如何從集合論觀點看待數(shù)學教學

韓桂玲 （宣化科技職業(yè)學院 075000）

集合論在數(shù)學中有獨特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學的所有領域，如各種數(shù)學理論是建立在集合論的基礎上的，（實數(shù)理論是奠定在集合論的基礎上），各種復雜的數(shù)學概念（比如自然數(shù)、實數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來，從這個意義上來講，集合論可以說是現(xiàn)代數(shù)學的基礎。

一、集合論的概念與數(shù)學教學中集合概念的關系

1874年，康托爾越過“數(shù)集”的限制，開始提出“集合”的概念。他對“集合”給出了這樣的定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬于該集合，有了集合概念，就可以定義出一系列有關的概念，集合論就產(chǎn)生了。具體定義：一般情況下，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，集合中每個對象叫做這個集合的元素。這句話，只是對集合概念的描述性說明，但集合是集合論中的原始概念，是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎。從數(shù)集、幾何中的點集，到函數(shù)的概念與性質(zhì)等，這些知識就離不開集合，更離不開集合論。也就是說，集合論為基礎數(shù)學集合提供了理論基礎，而基礎數(shù)學中的集合是集合論在一定范疇內(nèi)的細化。

集合論是現(xiàn)代高等數(shù)學的基礎，數(shù)學中每個對象本質(zhì)上都是集合。有人說：“數(shù)學能嵌套在集合論中”——其含義就是指數(shù)學的一些對象如數(shù)、函數(shù)、線、面等都可以用集合來定義。換句話說，數(shù)學的各個分支在本質(zhì)上都是研究這種或那種對象的集合。集合論把無窮集合理論運用到了其他學科上，如整系數(shù)代數(shù)多項式的全體是一個可數(shù)集。又如，幾何學——研究點、線、面的集合；數(shù)學分析——研究連續(xù)函數(shù)的集合；代數(shù)學——研究數(shù)的集合以及在此集合上定義有關運算的集合等。因此，把集合論作為高等數(shù)學的基礎是也是有道理的。

二、集合論的語言與數(shù)學的基本關系

集合論語言是一項數(shù)學語言，借助于集合論語言，教師可以將基礎數(shù)學中的一些基本關系闡述得很清楚，如借助字母符號表式集合與元素，及其邏輯關系，其中大寫字母常常用來表示集合，小寫字母表示元素。

（一）數(shù)集

常用的數(shù)集：非負整數(shù)集（自然數(shù)）、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集。在這些基本的數(shù)集中，相互之間有的是序關系，有的是等價關系，有的是集合與集合的隸屬關系，即包含與真包含關系。

（二）幾何的點集

幾何中的點集為一維點集，即數(shù)軸上的點，進入二維點集的學習即平面點集，它的元素是有序數(shù)對。由點集為基礎建立了幾何的一系列的概念系統(tǒng)，由點到線、面的概念。集合論語言用簡練易懂的文字闡述了點與線、點與面、線與面、線與線、面與面的關系。具體來說，直線集內(nèi)存在著線線平行和線線垂直的關系，平面集內(nèi)存在著面面平行和面面垂直的關系，向量集內(nèi)存在著向量的共線關系；圓集內(nèi)存在著圓與圓的相切、相交、相離、同心的關系；球集內(nèi)存在著球與球的同心關系。

（三）點集、數(shù)集、函數(shù)集之間建立的映射關系

1.數(shù)集到其自身的函數(shù)，即數(shù)值自變量的數(shù)值函數(shù)，這是中學數(shù)學研究的主要函數(shù)類型，如所有初等函數(shù)。

2.數(shù)集到點集、點集到數(shù)集的映射。如實數(shù)和數(shù)軸上的點、有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上的點、三元有序?qū)崝?shù)組與坐標空間的點、復數(shù)與復平面上的點都存在一一對應關系。

3.點集到其自身的映集，如通過幾何變換（比如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、位似等）。

4.幾何圖形集與數(shù)集之間的映射，如測算圖形的長度、面積、體積等幾何量的度量。

5.作函數(shù)圖形，即將序?qū)谧鴺似矫妫臻g）上表示出來，完成了序?qū)胶瘮?shù)曲線的點集上的映射。

此外，還有函數(shù)集到其自身的映射，如求導數(shù)，求不定積分；函數(shù)集到數(shù)集的映射，如求定積分。

三、集合論的思想方法與數(shù)學教學

集合論的思想方法貫穿于整個數(shù)學教學中，無論是講述概念還是解決某些問題，集合論的思想使數(shù)學概念的定義與問題的解決變得簡單和直觀。

其一，基礎數(shù)學中線段的垂直平分線，到兩個定點（線段的兩個端點的）的距離相等的點的集合；圓可以看作是到定點（圓心）的距離等于定長（圓的半徑）的點的集合；角的平分線可看作到角的兩邊的距離相等的點的集合。雖然在基礎數(shù)學初期階段還沒有給出集合的定義，但是學生已經(jīng)接觸到集合思想的運用，集合論思想解釋了這些幾何概念的本質(zhì)。

其二，解決函數(shù)定義域問題。定義域的解是由解析式有意義的幾個條件決定的，每一個條件又是一定元素的集合，它們的交集元素就是定義域的解，函數(shù)定義域的求解一般會用求交集的思想來求解。另外，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也是運用了這個思想。

其三，概率論中的概念及解決方法。集合論觀點也可以解釋概率論中的概念與事件之間的關系，其實質(zhì)是利用集合論的基本數(shù)學思想，來分析基本事件，并用集合論語言描述事件之間的關系，用集合論方法分析事件之間的運算。而有些需要分類討論的問題，解題過程往往過于繁雜，運用補集的思想（即“正難則反”思想）去解答，常常可以簡化討論。

其四，在微積分學中，通過集合論中與數(shù)形結(jié)合研究極限、函數(shù)的概念與性質(zhì)，使用直觀形象的函數(shù)圖像來幫助學生加深對概念的理解，使他們明白概念蘊含的真正意義，并能容易區(qū)分出相似概念之間的細微差別，此外，集合論在拓撲學、圖論等學科上也有廣泛應用。

集合論已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學中的重要基礎，它與數(shù)學教材中的很多的基礎概念，基礎思想與方法有著重要的聯(lián)系，集合論所思想，使得數(shù)學問題變得簡單直觀易懂，很自然地延伸出分類思想和數(shù)形結(jié)合思想，使得代數(shù)學與幾何學有機地結(jié)合，使概率學等知識變得系統(tǒng)易懂。

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