透視問題本質(zhì) 培養(yǎng)解決能力

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 王正余

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.波利亞在解題中談到：“提高學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵是讓學(xué)生能夠清晰地透視問題的本質(zhì)！問題的本質(zhì)是如何找到的？那就離不開三件事，其一是分析問題，即對問題進(jìn)行解剖，了解條件和所需結(jié)論之間的關(guān)系和鏈接，找到一個(gè)或多個(gè)突破口進(jìn)行嘗試；其二是透視本質(zhì)，即在分析問題的基礎(chǔ)上找到問題的本質(zhì)，站在更高的地方來看問題解決需要聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識和解決方法，能夠想到存儲在腦海中最基本的數(shù)學(xué)知識和基本技能；最后是轉(zhuǎn)化解決問題，即將陌生問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化劃歸，每一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題都需要轉(zhuǎn)化為熟悉的模式進(jìn)行求解.”波利亞的解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，數(shù)學(xué)問題解決的三個(gè)步驟.在三個(gè)步驟中，筆者認(rèn)為最重要的是第二個(gè)環(huán)節(jié)，即如何解剖問題，認(rèn)知問題的本質(zhì)！

華師大張奠宙教授說起過一個(gè)解題的案例，讓人忍俊不禁：一個(gè)三層飯店的電線壞了，因?yàn)殡姽ふ埣賻滋?，于是大家束手無策暫時(shí)查不出哪里出了問題，于是用電源器械一個(gè)一個(gè)的試，終于找到了問題，只不過花了半天時(shí)間.其實(shí)，若電工查只需要用歐姆表將導(dǎo)線之間連接，看線路的電阻值就可以查詢問題，區(qū)區(qū)幾分鐘就可以解決.這個(gè)案例告訴我們，電工知道反應(yīng)電路問題最本質(zhì)的原因，而門外漢自然是只能用窮舉的方式來解決問題.筆者認(rèn)為，這正是我們學(xué)生對于現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題解決中出現(xiàn)的情況類似，下文筆者談?wù)勅绾瓮敢晢栴}本質(zhì)，培養(yǎng)問題解決能力.

一、通過模式識別透視本質(zhì)

模式識別是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中最基本的運(yùn)用，高考問題的解決也是對學(xué)生進(jìn)行長時(shí)間的模擬訓(xùn)練，模式識別是操作后進(jìn)行的應(yīng)試.北師大張英伯教授就模式識別的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行過指出：“模式識別是中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中比較高效有效的模式，它把學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識將面臨的問題考向進(jìn)行了甄別和歸類，對于形式化思維比較弱的中學(xué)生而言是有好處的，也有利于應(yīng)試穩(wěn)定性.”比如，高中數(shù)學(xué)中的解析幾何一章，是模式識別觀察問題本質(zhì)較為顯著的章節(jié).筆者思考：解析幾何問題很少用來壓軸，為什么？正是因?yàn)槠鋯栴}本質(zhì)通過模式識別容易掌握，思維考查量不大，其最難的部分來源于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，因此解析幾何問題的本質(zhì)是比較容易把握的，解析幾何問題解決能力是可以通過訓(xùn)練得到提升的.

具體談?wù)劷馕鰩缀?，在解析幾何一章的教學(xué)中，一類重點(diǎn)、難點(diǎn)同時(shí)也是考試熱點(diǎn)的就是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.這類問題的解決往往有一個(gè)固定的套路，那就是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元后使用判別式、韋達(dá)定理等工具.但是這類問題傳統(tǒng)解法的一個(gè)最大特點(diǎn)是運(yùn)算量比較大，而且一般還綜合一個(gè)或更多的字母參數(shù)，所以學(xué)生對這類題特別“感冒”，然后就尋思著特殊方法和技巧，一心想走捷徑.針對這種現(xiàn)象，筆者采取的招數(shù)是讓他們“打擂臺”：女生用常規(guī)的套路演算，男生則找捷徑，讓他們嘗到“絞盡腦汁，傷透腦筋”，最終以失敗而告終的苦果.

教師：這是一道高考改編題，主要是對于直線和圓錐曲線位置關(guān)系的考查.

學(xué)生眾：（很關(guān)注，迫不及待的神情）讀題.

教師：很經(jīng)典的問法，很古老的問題：直線過定點(diǎn).

學(xué)生眾：有些失望.

教師：很明顯我們應(yīng)該先求出直線MN的方程.

學(xué)生眾：更大的失望.

學(xué)生A：（與同桌竊竊私語）這樣的問題似乎有些陳舊，不新鮮.

教師：（看到這種形勢，又聽到學(xué)生A的這句話，話鋒一轉(zhuǎn)）有的同學(xué)輕視老一套，總想走捷徑.俗話說得好，“條條大路通羅馬”.我們今天就來一個(gè)老題新解法，比比誰先到羅馬.咱們女同學(xué)吃點(diǎn)虧，踏踏實(shí)實(shí)走老路，男同學(xué)好好發(fā)揮你們的智慧，找找捷徑試試看.

學(xué)生眾：頓時(shí)氣氛又高漲起來.女同學(xué)忙碌著，男同學(xué)有畫圖的，有凝神苦思的，有緊鎖雙眉的……（時(shí)間在一分一秒地過去，沙沙聲不絕于耳）

學(xué)生C（男生）：??！還沒有解答完畢！

教師：感覺怎樣？

學(xué)生D（女生）：運(yùn)算是繁了一些，但是很有效.

教師：遇到問題多問一個(gè)為什么，試著多找?guī)讞l路是應(yīng)該的，但過分追求就等于舍本逐末.而考試又是在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解題，所以捷徑在有限的時(shí)間內(nèi)一旦難于尋找，不妨回到最基本的方式.總之，還是這句話，要重視通性通法（即解析幾何問題最一般的模式處理方式）.

說明：解析幾何問題最根本的處理方式自然是聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用題中條件，解決直線方程，解決直線過定點(diǎn).解析幾何問題最難的并不是思維方式，而是在合理的模式識別中進(jìn)行正確的代數(shù)運(yùn)算，以及保持清醒的計(jì)算頭腦、長時(shí)間訓(xùn)練的熟練程度，正是有了這樣的問題本質(zhì)的透視，才能給解析幾何問題的解決帶來更高的效率.

二、通過知識積累透視本質(zhì)

知識重在積累、重在經(jīng)驗(yàn).我們知道教材中有很多概念、性質(zhì)、定理，但是用這些來解決問題還不夠，現(xiàn)階段的應(yīng)試還需要對于知識本質(zhì)的理解和熟練.大量調(diào)查研究表明，要在中學(xué)應(yīng)試中取得較為優(yōu)秀的成績，僅理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.還需要對于很多知識進(jìn)行額外的積累.以數(shù)學(xué)為例，我們都知道等差數(shù)列最基本的通項(xiàng)公式和求和公式，但是學(xué)生對于等差數(shù)列的認(rèn)知卻僅限于這幾個(gè)基本公式，很多學(xué)生并不知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也沒將等差通項(xiàng)公式的函數(shù)本質(zhì)和求和公式的函數(shù)本質(zhì)進(jìn)行知識的積累（教材中并未對這些公式進(jìn)行函數(shù)本質(zhì)的挖掘），因此，需要不斷積累增強(qiáng)問題理解的本質(zhì)，進(jìn)行培養(yǎng)問題解決的能力.

案例2：關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，筆者設(shè)計(jì)了如下題組.學(xué)生通過解題回顧，總結(jié)規(guī)律，輕松習(xí)得知識.

題組一：等差數(shù)列的公差為d，a1=-24，從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍為________.

題組二：等差數(shù)列的公差為d，a1=-24，從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，試分析其前n項(xiàng)和Sn的單調(diào)性；有無最值？若有，是最大值還是最小值？

學(xué)生眾：在上一題的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快抓住了問題的實(shí)質(zhì)，輕松獲解.

題組三：等差數(shù)列｛an｝中，an=24-2n，試問其前n項(xiàng)和Sn有最值嗎？若有，是最大值還是最小值？當(dāng)n為何值時(shí)取得？

學(xué)生眾：在上兩題的基礎(chǔ)上，迅速得出a12=0，a11＞0，a13＜0，從而得出（Sn）min=S11=S12.

教師：請回顧以上解題過程，歸納等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，何時(shí)有最值？是最大值還是最小值？

學(xué)生眾：討論片刻，達(dá)成共識.

學(xué)生甲：若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1＞0，公差d＜0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值；若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1＜0，公差d＞0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值.問題的關(guān)鍵是尋找等差數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)的分界.

說明：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本質(zhì)是一次函數(shù)，求和公式本質(zhì)是必經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)（公差不為0時(shí)），這些經(jīng)驗(yàn)積累有助于學(xué)生在解決相關(guān)問題時(shí)迅速調(diào)用其本質(zhì)模型解決問題，增強(qiáng)了問題解決的能力.

三、通過數(shù)學(xué)思想透視本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想是認(rèn)知數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的又一途徑，也是課程標(biāo)準(zhǔn)中一直致力于學(xué)生思維培養(yǎng)的終極目標(biāo).培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力，要讓學(xué)生從問題中找到解決的最好思路，需要站在更高的視角來看待問題.課程制定組組長東北師大史寧中教授在一次講解課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“數(shù)學(xué)解題學(xué)到最后是學(xué)思想方法，有思想方法就可以認(rèn)識問題的本質(zhì)，就可以比較輕松地解決問題.”中學(xué)數(shù)學(xué)有很多思想方法，但是比較重要的還是轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等少數(shù)幾個(gè).筆者認(rèn)為，想要更好地提高學(xué)生問題解決的能力，也可以從思想方法的視角去透視數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

（1）證明：a＞0；

（2）若z=a+2b，求z的取值范圍.

解析：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax2-2bx+2-b，由函數(shù)f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，知x1、x2是f′（x）=0的兩個(gè)根，所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）.當(dāng)x＜x1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，f′（x）＞0，由x-x1＜0，x-x2＜0，得a＞0.

說明：本題第（2）問是從根的關(guān)系入手解決代數(shù)式z＝a+2b，通過簡單分析我們可以知道，其實(shí)質(zhì)是線性規(guī)劃問題，是利用圖形的方式解決代數(shù)問題.這些問題只要學(xué)生在得到類似的三組導(dǎo)數(shù)關(guān)系式時(shí)就可以比較輕松地感受到數(shù)形結(jié)合思想的存在，其本質(zhì)線性規(guī)劃的使用，這樣的問題嘗試解決有助于問題解決能力的培養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)問題本質(zhì)有很多方面值得教師去挖掘和探索，只有將數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)給予呈現(xiàn)，才有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解和運(yùn)用，才能真正培養(yǎng)其問題解決的能力.本文從三個(gè)方面進(jìn)行了一些論述，以筆者自身的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知做出了一些淺顯的描述，懇請讀者以筆者之磚進(jìn)行更細(xì)致的探索.

1.武瑞雪.對中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探討［J］.教學(xué)月刊，2012（12）.

2.朱永祥.再談數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和運(yùn)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（2）.F