以形輔數(shù)話向量

☉江蘇省海門中學 王 娟

以形輔數(shù)話向量

☉江蘇省海門中學 王 娟

向量是新課程中學數(shù)學的重要內容，其對思維的考查要求相比以往陳舊的數(shù)學知識來得更為靈活，更容易成為編制出優(yōu)秀試題對學生能力分層的重要知識章節(jié).北師大張英伯教授非常推崇向量，早在2000年時就力薦將向量內容移植到高中數(shù)學內容中，在新課程2003年開始實施后向量章節(jié)終于出現(xiàn)在必修4中.為什么向量如此受重視呢？我們可以借鑒數(shù)學家吳文俊先生的話語：“向量并不是一個純粹的單一知識章節(jié)，它是一種問題解決的工具，在解決幾何問題的過程中，向量將問題可以代數(shù)化，進而演變成機械化的證明，這是向量的一種極為重要的作用.”其實我們感受到向量機械化證明的內容體現(xiàn)在向量的坐標化運用和空間幾何的向量法使用.

一方面，向量不僅用其代數(shù)方式解決了很多比較困難的幾何問題；另一方面也大大體現(xiàn)了價值，恰是其圖形化的工具性作用.向量圖形化的使用策略，將原本較為復雜的問題以向量幾何圖形的方式將其展示出來，其幾何意義躍然紙上，問題的解決顯得較為輕松.筆者認為，中學數(shù)學的向量問題主要是兩種方式，即向量的代數(shù)化運算（坐標化運算是其特殊情形）和向量的圖形化策略，哪種方式對于思維的啟發(fā)和促動更大呢？顯然是圖形化的策略，即以形輔數(shù).代數(shù)化方式在解決問題時對于思維的考查作用不如圖形化策略明顯，因此在中學向量知識環(huán)節(jié)中代數(shù)化并未達到吳文俊先生說的機械化的地步.通過圖形化使用方式，我們來看看如何解決向量問題的以形輔數(shù).

一、構造三角形

圖1

例1已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|ate|≥|a-e|，則下列命題正確的是_________.

（1）a⊥e；（2）a⊥（a-e）；

（3）e⊥（a-e）；（4）（a+e）⊥（a-e）.

解析：本題改編自浙江高考試題，可以采用代數(shù)化的方式，對其進行以t為自變量的二次函數(shù)分析，利用判別式解決問題，有興趣的讀者可以試試，在處理Δ≤0得到（a·b）2時要提醒學生注意（a· b）2≠a2·b2，這是代數(shù)化解決的關鍵；但是筆者思考，這樣的問題若使用圖形化方式更能凸顯向量解決問題的本質，因此以形輔數(shù)才是這種問題更直接的反映：如圖1，建構向量e和向量a，利用向量減法可得a-e，任意選擇te，利用向量減法可得a-te，對任意t∈R，要使得|a-te|≥|a-e|成立，則顯然（a-e）所在線段為垂線段，即e⊥（a-e）.從圖形化策略中，我們發(fā)現(xiàn)問題的解決顯得異常輕松，其為何|a-e|最短的本質躍然紙上，這正是向量圖形化功能的正確使用.

圖2

解析：與例1類似，本題也是采用向量三角形正確構造下的圖形化策略.不妨令觀察圖2，可知線段AC為垂線段，故△ABC為直角三角形.

圖3

變式2：△ABC所在的平面記為α，平面α內一點P與平面外一點M，滿足對任意的x，y∈R則異面直線PM與BC所成的角為___________.

說明：上述問題都是以三角形知識進行建構，將向量加減法的三角形法則運用到實際問題中，是構建圖形的關鍵.筆者也發(fā)現(xiàn)，學生對于三角形法則不可謂不熟悉，但是在解決實際問題的時候，往往卻一籌莫展，對于圖形化的建構，筆者認為學生不善于利用的主要原因是：第一，運用思維還是運用運算，學生的第一選擇往往是寧可計算也不愿思考，這是因為向量機械化給出了方向，但是令一般學生望而生畏的運算往往是問題解決的障礙；第二，數(shù)形結合思想的缺失，導致學生解決向量問題往往不會構圖、不想構圖，或者是對構圖沒有正確掌握其最核心的條件，上述三個問題都圍繞同一個想法，即垂線段最短，這體現(xiàn)出向量在其他知識交匯處的考查值得教師繼續(xù)研究.

二、構造圓

解析：如圖4所示，向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，這里可分兩種情況，一是A，B，C在以O為圓心，半徑為1的圓上，此時|c|=1；二是以四點共圓來建構圖形.設∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優(yōu)弧一動點，顯然當點C為優(yōu)弧的中點時，取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得在△ABC中，由正弦定理得

圖4

圖5

變式：已知向量a，b滿足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，則|b-c|最大值為_________.

解析：如圖5所示，若對條件分析可知，向量a，b滿足夾角60°，而（a-c）·（b-2c）=（a-c）這樣問題就圍繞向量a，b，c建構圖形解決.設，D為線段OB中點，則由題意可知（a-c）即∠ACD=90°，可知點C的軌跡是以Q為圓心，以AD為直徑的圓上的點.又問題轉化為定點B與圓上動點C的最值.至此，問題已到達學生能認知的模式，|b-c|的最大值為BQ+r.給出計算：半徑，所以|b-c|max=

說明：構造圓形解決向量問題，是利用了特定的平面幾何中的相關知識，諸如對角互補的四點共圓、動態(tài)三角形直角頂點必定落在某一圓的邊界上.這種以形輔數(shù)解決向量問題，顯然較第一種構造難度更大，筆者認為首先認知題中所涉及的向量條件是第一步，將條件選擇成圖形的建構是難點，需要教師合理的引導和闡述，最后問題轉變?yōu)榕c圓上動點相關的問題，利用平面幾何知識可知，往往與圓心的距離有關.

三、自由向量的構造

向量章節(jié)從2003年進入高中數(shù)學新課標之后，筆者越來越感受到它的無窮魅力.其不受任何約束的建構和使用，成為解決問題最自然的一種武器.那么，向量章節(jié)中最核心的知識體現(xiàn)在哪個知識點上呢？很多教師在不斷教學生演算坐標化下的向量、解決數(shù)量積的熟練程度，這些是基本功，但是沒有觸及向量的核心，筆者以為向量核心知識是平面向量基本定理.這個基本定理的良好理解，才能真正深刻認識后續(xù)向量正交分解的坐標化只不過是其特殊情形而已.

自由化坐標的建立：如圖6所示，三點A，Q，B共線，則存在實數(shù)x，y，使得若以x，y作為有序點對（x，y），以為各自一個單位，OA→x軸，OB→y軸，建立斜角坐標系，類比直角坐標系下坐標的性質，可以得到如下延伸：

圖6

（1）過點O且平行于AB的直線，其斜角坐標系下方程為：x+y=0；

（2）以OA為x軸，OB為y軸建立的斜角坐標系也分為四個象限，類比直角坐標系下線性規(guī)劃知識可得自由化坐標下的線性規(guī)劃，如下文中1-1區(qū)域指的是第一象限1號區(qū)域，其余類似.

例3Rt△ABC中，AB為斜邊，BC=2，正△BCD滿足AB⊥BD，P在等邊△BCD內部（含邊界）運動，記E為AB的中點，若則λ+μ的取值范圍是_________.

分析1：筆者自編了本題，主要是考查學生是否可以利用圖形化的策略將問題構建成自由坐標的方式解決.查看學生的解決過程，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生首先想到的是下面的方式.

圖7

圖8

解法1：如圖7所示，以B為原點，AB、BD所在的直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系，則B（0，0），D（0，2），

解法2：如圖8所示，用自由向量建構的坐標系，以E為原點，EB為λ軸，EC為μ軸建系.

說明：靈活運用向量圖形化的建構策略，是將平面向量基本定理學習到精髓的體現(xiàn).平面向量基本定理是向量知識的重中之重，可惜的是，當下的向量教學卻過多地涉及了向量的代數(shù)化，將無限可能的自由化分解拋諸腦后.從上述筆者自編的問題可以看出，學生依舊對于正交分解情有獨鐘，但是較為煩瑣的運算卻恰恰限制了向量優(yōu)越性的體現(xiàn)，而以自由化坐標體現(xiàn)的方式恰恰將平面向量基本定理的精髓呈現(xiàn)出來，我們可以清楚地看到三點共線性質使用后，利用平行線的等間距性質，輕松地解決自由化坐標下的橫坐標與縱坐標的類線性規(guī)劃問題，其思維更高端、更前瞻、更美妙，這才是向量思維性的價值體現(xiàn).

總之，中學數(shù)學的向量教學一直是兩條途徑的教學.代數(shù)化和圖形化始終圍繞著向量教學的始終，從近幾年越來越頻繁的考查來看，向量試題的思維化考查更趨于明顯.筆者認為，思維化成為考查的熱點正是基于我們的課程需要培養(yǎng)具備創(chuàng)新型人才的基調，過于代數(shù)化的解決方式可以培養(yǎng)大量的熟練操作，卻難在思維培養(yǎng)上有所突破，因此可以這么說，圖形化解決策略是數(shù)形結合思想在向量教學中的最優(yōu)體現(xiàn)，也是教師教學努力提高學生思維的解決之道.

1.鮑建生.向量教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1-3）.

2.鄭毓信.向量中學習變式理論的必要發(fā)展［J］.中學數(shù)學月刊，2006（1）.

3.沈恒.陳舊的問題改進的認識［J］.中學數(shù)學（上），2011（11）.

4.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學數(shù)學，2013（7-8）.