潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲——談數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維訓(xùn)練

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 王 進(jìn)

我們都聽過(guò)一句名言：數(shù)學(xué)是思維的體操.其實(shí)這句名言最早是由十八世紀(jì)俄國(guó)元帥蘇沃洛夫——一位軍事家說(shuō)的，后來(lái)不斷被前蘇聯(lián)教育家引用至今.我們很納悶：為什么這句話首先是一位軍事家想到的呢？其實(shí)，在軍事作戰(zhàn)中不斷需要使用各種思維辨解、判斷，需要極強(qiáng)的邏輯分析能力，可以這么說(shuō)，軍事家都是不折不扣的數(shù)學(xué)大師.無(wú)獨(dú)有偶，我國(guó)古代軍事家孫子所著的《孫子兵法》正是對(duì)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的一種體現(xiàn)！其雖然所講的是對(duì)敵作戰(zhàn)的用兵之道，但是也可以將它活用為教師對(duì)學(xué)生課堂思維訓(xùn)練培養(yǎng)之術(shù)，從“善戰(zhàn)”與“謀略”巧妙地研究思維規(guī)律，到“知彼知己，百戰(zhàn)不殆”與“待敵者佚”正確形成思維定勢(shì)；從“深入則專，主人不克”進(jìn)一步提高思維品質(zhì)，將會(huì)出奇制勝，使學(xué)生越學(xué)越聰明，何樂(lè)而不為呢？

我們?cè)O(shè)計(jì)和組織的教學(xué)過(guò)程，不應(yīng)該僅僅是傳授知識(shí)、形成技能的教學(xué)過(guò)程，它應(yīng)該是在進(jìn)行“雙基”教學(xué)的同時(shí)，既是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的過(guò)程，又是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的過(guò)程，也是發(fā)展學(xué)生個(gè)性品質(zhì)，給以教養(yǎng)的過(guò)程.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué).那么如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中提高思維品質(zhì)、發(fā)展思維能力呢？筆者以孫子兵法之謀略結(jié)合案例給予說(shuō)明.

一、“善戰(zhàn)”與“謀略”研究思維規(guī)律，提高課堂教學(xué)質(zhì)量

孫子曰：“見勝不過(guò)眾人之所知，非善之善者也；戰(zhàn)勝而天下曰善，非善之善者也.”孫子認(rèn)為戰(zhàn)爭(zhēng)是一門復(fù)雜的綜合藝術(shù)，它需要指揮員全面掌握戰(zhàn)爭(zhēng)取勝之道.苦戰(zhàn)贏來(lái)的勝利，雖值得稱道，但也難得稱之為“善戰(zhàn)”.所以真正“善戰(zhàn)”者，必須是有較強(qiáng)的實(shí)力和充分的準(zhǔn)備，且在知己知彼的情況下大獲全勝.孫子揭示的這一現(xiàn)象，不僅是揭示戰(zhàn)爭(zhēng)的普遍規(guī)律，也是批判傳統(tǒng)教學(xué)，重視了“雙基”，重視了演繹論證能力的訓(xùn)練，這是必要的.但是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者也發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：我們一直偏重知識(shí)性的訓(xùn)練、熟練程度的訓(xùn)練，卻忽視對(duì)學(xué)生思維方向的訓(xùn)練，這也是受限于應(yīng)試的影響.筆者始終認(rèn)為：對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)與應(yīng)試不存在必然的不可兼得性，因?yàn)橛辛嗽鷮?shí)的基本功，所以會(huì)追求更深層次的問(wèn)題，必然加深學(xué)生對(duì)深層次問(wèn)題的思考，促進(jìn)了其思維的發(fā)展；反之，有了深刻思維的發(fā)展，使學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性、深刻性、反思性等都有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，這也加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和應(yīng)試的促進(jìn)作用.

因此，“謀略”即要豐富聯(lián)想，加強(qiáng)思維能力培養(yǎng)，為“善戰(zhàn)”做準(zhǔn)備.但必須提高認(rèn)識(shí)：現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)是一種思維化的教學(xué)活動(dòng)，在這樣的教學(xué)活動(dòng)中要努力提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的可塑性，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生、整合、發(fā)展、聯(lián)系的全過(guò)程.那么思維的過(guò)程是怎樣進(jìn)行的呢？筆者以解題為例，做簡(jiǎn)單剖析.

案例1：求函數(shù)y=2sin2x+sin2x的值域.

孫子曰：“夫未戰(zhàn)而廟算勝者，得算多也；未戰(zhàn)而廟算不勝者，得算少也.多算勝，少算不勝，而況于無(wú)算乎.吾以此觀之，勝負(fù)見矣.”孫子主要講的是“謀略”，其強(qiáng)調(diào)的是戰(zhàn)爭(zhēng)前的預(yù)測(cè)，強(qiáng)調(diào)對(duì)敵情的判斷，不對(duì)戰(zhàn)情進(jìn)行預(yù)測(cè)，不對(duì)戰(zhàn)情加以了解，一般不可能取得勝利.由此筆者分析上述解題的思考過(guò)程，經(jīng)過(guò)審題，我們同時(shí)從題給條件和結(jié)論中獲得有關(guān)信息——條件信息和目標(biāo)信息.在獲得信息的過(guò)程中，“聯(lián)想”（即“謀略”）已經(jīng)在起作用：數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)概念的相互轉(zhuǎn)化和翻譯；由條件信息進(jìn)一步發(fā)散眾多的結(jié)果，這里聯(lián)想又一次起作用：由有關(guān)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，推導(dǎo)、演變出更多的結(jié)果；條件信息和目標(biāo)信息聯(lián)系起來(lái)思考，初步設(shè)想解題方向，我們稱之為思維定向（即“吾以此觀之，勝負(fù)見矣”），這里更離不開豐富的聯(lián)想（即“謀略”）.可以將從孫子用兵中得到的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)用框圖表示如下：

可以這么說(shuō)，在解題過(guò)程中思維的定向并不見得一次完成，它往往是由大到小，由粗到細(xì)，逐步完成的.從上述思維過(guò)程的分析可以看出：聯(lián)想（即“謀略”）在思維活動(dòng)中占據(jù)著重要的地位.

二、“知彼知己，百戰(zhàn)不殆”與“待敵者佚”形成思維定勢(shì)，發(fā)展思維能力

人們的思維活動(dòng)離不開豐富的聯(lián)想.當(dāng)一個(gè)學(xué)生獲得信息之后，能否產(chǎn)生豐富的廣闊的聯(lián)想，一是取決于該學(xué)生大腦中儲(chǔ)存的思維定勢(shì)的質(zhì)量，二是取決于該學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是思維的深刻性和靈活性.

孫之曰：“知彼知己，百戰(zhàn)不殆；不知彼而知己，一勝一負(fù)；不知彼，不知己，每戰(zhàn)必殆”，即了解敵人，又了解自己，百戰(zhàn)都不會(huì)有任何危險(xiǎn).因此，如果在教學(xué)中，概念一帶而過(guò)，結(jié)論和盤拖出，靠反復(fù)練習(xí)建立“條件反射”，這種條件反射式形成的思維定勢(shì)，就容易起負(fù)遷移的作用，即形成不知彼而知己.相反地，在教學(xué)中如果注意知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生在積極參加思維活動(dòng)中，盡可能主動(dòng)地獲得思維的成果——概念、公式、定理等，這樣形成的思維定勢(shì)，就能較好地起正遷移作用，即知己知彼，對(duì)整個(gè)知識(shí)體系的形成過(guò)程了如指掌，運(yùn)用自如，百戰(zhàn)而不殆.

這個(gè)結(jié)果也很漂亮.只不過(guò)書本上并沒(méi)有把它作為公式.因此，不要把教學(xué)停留在摳題型、對(duì)套路，只講小巧、不要大巧的講解解題術(shù)的水平上，企圖通過(guò)強(qiáng)化解題模式，形成眾多的定勢(shì)來(lái)對(duì)付考試，會(huì)破壞人的靈感，使人呆板.當(dāng)然，數(shù)學(xué)離不開做題.加深概念的理解，領(lǐng)會(huì)公式的實(shí)質(zhì)，都要通過(guò)反復(fù)練習(xí)來(lái)進(jìn)行.但是思維的問(wèn)題是一個(gè)教師如何教，怎樣講，不能僅限于大量試題的重復(fù)訓(xùn)練.

三、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般滲透思維訓(xùn)練

上述談到怎么教，怎么講，筆者認(rèn)為，通過(guò)數(shù)學(xué)試題去滲透思維訓(xùn)練需要一種多角度，并且是慢調(diào)細(xì)語(yǔ)式的訓(xùn)練.心理學(xué)家德諾普說(shuō)過(guò)：對(duì)于思維訓(xùn)練，從心理認(rèn)知來(lái)看，是一種新、舊知識(shí)的碰撞和沖突，當(dāng)這種沖突漸漸向舊知靠攏時(shí)，思維的含量就漸漸被提升起來(lái)，但是這種過(guò)程必須是依賴受教者自身不斷的認(rèn)知基礎(chǔ)，外界強(qiáng)加的力量并不能使其真正領(lǐng)悟.因此，筆者認(rèn)為潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般的滲透是對(duì)思維訓(xùn)練比較好的方式，這需要教師提供足夠的思考空間和時(shí)間.

案例3：高一學(xué)生解一元二次方程時(shí)，教師會(huì)涉及換元法.精選出一組例題，解下列方程：

一種教法是一道道地講授如何通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，然后總結(jié)：“凡是遇到無(wú)理方程、倒數(shù)方程，可以考慮用換元法.”但筆者認(rèn)為，要培訓(xùn)思維，可以采用另一種教法即“奇道”.

師：同學(xué)們看看方程（1），這是個(gè)什么方程？

生1：一元四次方程.

師：我們學(xué)過(guò)這樣的方程的解法嗎？我們會(huì)解哪些方程？

生2：我們學(xué)過(guò)一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程組的解法.

師：那么怎么解這個(gè)四次方程？

生3：想辦法變成我們會(huì)解的方程就好了.

師：同學(xué)們看看方程（1），在構(gòu)造上有什么特點(diǎn)（將方程（1）寫成：（x2）2-2（x2）-8=0）.

生4：可以把x2看成一個(gè)未知量y，即令y=x2，方程可以變成一元二次方程y2-2y-8=0.

師：四次方程雖然沒(méi)有學(xué)，我們注意到它構(gòu)造的特殊性——雙二次結(jié)構(gòu)，于是可采用變量替換的辦法，即用換元法將它化成我們熟悉的一元二次方程來(lái)解決.利用類似的思想和方法，大家能不能解方程（2）、（3）、（4）呢？（此處不贅述）

師：這些方程的解決都是借助換元法.同學(xué)們想一想：為什么要換元？換元有什么好處？

生5：通過(guò)換元，把生疏的方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次方程，從而能夠解出這些方程.

師：換元法即通過(guò)變量替換，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化“生”為“熟”的目的.這種轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想、化歸的意識(shí)是我們處理問(wèn)題的常用數(shù)學(xué)思維.

對(duì)于思維訓(xùn)練，正如后一種教師的教法，使學(xué)生體會(huì)到為什么要用換元法，使用換元法的好處是什么.其思維最大訓(xùn)練正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最重要的思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想.

總之，本文用于無(wú)聲處聽驚雷的方式闡述了思維訓(xùn)練的幾個(gè)方式.既講了問(wèn)題解決的方向性策略，又引導(dǎo)了思維訓(xùn)練中定勢(shì)思維在解決一般性問(wèn)題中的用處，結(jié)合案例做了一些淺顯的分析，不足之處請(qǐng)讀者海涵.

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2005.

2.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（7-8）.

3.朱永祥.再談數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2008（2）.