(rèn)為,想要更好地提高學(xué)生問題解決的能力,也可以從思想方法的視角去透視數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

    (1)證明:a>0;

    (2)若z=a+2b,求z的取值范圍.

    解析:(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ax2-2bx+2-b,由函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,知x1、x2是f′(x)=0的兩個(gè)根,所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)x<x1時(shí),f(x)為增函數(shù),f′(x)>0,由x-x1<0,x-x2<0,得a>0.

    說明:本題第(2)問是從根的關(guān)系入手解決代數(shù)式z=a+2b,通過簡單分析我們可以知道,其實(shí)質(zhì)是線性規(guī)劃問題,是利用圖形的方式解決代數(shù)問題.這些問題只要學(xué)生在得到類似的三組導(dǎo)數(shù)關(guān)系式時(shí)就可以比較輕松地感受到數(shù)形結(jié)合思想的存在,其本質(zhì)線性規(guī)劃的使用,這樣的問題嘗試解決有助于問題解決能力的培養(yǎng).

    總之,數(shù)學(xué)問題本質(zhì)有很多方面值得教師去挖掘和探索,只有將數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)給予呈現(xiàn),才有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解和運(yùn)用,才能真正培養(yǎng)其問題解決的能力.本文從三個(gè)方面進(jìn)行了一些論述,以筆者自身的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知做出了一些淺顯的描述,懇請讀者以筆者之磚進(jìn)行更細(xì)致的探索.

    1.武瑞雪.對中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探討[J].教學(xué)月刊,2012(12).

    2.朱永祥.再談數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2013(2).F

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