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    剪不斷理還亂的條件概率
    ——引例梳理條件概率思維

    2015-06-21 12:57:31江蘇省口岸中學(xué)高國圣
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:件產(chǎn)品樣本空間概型

    ☉江蘇省口岸中學(xué) 高國圣

    剪不斷理還亂的條件概率
    ——引例梳理條件概率思維

    ☉江蘇省口岸中學(xué) 高國圣

    引例:一個家庭中有兩個小孩,假定生男生女是等可能的,已知這個家庭有一個是女孩,問:這時另一個孩子是男孩的概率是多少?

    條件概率指的是在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率.教師在講解此題時,學(xué)生普遍認(rèn)為答案是究其原因是沒有理解條件概率的內(nèi)涵,因此可讓學(xué)生回答如下三個問題.

    問題1:一個家庭中有兩個小孩,可能有幾種情況?

    答:(男,男)(男,女)(女,男)(女,女).

    問題2:其中一個是女孩,有幾種情況?

    答:(男,女)(女,男)(女,女).

    問題3:在其中一個是女孩的條件下,另一個是男孩的概率?

    至此問題不攻自破.

    對于條件概率的理解,筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗,建議從如下幾方面入手,供參考.

    一、借助圖示法理解條件概率的本質(zhì)

    圖1

    如圖1,設(shè)A、B是兩個事件,且P(A)>0,在事件A已發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為條件概率,記作P(B|A).從圖示法的角度來看,這個定義可以理解為:

    事件的樣本點(diǎn)已落在圖形A中(事件A已發(fā)生),問落在B中(事件B發(fā)生)的概率.由于樣本點(diǎn)已經(jīng)落在A中,且又要求落在B中,故只能落在AB中.在這種觀點(diǎn)下,原來的的樣本空間Ω(即基本事件的范圍)變?yōu)橐阎臈l件事件A所對應(yīng)的空間,原來的事件B對應(yīng)的空間變?yōu)槭录嗀B對應(yīng)的空間.因此,條件概率問題可以看成“樣本空間減少”的條件下的古典概型或幾何概型問題.

    例1(2011年高考遼寧卷)從1、2、3、4、5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=().

    評析:在“減少樣本空間”的觀點(diǎn)下,條件概率P(B|A)的計算公式為其中,在古典概型中,n(A)與n(AB)分別表示事件A與事件AB所包含的基本事件的個數(shù).

    二、弄清P(B|A)與P(AB)的區(qū)別

    P(AB)與P(B|A)是兩個截然不同的事件的概率,P(AB)表示事件A與B同時發(fā)生的概率,而條件概率P(B|A)表示在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.

    例2(2015年高考陜西卷)隨機(jī)抽取一個年份,對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下:

    ?

    (Ⅰ)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;

    (ⅠⅠ)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運(yùn)動會,估計運(yùn)動會期間不下雨的概率.

    解析:(Ⅰ)在容量為30的樣本中,從表格中得不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,從4月份任選一天,西安市不下雨的概率是

    (ⅠⅠ)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日,2日與3日等),這樣在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16對,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為,以頻率估計概率,運(yùn)動會期間不下雨的概率為

    評析:在解題中需注意P(B|A)與P(B)的關(guān)系:計算P(B)是在整個樣本空間Ω上考慮事件B發(fā)生的概率,計算P(B|A)是在A發(fā)生的范圍內(nèi)來考慮事件B發(fā)生的概率.樣本空間從Ω減少為A,往往會導(dǎo)致無條件概率P(B)與條件概率P(B|A)并不相等.若事件A與B是相互獨(dú)立事件,則P(B)=P(B|A).

    三、幾何概型下的條件概率問題

    圖2

    例3(2011年高考湖南卷)如圖2,EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則(1)P(A)=______;(2)P(B|A)=______.

    四、概率性質(zhì)的應(yīng)用

    例4(2013年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

    (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;

    (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

    解析:(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+

    (2)X可能的取值為400、500、800,并且P(X=400)=所以X的分布列為

    ?

    評析:若事件A發(fā)生了,事件B才有可能發(fā)生;若事件A沒有發(fā)生,事件B就不可能發(fā)生了.反過來,若事件B發(fā)生了,事件A必然發(fā)生了,即事件A、B都發(fā)生了.事件A發(fā)生是事件B發(fā)生的必要不充分條件.也就是說,“事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生”中的條件是“事件B發(fā)生”的條件.此時,P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A).本題是概率的綜合問題,掌握基本概念及條件概率的基本運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵.

    總之,條件概率有著較廣泛的應(yīng)用,而且對于進(jìn)一步加深對概率問題的理解和學(xué)習(xí)概率也有著實際意義.如何把握好難度,使學(xué)生正確地理解條件概率的概念和它的計算方法,對于加深學(xué)生對概率問題的理解和進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率都有著重要的意義.

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