隨機(jī)利率模型下的變額年金定價(jià)研究

李鳳紅

(天津大學(xué)理學(xué)院，天津300072)

2010年，中國保監(jiān)會(huì)發(fā)布了變額年金保險(xiǎn)試點(diǎn)和管理暫行辦法的通知，授權(quán)具備相關(guān)條件的壽險(xiǎn)公司等進(jìn)行變額年金保險(xiǎn)試點(diǎn)，這一舉措意味著在國外發(fā)展很好的變額年金產(chǎn)品將在國內(nèi)正式推出.目前，國內(nèi)的變額年金保險(xiǎn)市場剛剛打開，授權(quán)的保險(xiǎn)公司都在積極討論該險(xiǎn)種的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)控制方法，因此，變額年金定價(jià)研究有積極的理論與現(xiàn)實(shí)意義.

一般情況下變額年金保險(xiǎn)分為積累期和付款期.在積累期，被保險(xiǎn)人一次性付款或者分期付款到投資賬戶中，可用于投資于股票、基金、債券、貨幣工具等其他金融產(chǎn)品，具體投資資產(chǎn)可由被保險(xiǎn)人來選擇.在付款期(通常為退休后)，承保人承諾在未來支付一定的現(xiàn)金流或一筆金額，具體的金額數(shù)是根據(jù)合同的規(guī)定和投資賬戶的實(shí)際表現(xiàn)來決定的.當(dāng)市場上漲時(shí)，被保險(xiǎn)人可以共享市場收益，以此應(yīng)對(duì)通貨膨脹的影響;當(dāng)市場下跌時(shí)，被保險(xiǎn)人可以收到最低保證利益，而投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)帶來的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給保險(xiǎn)公司.由于變額年金保險(xiǎn)具有遞延納稅和最低利益保證的特點(diǎn)，因此它是一種理想的養(yǎng)老投資工具，會(huì)吸引很多投資者.

變額年金保險(xiǎn)在國內(nèi)和國外的研究主要集中在定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)的識(shí)別和對(duì)沖.在定價(jià)方面，Hardy[1]建立了Black－Scholes框架，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下研究了變額年金的定價(jià);Milevsky和 Sailbury[2]研究了具有最低保證利益變額年金(GMWB)的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn);Bauer等[3]建立的定價(jià)框架適用于所有類型變額年金保險(xiǎn);Holz[4]研究了具有終身取款利益保證(GLWB)的變額年金的定價(jià)問題.在風(fēng)險(xiǎn)管理和對(duì)沖方面，Wang[5]研究了身故利益保證(GMDB)的變額年金產(chǎn)品的對(duì)沖方法;Nteukam T等[6]利用最優(yōu)控制的相關(guān)理論研究變額年金產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)管理和對(duì)沖.

本文將在Vasicek利率模型下，利用鞅方法研究當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，具有終身取款利益保證(GLWB)的變額年金的價(jià)格，給出相應(yīng)的變額年金價(jià)格公式，并對(duì)影響變額年金價(jià)格的因素進(jìn)行敏感性分析，為變額年金保險(xiǎn)實(shí)際運(yùn)作提供理論支持和決策依據(jù).

1 隨機(jī)利率定價(jià)模型

1.1 終身型GMWB－GLWB

GMWB即GuaranteedMinimumWithdrawal Benefits，在付款期，被保險(xiǎn)人可以從投資賬戶中以分期的形式取出一定的金額，每期不能超過規(guī)定的限額，而不論投資賬戶表現(xiàn)如何，即便賬戶的價(jià)值已經(jīng)下降至零.

對(duì)于終身型的 GMWB，即 GLWB(Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits)，保證被保險(xiǎn)人可以每年取款，直至去世，但每次取款的數(shù)額是有限制的，而總的取款額是無限制的.

1.2 金融市場模型

假設(shè)存在一個(gè)概率空間(Ω，F(xiàn)，σ)，其中 σ －域流 F={Ft}t∈[0，T]，其中 σ 為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度.在這個(gè)測度下，支付的現(xiàn)金流可被表示為貼現(xiàn)期望值.風(fēng)險(xiǎn)中性測度存在，市場是無套利市場.

變額年金保險(xiǎn)的標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合價(jià)格為St.在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下σ，資產(chǎn)價(jià)格St和利率rt為:

其中:B1，t，B2，t是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn) σ-布朗運(yùn)動(dòng)，ρ是隨機(jī)過程St和rt的瞬時(shí)相關(guān)系數(shù)，k，θ是Vasicek模型中的常變量系數(shù)，σs，σr分別為 St，rt的波動(dòng)率且均為常數(shù).

1.3 保險(xiǎn)市場模型

x0表示保險(xiǎn)合同生效時(shí)被保險(xiǎn)人的年齡;

px0表示x0歲的人在x0+t歲時(shí)仍生存的概率;

qx0表示x0歲的人在未來t年中死亡的概率;

qx0+t表示x0+t歲的人在下一年死亡的概率;

ω表示生命表上的極限年齡，即存活的最大年齡.

那么年齡為x0的被保險(xiǎn)人在(t，t+1]死亡的概率為tpx0qx0+t.保險(xiǎn)區(qū)間為T=ω－x0.

假定具有保證取款利益的變額年金不存在退保情況.記P為一次性所付保費(fèi)(躉繳保費(fèi))，即投保人的初始投資金額.設(shè)t時(shí)刻的賬戶價(jià)值為Wt，顯然有W0=P.根據(jù)保險(xiǎn)合同的具體規(guī)定和嵌入的最低保證利益，保單持有人可以從變額年金賬戶中取現(xiàn)，t時(shí)刻的取款金額為Gt，α為公平保證費(fèi)用，即付給保險(xiǎn)公司的分紅.

在測度σ下，個(gè)人賬戶價(jià)值過程為:

式(3)成立需滿足Wt＞0.

由文獻(xiàn)[7]知，Wt可表示為:

其中

1.4 定價(jià)模型

假設(shè)金融市場和保險(xiǎn)市場是相互獨(dú)立的，隨機(jī)變量St和被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間τ是相互獨(dú)立的.我們考慮一種簡單的形式，即每次取款金額是固定的，設(shè)為G，其中G=gW0，g表示最低保證利益的取款率.

根據(jù)具有GLWB的變額年金的結(jié)構(gòu)特性，可以將它分解為終身年金和關(guān)于具有路徑依賴的個(gè)人賬戶價(jià)值的看跌期權(quán).

設(shè)V0表示為GLWB未來給付的現(xiàn)值，即t=0時(shí)刻的貼現(xiàn)價(jià)值;LB0表示終身變額年金在t=0時(shí)刻的貼現(xiàn)價(jià)值;DB0表示死亡給付在0時(shí)刻的貼現(xiàn)值.那么有:

設(shè)DBτ表示被保險(xiǎn)人在t=τ時(shí)刻死亡的死亡給付.

由于死亡時(shí)間τ和是相互獨(dú)立的，死亡給付在t=0時(shí)刻的貼現(xiàn)值DB0可表示為:

當(dāng)τ=T時(shí)，由式(5)得

其中

那么t=T時(shí)刻的死亡給付在0時(shí)刻時(shí)的無套利價(jià)值為:

由條件期望(9)，有

其中fx0(t)表示年齡為x0的被保險(xiǎn)人壽命的密度函數(shù).

式(13)的離散形式為:

而終身年金在t=0時(shí)刻的貼現(xiàn)價(jià)值LB0為:

因此具有固定取款利益的GLWB變額年金在t=0時(shí)刻的價(jià)值為:

式(16)表明GLWB的變額年金產(chǎn)品價(jià)值V0由兩部分組成:第一部分是保單持有人在死亡之前的總?cè)】铑~，稱為生存利益;第二部分是保單持有人死亡后賬戶的剩余價(jià)值(歸其受益人所有)，稱為死亡利益.生存利益、死亡利益以及GLWB的價(jià)值均是未來給付在初始時(shí)刻的貼現(xiàn)價(jià)值.

2 敏感性分析和數(shù)值結(jié)果

對(duì)影響GLWB價(jià)值的各因素進(jìn)行敏感性分析，根據(jù)式(16)，這個(gè)合同的價(jià)值分成兩部分，生存利益和死亡利益，即是對(duì)影響生存利益，死亡利益的各因素進(jìn)行敏感性分析.例如保單持有人的簽訂合同時(shí)的初始年齡x0，取款率g以及保公平保證費(fèi)用α的影響對(duì)GLWB的影響.

本文提供了一個(gè)基于中國市場的GLWB的估值，因此采用中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2000－2003)中男性經(jīng)驗(yàn)生命表，其中最大的年齡為ω=105.我們計(jì)算了初始年齡x0從50～80的保單持有人的GLWB的價(jià)值，由于中國現(xiàn)在還沒有引進(jìn)這個(gè)產(chǎn)品，因此采用一般的參數(shù)設(shè)置，在數(shù)值分析中采用的參數(shù)值為:θ=0.05，k=0.0349，r0=0.5%，σr=0.02，σs=0.2，g=4%，α =0.007.

2.1 關(guān)于被保險(xiǎn)人初始投保年齡的敏感性分析

給定一定的取款率 g(g=4%)，可以由式(16)得到生存利益、死亡利益受被保險(xiǎn)人初始投保年齡x0的影響.隨著初始投保年齡x0的增大，生存利益的價(jià)值減少，但死亡利益的價(jià)值增加，這是因?yàn)榭赡苋】畹拇螖?shù)減少以及較短時(shí)間內(nèi)死亡利益的貼現(xiàn).具體如圖1，在一定的假設(shè)條件下，被保險(xiǎn)人初始投保年齡x0的增大，GLWB的貼現(xiàn)價(jià)值V0隨著年齡的增大x0而減小.

圖1 x0對(duì)GLWB價(jià)值的影響

年輕的保單持有人比較看重的是生存利益.我們注意到隨著取款總額的增加，而且死亡利益是較長時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)，死亡時(shí)的賬戶價(jià)值相對(duì)來說減少.而隨著被保險(xiǎn)人初始投保年齡x0的增大，投保人更看重的是死亡利益.

同時(shí)，根據(jù)式(16)，當(dāng)我們固定GLWB的價(jià)值(為100)，以及其他的參數(shù)時(shí)，隨著初始投保年齡x0的增大，取款率g也應(yīng)增大.根據(jù)這個(gè)原因，可知變額年金的提供者應(yīng)該提供更高的取款率g給初始投保年齡較大者.

2.2 關(guān)于保險(xiǎn)費(fèi)用比率α的敏感性分析

由公式(16)可知，α只對(duì)死亡利益產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響GLWB的價(jià)值，而不對(duì)生存利益產(chǎn)生影響.圖2中，對(duì)應(yīng)相應(yīng)的初始投保年齡x0，隨著α的遞增，死亡利益的價(jià)值下降，從而GLWB的價(jià)值下降.這同我們的直觀理解一致，保險(xiǎn)人拿走的費(fèi)用越多，保單的價(jià)值自然也就越低.

2.3 關(guān)于最低保證利益取款率的敏感性分析

圖2 對(duì)GLWB的價(jià)值的影響

隨著最低保證利益取款率g的增大，有兩方面的影響:對(duì)于每一個(gè)初始投保年齡x0，由于總?cè)】铑~增大，生存利益的價(jià)值增大(圖3);由于從賬戶中扣除的金額增加，死亡利益的價(jià)值減小(圖4).

圖3 對(duì)生存利益的影響

圖4 對(duì)死亡利益的影響

從圖5中可知，g與GLWB價(jià)值之間的關(guān)系.從g與生存利益之間的關(guān)系可知，g越大，產(chǎn)品越具有吸引力.對(duì)于相對(duì)較年輕的投保人來說，由于生存利益對(duì)其有著較大的影響，g的大小對(duì)其有著顯著地影響力，然而對(duì)投保年齡較大的投保人來說，g的影響相對(duì)平緩.

由上可知，當(dāng)最低保證利益取款率g增大時(shí)，最低利益保證的成本增加，GLWB變額年金保單的現(xiàn)值就越高，相應(yīng)給保險(xiǎn)公司的分紅a就越高.從變額年金的提供者的角度來看，應(yīng)平衡兩者之間的關(guān)系，提供合適的g和α，使得合同更具有吸引力.

圖5 g對(duì)GLWB的價(jià)值的影響

3 結(jié)語

在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且在隨機(jī)利率的情況下，利用鞅方法，討論了定價(jià)具有終身取款利益保證(GLWB)的變額年金，并給出相應(yīng)變額年金的價(jià)格公式.本文充分分析變額年金產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)特性，將GLWB看成是生存利益和死亡利益的和，并對(duì)影響其價(jià)格變化的因素進(jìn)行敏感性分析，為后續(xù)具體定價(jià)問題提供理論基礎(chǔ)和指導(dǎo).

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