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    左右兼顧
    ——談分段函數(shù)問題的解答

    2015-06-21 12:57:31江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:奇偶性定義域交點(diǎn)

    ☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 周 炎

    左右兼顧
    ——談分段函數(shù)問題的解答

    ☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 周 炎

    分段函數(shù)是高考的熱點(diǎn)之一,分段函數(shù),顧名思義,其函數(shù)在不同定義域范圍內(nèi),有不同的解析式,其內(nèi)容涉及求值、定義域、值域、解析式、奇偶性、單調(diào)性、圖像、方程、不等式等多方面知識(shí).因此在處理分段函數(shù)問題時(shí)必須左右兼顧,方可防止錯(cuò)解.下面舉例說明.

    一、針對不同自變量,由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值

    解析:當(dāng)a≥1時(shí),f(a)=2a>1,所以f(f(a))=2f(a);當(dāng)a<1時(shí),f(a)=3a-1.若f(f(a))=2f(a),則f(a)≥1,即3a-1≥1,所.故選C.

    點(diǎn)評(píng):不同的自變量,有不同的解析式,針對不同自變量,選取對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式,由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值.

    二、“不重不漏”求分段區(qū)間的解析式

    例2(2014年安徽高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x),若當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x).則當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=___________.

    解析:當(dāng)-1≤x≤0時(shí),有0≤x+1≤1,則f(x+1)=(x+ 1)[1-(x+1)].

    又因?yàn)閒(x+1)=2f(x),所以2f(x)=(x+1)[1-(x+1)].

    點(diǎn)評(píng):“求誰設(shè)誰”,求哪個(gè)區(qū)間的解析式,x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi),然后代入已知區(qū)間的解析式,利用奇偶性解出f(x).求分段函數(shù)的解析式時(shí),分別求出定義域內(nèi)各段對應(yīng)的解析式,再組合在一起,要注意各區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)要“不重不漏”,求哪個(gè)區(qū)間的解析式,就把x設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上.

    變式:已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=________.

    答案:-1.

    三、分段函數(shù)的單調(diào)性,由局部到整體

    例3(2015年北京高考模擬)已知a>0,函數(shù)f(x)=則實(shí)數(shù)t的取值范圍為().

    點(diǎn)評(píng):本題屬于利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題,判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí),首先應(yīng)該判斷各段函數(shù)的單調(diào)性,若每一段函數(shù)單調(diào)性一致,再判斷分界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系,符合單調(diào)性定義,則該函數(shù)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增或遞減,不符合,則必須分段說明單調(diào)性.

    四、分段函數(shù)的奇偶性的分段處理

    A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)

    C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)椋?1,+∞)

    解析:由函數(shù)f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos1,f(1)≠f(-1),則f(x)不是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),令f(x)=x2+1,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),且函數(shù)值f(x)>1;當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=cosx,則f(x)在區(qū)間(-∞,0]上不是單調(diào)函數(shù),且函數(shù)值f(x)∈[-1,1];所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù),也不是周期函數(shù),其值域?yàn)椋?1,+∞).故選D.

    點(diǎn)評(píng):分段函數(shù)奇偶性的判斷方法:先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,若不對稱就為非奇非偶函數(shù);若對稱,且分別從相對稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí),才具有確定的奇偶性.

    五、多變量下的分段函數(shù),由多化一

    圖1

    解析:作出分段函數(shù)f(x)的圖像,如圖1所示,由圖可知,只有當(dāng)直線位于y=0與y=3之間時(shí)才與函數(shù)f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖像可得1

    點(diǎn)評(píng):多變量下的分段函數(shù)要結(jié)合函數(shù)的圖像特征求出變量的范圍,同時(shí)要結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式求出各變量之間的關(guān)系,將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問題,再結(jié)合定義域準(zhǔn)確求出最值或范圍.

    變式:設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)其中a,b∈R.若則a+3b的值為________.

    答案:-10.

    六、分段函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題處理

    解析:分析題意可知,問題等價(jià)于方程x3=b(x≤a)與方程x2=b(x>a)的根的個(gè)數(shù)和為2.若兩個(gè)方程各有一個(gè)根,則可知關(guān)于b的不等式組有解,從而a>1;若方程x3=b(x≤a)無解,方程x2=b(x>a)有2個(gè)根,則可知關(guān)于b的不等式組有解,從而a<0.

    綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).

    點(diǎn)評(píng):函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理.本題中的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)問題,y1=x3為單調(diào)函數(shù),故其與y=b至多有一個(gè)交點(diǎn);而y2=x2與y=b有1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn),題目中g(shù)(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),問題等價(jià)于y1,y2與y=b各有一個(gè)交點(diǎn),或y1與y=b沒有交點(diǎn),y2與y=b有兩個(gè)交點(diǎn).

    ①若a=1,則f(x)的最小值為________;

    ②若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

    綜上,分段函數(shù)函數(shù)問題的常用處理方式,即分別處理不同定義域內(nèi)的不同解析式,從而函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)等問題就會(huì)迎刃而解,另外方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解,可使問題得到大大簡化.

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