左右兼顧
——談分段函數(shù)問題的解答

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 周 炎

左右兼顧
——談分段函數(shù)問題的解答

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 周 炎

分段函數(shù)是高考的熱點(diǎn)之一，分段函數(shù)，顧名思義，其函數(shù)在不同定義域范圍內(nèi)，有不同的解析式，其內(nèi)容涉及求值、定義域、值域、解析式、奇偶性、單調(diào)性、圖像、方程、不等式等多方面知識(shí).因此在處理分段函數(shù)問題時(shí)必須左右兼顧，方可防止錯(cuò)解.下面舉例說明.

一、針對不同自變量，由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值

解析：當(dāng)a≥1時(shí)，f（a）=2a>1，所以f（f（a））=2f（a）；當(dāng)a<1時(shí)，f（a）=3a-1.若f（f（a））=2f（a），則f（a）≥1，即3a-1≥1，所.故選C.

點(diǎn)評(píng)：不同的自變量，有不同的解析式，針對不同自變量，選取對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式，由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值.

二、“不重不漏”求分段區(qū)間的解析式

例2（2014年安徽高考）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x）.則當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=___________.

解析：當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，有0≤x+1≤1，則f（x+1）=（x+ 1）［1-（x+1）］.

又因?yàn)閒（x+1）=2f（x），所以2f（x）=（x+1）［1-（x+1）］.

點(diǎn)評(píng)：“求誰設(shè)誰”，求哪個(gè)區(qū)間的解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，然后代入已知區(qū)間的解析式，利用奇偶性解出f（x）.求分段函數(shù)的解析式時(shí)，分別求出定義域內(nèi)各段對應(yīng)的解析式，再組合在一起，要注意各區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)要“不重不漏”，求哪個(gè)區(qū)間的解析式，就把x設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上.

變式：已知y＝f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）＝1.若g（x）＝f（x）+2，則g（-1）＝________.

答案：-1.

三、分段函數(shù)的單調(diào)性，由局部到整體

例3（2015年北京高考模擬）已知a>0，函數(shù)f（x）=則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先應(yīng)該判斷各段函數(shù)的單調(diào)性，若每一段函數(shù)單調(diào)性一致，再判斷分界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，符合單調(diào)性定義，則該函數(shù)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增或遞減，不符合，則必須分段說明單調(diào)性.

四、分段函數(shù)的奇偶性的分段處理

A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是增函數(shù)

C.f（x）是周期函數(shù)D.f（x）的值域?yàn)椋?1，+∞）

解析：由函數(shù)f（x）的解析式知，f（1）＝2，f（-1）＝cos（-1）＝cos1，f（1）≠f（-1），則f（x）不是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，令f（x）＝x2+1，則f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，且函數(shù)值f（x）>1；當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝cosx，則f（x）在區(qū)間（-∞，0］上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f（x）∈［-1，1］；所以函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域?yàn)椋?1，+∞）.故選D.

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)奇偶性的判斷方法：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱就為非奇非偶函數(shù)；若對稱，且分別從相對稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí)，才具有確定的奇偶性.

五、多變量下的分段函數(shù)，由多化一

圖1

解析：作出分段函數(shù)f（x）的圖像，如圖1所示，由圖可知，只有當(dāng)直線位于y=0與y=3之間時(shí)才與函數(shù)f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像可得1

點(diǎn)評(píng)：多變量下的分段函數(shù)要結(jié)合函數(shù)的圖像特征求出變量的范圍，同時(shí)要結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式求出各變量之間的關(guān)系，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問題，再結(jié)合定義域準(zhǔn)確求出最值或范圍.

變式：設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1，1］上，f（x）其中a，b∈R.若則a+3b的值為________.

答案：-10.

六、分段函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題處理

解析：分析題意可知，問題等價(jià)于方程x3=b（x≤a）與方程x2=b（x>a）的根的個(gè)數(shù)和為2.若兩個(gè)方程各有一個(gè)根，則可知關(guān)于b的不等式組有解，從而a>1；若方程x3=b（x≤a）無解，方程x2=b（x>a）有2個(gè)根，則可知關(guān)于b的不等式組有解，從而a<0.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理.本題中的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)問題，y1=x3為單調(diào)函數(shù)，故其與y=b至多有一個(gè)交點(diǎn)；而y2=x2與y=b有1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn)，題目中g(shù)（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，問題等價(jià)于y1，y2與y=b各有一個(gè)交點(diǎn)，或y1與y=b沒有交點(diǎn)，y2與y=b有兩個(gè)交點(diǎn).

①若a=1，則f（x）的最小值為________；

②若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

綜上，分段函數(shù)函數(shù)問題的常用處理方式，即分別處理不同定義域內(nèi)的不同解析式，從而函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)等問題就會(huì)迎刃而解，另外方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解，可使問題得到大大簡化.