論三角函數(shù)圖象的變換

楊明

摘要：通過三角函數(shù)的圖象變化過程，進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。討論的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容是對(duì)周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對(duì)圖象平移量的影響。問題的實(shí)質(zhì)是不管哪種順序的變換，都是對(duì)一個(gè)字母x而言的變換。對(duì)這一概念的理解將直接影響到學(xué)生的解題思路也成為突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。本論文力圖充分挖掘?qū)W生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)思路在哪里會(huì)受阻，幫他們找到問題的實(shí)質(zhì)。用典型的例子舉一反三的去論述，進(jìn)而使學(xué)生遇到同類題時(shí)能夠有清晰的解題思路提高答題的正確率。因此要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生通過主動(dòng)參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得情感、能力、知識(shí)的全面發(fā)展。

關(guān)鍵字：三角函數(shù)；圖象變換；整體思想；五點(diǎn)作圖；

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1 三角函數(shù)圖像的變換的思想理論

新的課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出 “數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，構(gòu)成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì)?！逼浜x就是：我們不僅要重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更要注重其思維價(jià)值和人文價(jià)值。

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它既是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的基礎(chǔ)。本論文是在學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，兩角和與差的三角函數(shù)以及正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，進(jìn)一步研究函數(shù) （以下討論中 ）的簡圖的畫法，由此揭示這類函數(shù)圖象與正弦曲線的關(guān)系，并通過圖象的變化過程，進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個(gè)延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)直觀反映。討論的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容是對(duì)周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對(duì)圖象平移量的影響。問題的實(shí)質(zhì)是不管哪種順序的變換，都是對(duì)一個(gè)字母x而言的變換。對(duì)這一概念的理解將直接影響到學(xué)生的解題思路也成為突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。本論文力圖充分挖掘?qū)W生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)思路在哪里會(huì)受阻，幫他們找到問題的實(shí)質(zhì)。用典型的例子舉一反三的去論述，進(jìn)而使學(xué)生遇到同類題時(shí)能夠有清晰的解題思路提高答題的正確率。因此要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生通過主動(dòng)參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得情感、能力、知識(shí)的全面發(fā)展。

2 通過具體的例題討論三角函數(shù)圖像變換的實(shí)質(zhì)問題

先討論重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容：對(duì)周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后對(duì)圖象平移量的影響。為了能夠讓學(xué)生更好地理解，我們可以通過“五點(diǎn)作圖法”正確找出函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律，使學(xué)生掌握能用五點(diǎn)作圖法和圖象變換法畫出函數(shù) 的簡圖，掌握“五點(diǎn)作圖法”的精髓，這樣可以讓他們既復(fù)習(xí)了舊知，又為準(zhǔn)確使用本將要內(nèi)容用提供必要的保障。

下面從以下兩個(gè)方面討論由函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)到由簡單到復(fù)雜，特殊到一般的化歸思想和整體思想在解題中的應(yīng)用；并通過對(duì)周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后將影響圖象變換這一難點(diǎn)的突破，讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問題的主要矛盾來解決問題。

2.1 通過具體例子來討論先周期變換再相位變換圖象變換規(guī)律，即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律

如何由 到 ？我們可以利用之前學(xué)習(xí)的五點(diǎn)作圖法畫函數(shù) 的圖象，列表中最關(guān)鍵的步驟是將 看作一個(gè)整體，令其分別為0， ， ， ， 。列表和函數(shù)圖象如下：

如何由函數(shù) 的圖象通過變換得到函數(shù) 的圖像，通過觀察圖形我們可以看到由函數(shù) 到函數(shù) 縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來的 。得到一般規(guī)律由函數(shù) 到 縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或縮短為原來的 倍。

如何由函數(shù) 的圖象通過變換得到函數(shù) 的圖象？在碰到這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生很感興趣，因此首先會(huì)猜想“左移 個(gè)單位長度”，為了驗(yàn)證自己的想法，通過列表和“五點(diǎn)作圖法”畫出 的圖象。列表和函數(shù)圖象如下：

通過比較，最后會(huì)發(fā)現(xiàn)由函數(shù) 的圖象通過“左移 個(gè)單位長度”變換得到函數(shù) 的圖象。進(jìn)而得出由 沿 軸平移 的單位到 ，左右平移的規(guī)律是“左正右負(fù)”（或“左加右減”）。

2.2 通過以上例題來討論先相位變換再周期變換圖象變換規(guī)律：即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律。同上方法得到由函數(shù) 的圖像到 的圖像“左移 個(gè)單位長度”，由 的圖像再到 的圖像“縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來的 ”。

歸納起來，先周期變換再平移變換即由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律是先把函數(shù) 的圖象橫向收縮為原來的 ， 變成了 ，得到 的圖象；再把所得圖象向左平移 個(gè)單位長度， 變成了 ，得到 的圖象。先平移變換再周期變換由函數(shù) 到 再到 的圖象變換規(guī)律是先把函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長度， 變成了 ，得到 的圖象；再把所得圖象橫向收縮為原來的 ， 變成了 ，得到 的圖象。

2.3 比較得出三角函數(shù)圖像變換問題的實(shí)質(zhì)，出現(xiàn)了以下新的問題，問題1，為什么由 到 的圖象變換平移量不是 而是 ？解決這一難題可以用兩種方法。一種是全局的抽象的，突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是，要著眼x的變化，把 變形為 ，是把x變成了 ，所以平移量是 ；另一種是通過具體的點(diǎn)的平移進(jìn)而得出整個(gè)圖像的平移， 得 ，函數(shù) 的圖像一定過點(diǎn)（0，0）。再令 得 ，所以函數(shù) 的圖像一定過點(diǎn) 。由點(diǎn)（0，0）到 縱坐標(biāo)沒變，橫坐標(biāo)向左平移了 個(gè)單位。所以由 向左平移 個(gè)單位到 。由特殊到一般，這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是是要著眼x的變化，把 變形為 ，是把x變成了 ，所以平移量是 ，掌握問題的實(shí)質(zhì)可以作為一種解題的方法。而另一種解題方法是是通過具體的點(diǎn)的平移進(jìn)而得出整個(gè)圖像的平移，令 得 ，函數(shù) 的圖像一定過點(diǎn)（0，0）。再令 得 ，所以函數(shù) 的圖像一定過點(diǎn) 。由點(diǎn)（0，0）到 縱坐標(biāo)沒變，橫坐標(biāo)平移了 個(gè)單位。所以 到 的圖象變換平移量不是 而是 。問題2，為什么第一種變換是平移了 而第二種變換是平移了 ，都是由 變換到 ，變換順序不一樣，平移量不一樣最終為什么會(huì)得到同一函數(shù)呢？第二種變換最終的平移量是多少呢？因?yàn)橛?到 ，橫坐標(biāo)都縮短為原來的 ，所以 上的點(diǎn) 到 對(duì)應(yīng)變成 ， 到 平移量是 。兩種變換中間的過程不同但是最終得到的卻結(jié)果相同。問題的實(shí)質(zhì)相同都是著眼于 的變化。由特殊到一般從以上的的分析可以看出要分化此難點(diǎn)，可分類探求函數(shù)：① 到 ，② 到 的圖象變換規(guī)律。學(xué)生最難理解和最易出錯(cuò)的就是理解① 到 的圖象變換規(guī)律，因此從特例出發(fā)，更具有直觀性，便于學(xué)生操作，從而達(dá)到分化難點(diǎn)、突出重點(diǎn)的目的。endprint

2.4 考察此知識(shí)點(diǎn)的題型和解題方法，討論了由函數(shù) 到 的圖象變換規(guī)律后，可以歸納出來考察這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有比較典型的兩種題型。一類是已知三角函數(shù) 和 ，求 經(jīng)過怎樣的平移變換得到 ；另一類是已知三角函數(shù) ， 經(jīng)過平移后得到函數(shù) ，求 的函數(shù)表達(dá)式。下面通過具體的例子來討論這類題型的解題方法。例1： ， ， 經(jīng)過怎樣的平移得到 ？解法一（本質(zhì)的）： ， 所以 向右平移 得到 。解法二（通過具體的點(diǎn)的平移）：令 解得 ，所以 一定過 ，令 解得 ，則 一定過 ，所以由 向右平移 到 ，即由 向右平移 得到 。當(dāng)然還有其他方法，比如圖像法等，這里例舉解題兩種最常用最快的解題方法。例2：已知 ， 向左平移 個(gè)單位后得到函數(shù) ，求 的表達(dá)式。錯(cuò)解： 向左平移 個(gè)單位得 ，所以 。錯(cuò)誤原因是沒有找到問題的實(shí)質(zhì)：函數(shù)圖像的變換都是只對(duì) 的變換。正確解法： 向左平移 個(gè)單位得 。

3 由函數(shù) 圖像通過怎樣的變換得到 圖象

通過實(shí)例綜合以上兩種變換，重點(diǎn)是比較兩種方法平移量的區(qū)別和導(dǎo)致這一現(xiàn)象的根本原因，即x的變化，并由此導(dǎo)出一般規(guī)律。

由函數(shù) 的圖像通過怎樣的變換到 的圖象？在前兩個(gè)問題解決的基礎(chǔ)上即弄清相位變換和周期變換后，直接找一般規(guī)律：由函數(shù) 縱坐標(biāo)伸長或縮短 倍得到函數(shù) 的圖象。函數(shù) 中的 對(duì)圖形的影響。

在分析清楚以上變換方法后，得出一般變換方法：由函數(shù) 的圖象經(jīng)過如下的變換得到 的圖象。

4 總結(jié)

在得出由函數(shù) 到 變換方法后。探討如下例題：已知函數(shù) 指出經(jīng)過怎樣的變換可得到 的圖象。解法一（先周期變換再平移變換）： ，縱坐標(biāo)縮短為原來的 得到 ，橫坐標(biāo)伸長3倍得到 沿 軸向右平移 個(gè)單位得到 的圖像。解法二（先平移變換再周期變換） 縱坐標(biāo)縮短為原來的 得到 ，沿 軸向右平移 得到 的圖像，橫坐標(biāo)伸長3倍得到 。兩種變換正是上表兩種變換的逆序變換，順序不同平移量也不同但最終的結(jié)果一樣，把握問題的實(shí)質(zhì)能幫我們又快又準(zhǔn)確的找到問題的答案。

通過“五點(diǎn)作圖法”正確找出函數(shù)由函數(shù) 到 和 的圖象變換規(guī)律進(jìn)而找到圖象變換問題的實(shí)質(zhì)。教學(xué)的目的是以知識(shí)為平臺(tái)，全面提升學(xué)生的綜合能力。本論文突出體現(xiàn)了以學(xué)生能力的發(fā)展為主線，應(yīng)用啟發(fā)式引導(dǎo)學(xué)生層層深入，培養(yǎng)學(xué)生自主探索以以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，注重利用非智力因素促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)價(jià)值和思維價(jià)值高度統(tǒng)一。對(duì)數(shù)學(xué)的探索是一個(gè)長期的過程，充分挖掘數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值和人文價(jià)值，需要我們教育工作者的不斷創(chuàng)新，與時(shí)俱進(jìn)。

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