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    混沌時間序列在股票價格長期預(yù)測中的應(yīng)用

    2015-08-05 06:46:44顧秋宇
    關(guān)鍵詞:相空間維數(shù)重構(gòu)

    顧秋宇,朱 捷,徐 晶

    (黑龍江科技大學(xué),哈爾濱150000)

    混沌時間序列是一種從無序和復(fù)雜的環(huán)境中產(chǎn)生出有序和規(guī)律的系統(tǒng),該序列的研究構(gòu)成混沌理論的重要組成部分.在股票市場上,股票價格時間序列具有多種不確定性和非線性,具備混沌特性.利用混沌時間序列對股票價格進(jìn)行預(yù)測已成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn).

    數(shù)學(xué)家Vladimir N·Vapnik等通過30余年的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論研究,提出來的支持向量機(jī)(support vector machine,簡稱SVM)算法已得到國際數(shù)據(jù)挖掘?qū)W術(shù)界的重視,并在語音識別、文字識別、藥物設(shè)計、組合化學(xué)、時間序列預(yù)測等研究領(lǐng)域得到成功應(yīng)用,該新方法從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論出發(fā),論證和實(shí)現(xiàn)了在小樣本情況下能最大限度地提高預(yù)報可靠性的方法,其研究成果令人鼓舞.張學(xué)工、楊杰等率先將有關(guān)研究成果引入國內(nèi)計算機(jī)學(xué)界,并開展了SVM算法及其應(yīng)用研究,但混沌序列的股票市場領(lǐng)域內(nèi)尚未見SVM的應(yīng)用報道[1-3].

    由于混沌時間序列對初值敏感,預(yù)測誤差將會迅速放大,如果直接輸入SVM算法中,會降低算法的預(yù)測效果.本文利用混沌動力系統(tǒng)的相空間延遲坐標(biāo)重構(gòu)理論,求出嵌入維數(shù)和延遲時間,將SVM算法的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),以減少累積誤差,建立混沌時間序列的支持向量機(jī)預(yù)測模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,對股票價格的預(yù)測,改進(jìn)的支持向量機(jī)模型比RBF模型具有更好的預(yù)測效果.

    1 混沌時間序列空間重構(gòu)

    一個混沌時間序列的行為由許多有序行為組合而成,所以混沌時間序列預(yù)測的基礎(chǔ)是狀態(tài)空間的重構(gòu)理論,通過相空間重構(gòu),可以揭示混沌時間序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

    混沌時間序列的數(shù)值是通過系統(tǒng)中其他變量相互作用得到的,利用其確定的延遲時間作為系統(tǒng)新的不同坐標(biāo)上的數(shù)值,得到一個多維狀態(tài)空間,即重構(gòu)一個與原系統(tǒng)等價的相空間.這個維數(shù)通常被稱為空間的嵌入維數(shù)m,確定的時間延時被稱為空間的延遲時間τ.

    1.1 延遲時間τ的選取方法

    延遲時間是一個重要的相空間重構(gòu)參數(shù).最佳延遲時間τ不能選的太大也不能太小,當(dāng)τ選擇的太小時,延遲矢量各坐標(biāo)值之間有很強(qiáng)的相關(guān)性,信息不易顯露,產(chǎn)生冗余誤差;而當(dāng)τ選擇的太大時,重構(gòu)矢量各坐標(biāo)值之間的關(guān)系幾乎變成隨機(jī)的,破壞了原系統(tǒng)各變量之間的內(nèi)在關(guān)系,將使得重構(gòu)矢量包含的原動力系統(tǒng)信號失真.因此應(yīng)該選取合適的τ,使重構(gòu)矢量保持原動力系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系.

    延遲時間τ與嵌入維數(shù)m的選取互不相關(guān),即τ與m的選取是獨(dú)立進(jìn)行的.方法主要有:自相關(guān)法、復(fù)自相關(guān)法、去偏自相關(guān)法、互信息法和AD法,本文采用了互信息法進(jìn)行選取.

    1.2 嵌入維數(shù)m的選取方法

    Cao方法是1992年Cao在虛假鄰域算法的基礎(chǔ)上提出的一種直觀、簡潔的判定時間序列數(shù)據(jù)具有非線性和混沌特性的方法[4-6].

    對時間序列 x(t1),x(t2),…x(ti),…,x(tn),重構(gòu)m維和m+1維相空間,計算:

    當(dāng)m>m0時,E1(m)的值停止變化,得到最小的嵌入維數(shù)m0+1.

    1.3 Lyapunov 指數(shù)

    混沌系統(tǒng)的基本特征是系統(tǒng)對初值的極端敏感性,兩個幾乎相同的初始軌跡隨時間產(chǎn)生的分離指數(shù)、Lyapunov指數(shù)的定量描述這一現(xiàn)象.Lyapunov指數(shù)的定義是:取映射F所代表系統(tǒng)在各次迭代點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)絕對值的對數(shù)平均值相空間中的每一維都有其各自的Lyapunov指數(shù)是指相空間中鄰近軌道發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率.要判斷系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象,其中一種方法可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零判斷:系統(tǒng)中存在一個正的Lyapunov指數(shù),就意味著在這個系統(tǒng)相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別會隨著時間的演化,增加發(fā)展指數(shù)率,達(dá)到不可預(yù)測,這就是混沌現(xiàn)象.

    計算Lyapunov的方法有很多種,通常,在實(shí)際運(yùn)用識別中,只計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)便可,主要的方法有:定義法、Wolf法,Jacobian法,小數(shù)據(jù)量法等等.

    本文通過Wolf法計算Lyapunov指數(shù).易知,當(dāng)最大λ>0時,系統(tǒng)存在混沌特性.

    2 改進(jìn)的最小支持向量機(jī)算法

    分析長期累積誤差,找到減小誤差的條件.在預(yù)測過程中應(yīng)用最小二乘支持向量機(jī),為減小累計誤差對其中的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),使其改進(jìn)核函數(shù)滿足減小誤差的條件.用改進(jìn)的模型進(jìn)行預(yù)測.

    2.1 長期預(yù)測的累積誤差分析

    混沌時間序列是具有確定結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)系統(tǒng),因?yàn)榛煦鐣r間序列對初值敏感,預(yù)測誤差將會迅速放大,所以需要對長期累積誤差進(jìn)行分析,找到減小誤差的條件.因此在實(shí)際應(yīng)用中,必須考慮折衷的方案—在不改變優(yōu)化準(zhǔn)則的情況下,盡量降低誤差累積的速度.長期預(yù)測的誤差由模型的系數(shù)、基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)和一步預(yù)測誤差構(gòu)成.從誤差累積的公式看,其加權(quán)系數(shù)由訓(xùn)練過程決定,只有基函數(shù)可以人為選擇.基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是影響誤差累積速度的另一個重要因素.因此,用導(dǎo)數(shù)較小的函數(shù)作為基函數(shù),誤差發(fā)散的速度將低于導(dǎo)數(shù)較大的函數(shù),這樣應(yīng)用改進(jìn)的基函數(shù)在預(yù)測時就能夠延長預(yù)測時間.因此,改進(jìn)的基函數(shù)應(yīng)該滿足以下兩個條件[7-8]:

    1)在定義域內(nèi)具有較小的導(dǎo)函數(shù),即|f'(x)|<1;

    2)具有緊支撐結(jié)構(gòu),即在定義域外有快速的衰減.

    2.2 改進(jìn)最小二乘支持向量機(jī)模型

    為了提高支持向量機(jī)的計算速度,根據(jù)最小二乘法的這些優(yōu)點(diǎn),Suykens等人提出了最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM),它是SVM采用二次損失函數(shù)的一種形式.最小二乘支持向量機(jī)通過非線性映射到高維特征空間中的數(shù)據(jù)擬合成超平面,同時進(jìn)行分類,運(yùn)用最小二乘法求出最優(yōu)解,提煉出數(shù)據(jù)包含的信息,它簡化了計算量,加快了計算速度.

    其他思路與支持向量機(jī)相同,通過使用特征映射將線性不可分的樣本集映射到高維特征空間中,使它們在高維特征空間是線性可分的.但是在數(shù)值計算上,這種思路也存在著一定的問題,這是因?yàn)樘卣骺臻g的維數(shù)一般很高,甚至是無窮大,在計算的過程中不容易實(shí)現(xiàn).所以這里SVM將樣本空間的內(nèi)積替換成了核函數(shù),甚至不需要知道映射的形式,只需要知道核函數(shù)的形式和基本用法.也就是說,運(yùn)算實(shí)際上是在樣本空間進(jìn)行的,這就是核技巧的思想.選擇滿足Mercer條件的不同內(nèi)積核函數(shù),就構(gòu)造了不同的SVM,這樣也就形成了不同的算法.利用SVM根據(jù)構(gòu)建的混沌時間序列輸入向量和輸出向量進(jìn)行訓(xùn)練,獲取混沌時間序列SVM模型的參數(shù).預(yù)測模型的參數(shù)所蘊(yùn)藏的關(guān)系就是混沌時間序列的各個向量過去的和將來的關(guān)系.至此基于SVM的預(yù)測模型已經(jīng)建立.這樣就可以利用該模型預(yù)測將來的混沌時間序列的輸出[9-10].

    基于RBF核函數(shù)預(yù)測相對精確,為了減小誤差,在原來核函數(shù)的基礎(chǔ)上滿足以上減小誤差的兩個條件及Mercer條件,我們改進(jìn)核函數(shù)模型為:

    3 股票價格仿真預(yù)測

    3.1 支持向量機(jī)混沌時間序列預(yù)測模型

    對混沌時間序列重構(gòu)相空間后,得到支持向量機(jī)的一步預(yù)測模型為:

    其中 xi1=(xt,…,x(t-(m -1)τ)).

    對于相空間的第t+1點(diǎn)預(yù)測xit+1=(~xi+1,…x(t-(m -2)τ)).第t+2點(diǎn)預(yù)測為:

    同理我們可以得到第t+p點(diǎn)預(yù)測為:

    3.2 仿真預(yù)測

    本文根據(jù)2013.11.6 ~2013.12.17 滬市寶鋼股份收盤價格得到,最大Lyapunov指數(shù)為0.032 5,最大Lyapunov指數(shù)大于0,可以斷定該股票收盤價是一個混沌系統(tǒng).依此數(shù)據(jù)根據(jù)圖1流程圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

    圖1 流程圖

    由互信息法得到圖2,第一次達(dá)到最小值作為相空間重構(gòu)的時間延遲τ,即τ=1.由圖3 Cao方法計算混沌時間的嵌入維數(shù)可以看出,m=3時值停止變化,得到最小的嵌入維數(shù),即m=4.

    通過Matlab軟件對其仿真,前30個數(shù)據(jù)用改進(jìn)的最小二乘支持向量機(jī)模型預(yù)測后30個數(shù)據(jù),將一步預(yù)測值補(bǔ)充進(jìn)時間序列里,去除原始數(shù)據(jù)中的第1組數(shù)據(jù)構(gòu)成新的時間序列,用一步預(yù)測下一組30個數(shù)據(jù).

    圖2 互信息法確定延遲時間

    圖3 Cao方法確定嵌入維數(shù)(m)

    股票收盤價格在支持向量機(jī)仿真實(shí)例中,為衡量預(yù)測模型的精確,采用相對誤差,評價模型的每一個時間序列的預(yù)測效果.

    從表1中更清晰看出新核函數(shù)的SVM模型預(yù)測方法預(yù)測的數(shù)據(jù)相對誤差小一些,從第28個數(shù)據(jù)之后新模型預(yù)測更加精確,說明混沌時間序列的股票數(shù)據(jù)在這種復(fù)雜非線性建模中更具有獨(dú)特的優(yōu)越性.最后對比徑向基核函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)模型的預(yù)測效果,討論模型的MSE.其徑向基函數(shù)(RBF)預(yù)測模型的MSE等于24.090 2,新核函數(shù)的預(yù)測模型的MSE等于21.720 33,可以看出新模型的預(yù)測效果更好.

    表1 徑向基函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)預(yù)測的對比的相對誤差分布圖

    4 結(jié)語

    本文的核心內(nèi)容是結(jié)合混沌時間序列的初始敏感性理論,對支持向量機(jī)的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),減小長期預(yù)測中的累積誤差,建立改進(jìn)的預(yù)測模型.并利用股票價格的數(shù)據(jù)對建立的模型進(jìn)行訓(xùn)練,SVM模型所蘊(yùn)涵的函數(shù)映射關(guān)系就是混沌時間序列中向量的內(nèi)在關(guān)系,應(yīng)用模型預(yù)測未來的股票價格.結(jié)果表明:改進(jìn)的模型更精確,并且在股票價格的長期預(yù)測研究中具有很強(qiáng)的實(shí)用價值.

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