也談雙曲線漸近線概念的自然生成

☉陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院深圳第二外國語學(xué)校 安 萍

☉深圳第二外國語學(xué)校 祁福義

也談雙曲線漸近線概念的自然生成

☉陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院深圳第二外國語學(xué)校 安 萍

☉深圳第二外國語學(xué)校 祁福義

讀罷文1，頗受啟發(fā)，剛好我們也進(jìn)行過幾次同課題的教學(xué)，于是就把我們的教學(xué)整理了一下，錄于此處，就教于大方之家.

一、關(guān)于雙曲線漸近線概念生成的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.漸近線：由反比例函數(shù)說起

學(xué)生在初中比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的相關(guān)知識，如反比例函數(shù)的圖像，反比例函數(shù)的一些簡單性質(zhì)等.

圖1

如圖1是某個(gè)反比例函數(shù)的圖像，學(xué)生在初中就知道反比例函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，且有這樣的圖像特征：在第一象限的圖像向上無限接近y軸正半軸，向右無限接近x軸正半軸，與坐標(biāo)軸永不相交；在第三象限的圖像向下無限接近y軸負(fù)半軸，向左無限接近x軸負(fù)半軸，與坐標(biāo)軸永不相交.其實(shí)，直線x軸、y軸充當(dāng)?shù)木褪菨u近線的角色，于是在教學(xué)中，可以從以下兩個(gè)角度進(jìn)行反比例函數(shù)漸近線的說明.

（1）說明什么是漸近線.類比反比例函數(shù)，漸近線就是與函數(shù)圖像無限趨近卻永不相交的直線，即漸漸接近的直線之意.

（2）說明如何求反比例函數(shù)的漸近線.其實(shí)反比例函數(shù)的漸近線有兩條：即x軸、y軸，也就是直線y=0和直線x=0，那么如何去求反比例函數(shù)的漸近線呢？它和哪些因素有關(guān)？這個(gè)從漸近線的圖像特征出發(fā)即可得出結(jié)論，更一般地，可以引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)的定義域和值域來考慮漸近線的求解，以反比例函數(shù)為例，定義域?yàn)閧x|x≠0}，它的一條漸近線就是直線x=0，值域?yàn)閧y|y≠0}，它的一條漸近線就是直線y=0.一旦學(xué)生掌握了這種方式，可以進(jìn)一步拓展到類似反比例函數(shù)的漸近線求法，例如給出函數(shù)，通過計(jì)算定義域（即{x|x≠1}）和值域（即{y|y≠-1}）即可方便快捷地求出它的兩條漸近線方程為直線x=1和直線y=-1.當(dāng)然，也可以更進(jìn)一步類比求出對勾函數(shù)的漸近線，例如對于函數(shù)易知x≠0且y≠x，所以它的兩條漸近線就是直線x=0和直線y=x.更重要的是通過漸近線方程結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可以方便地畫出類似于反比例函數(shù)和類似于對勾函數(shù)的函數(shù)圖像（限于篇幅不再贅述），這對于學(xué)生更好地掌握函數(shù)知識是大有裨益的.

2.反比例函數(shù)的圖像與雙曲線：由形到式的變遷

反比例函數(shù)的圖像和圓錐曲線中的雙曲線的圖像都是雙曲線，那么這兩個(gè)數(shù)學(xué)對象是不是有什么聯(lián)系呢？如果有，除了圖像，它們的表達(dá)式有什么聯(lián)系？

圖2

（2）反比例函數(shù)的漸近線方程的求法可否借用到雙曲線漸近線方程的求法呢？

這個(gè)問題可以考慮能否把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為類似于反比例函數(shù)的表達(dá)式的形式，如果能，則可以借助求解反比例函數(shù)漸近線的方式進(jìn)行求解.

3.雙曲線的漸近線：由圖形直觀到本質(zhì)探究的思考

再來看如何求雙曲線的漸近線，借鑒上面的結(jié)論，先進(jìn)行雙曲線向反比例函數(shù)的轉(zhuǎn)化，如何把雙曲線方程轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的解析式？做代換x=a（m+n），y=b（m-n）①，整理即可得到該式即以n為自變量的反比例函數(shù)，由前面的想法知其兩條漸近線為直線m=0和直線n= 0②.由①式解出m，n，得驗(yàn)證滿足②式的x，y，即這就是所求雙曲線的漸近線方程.

二、關(guān)于雙曲線漸近線自然生成的幾點(diǎn)思考

1.在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“概念前置”

所謂“概念前置”就是將新概念融入到相關(guān)的已學(xué)知識中，在介紹已學(xué)知識就引入新概念，然后再對新概念進(jìn)行深入研習(xí).這樣做有兩點(diǎn)是值得關(guān)注的：一是可以避免學(xué)生初學(xué)新概念時(shí)的心理排斥，提供可供參考的已學(xué)知識作引導(dǎo)；另外也可以借助已學(xué)知識溝通新概念的內(nèi)涵、外延.如前文所述，反比例函數(shù)的圖像中坐標(biāo)軸就充當(dāng)了漸近線的角色，在描述反比例函數(shù)的圖像走勢后就可以適時(shí)引入漸近線的概念，既是對圖像走勢的簡潔描述，也是對學(xué)生接受知識的自然過渡.

2.在教學(xué)中要注意初高中知識的銜接

從心理學(xué)的角度來說，教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生所學(xué)知識的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)展開教學(xué)更容易引起學(xué)生共鳴.而對于高中生來說，初中所學(xué)的基本知識就是基本的腳手架，利用好初高中銜接就可以切中最近發(fā)展區(qū)的要害，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知提供“情理之中、意料之外”的學(xué)習(xí)體驗(yàn).如前文所述，反比例函數(shù)的圖像和雙曲線的圖像都是雙曲線，它們必然有聯(lián)系，它們有怎么樣的聯(lián)系？這樣的聯(lián)系對于學(xué)習(xí)漸近線知識有什么可資借鑒之處？從學(xué)生的這些最近發(fā)展區(qū)展開探討，學(xué)生接受起來就會容易得多，而不會有“突然”多出個(gè)漸近線之感.

3.在教學(xué)抽象概念時(shí)要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的直觀作用

在沒有極限知識的前提下，如果沒有圖形，我們很難找到讓學(xué)生更好地理解漸近線的方法.漸近線知識太抽象，描述起來總會覺得要么冗長繁雜、要么詞不達(dá)意，此時(shí)多結(jié)合圖形進(jìn)行解釋，學(xué)生的理解會好很多.如前文中對于反比例函數(shù)圖像與雙曲線圖像的關(guān)系分析，就是借助圖形直觀得到的，讓學(xué)生了解它們的初步關(guān)系，為深入分析提供指引.

1.余建國.如何實(shí)現(xiàn)雙曲線的漸近線的自然生成［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（6）.