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    處理高中數(shù)學(xué)最值問題的方法探析

    2015-06-21 12:57:32周永忠
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:最值數(shù)形思路

    處理高中數(shù)學(xué)最值問題的方法探析

    ☉江蘇省南通市通州區(qū)劉橋中學(xué)周永忠

    數(shù)學(xué)是一門工具型學(xué)科,高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容抽象難懂給不少學(xué)生帶來了困難,特別是高中數(shù)學(xué)中最值問題的處理一直困擾著學(xué)生.最值問題是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一,涉及的范圍較廣,可以說分布在高中數(shù)學(xué)各個(gè)知識點(diǎn)與知識層面中,在最值問題中,不僅考查了化歸思想、數(shù)形結(jié)合和分類討論等各種方法,而且考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力與邏輯思維能力,因此,探討高中數(shù)學(xué)最值問題的解題方法,對提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效率與質(zhì)量有著積極意義.本文筆者根據(jù)自身教學(xué)實(shí)踐,從四個(gè)角度分析探討處理高中數(shù)學(xué)最值問題的有效方法與手段,希望能給讀者帶來一定的幫助.

    一、合理構(gòu)建高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型,巧借函數(shù)思想處理最值問題

    函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的主要內(nèi)容之一,函數(shù)與其他知識點(diǎn)的聯(lián)系也比較緊密,在求解最值方面也不例外.高中數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生解此類題型時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于建立函數(shù)模型,利用函數(shù)思想求解最值.

    例1已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,求函數(shù)f(x)的最小值.

    思路分析:由題目中的已知條件可知:題目中既含有未知參數(shù)a,又含有絕對值,解題的關(guān)鍵是對未知參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行討論,去掉絕對值,從而簡化題目,找到正確的解題思路.

    解析:(1)當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=x2-x+a+1

    (2)當(dāng)x≥a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1

    點(diǎn)評:本題考查函數(shù)、絕對值、單調(diào)性等知識的綜合應(yīng)用,合理運(yùn)用分類討論思想指導(dǎo)解題過程,針對原題等價(jià)轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的形式進(jìn)行處理,提高了解題的成功率,體現(xiàn)了函數(shù)模型處理極值問題的優(yōu)越性.

    二、根據(jù)實(shí)際情況靈活變換數(shù)學(xué)公式,借助于函數(shù)的有界性處理最值問題

    高中數(shù)學(xué)內(nèi)容涉及很多的公式,尤其是三角函數(shù)公式非常多,使得學(xué)生在三角函數(shù)求最值的題型中感覺無從下手,所以高中數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生靈活運(yùn)用公式,通過公式變換,利用函數(shù)的有界性求解最值.

    例2已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R,求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)自變量x的集合.

    思路分析:三角函數(shù)求最值的基本思路是將函數(shù)形式通過公式變換,轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,再依據(jù)具體條件求出最值.

    解析:f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

    點(diǎn)評:本題主要涉及三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)公式變換、已知三角函數(shù)值求角度等知識,著重考查學(xué)生對三角函數(shù)知識的綜合運(yùn)用能力.解題的關(guān)鍵是利用公式變換,簡化函數(shù)形式,再利用函數(shù)的有界性求解最值.

    三、借“遷移理論”促新、舊知識之間的有效遷移,高效處理高中數(shù)學(xué)最值問題

    學(xué)習(xí)遷移理論有效滲透到課堂教學(xué)之中,能夠有效促進(jìn)學(xué)生“舉一反三、觸類旁通”能力的提升與發(fā)展.由于高中數(shù)學(xué)不同知識點(diǎn)之間存在千絲萬縷的聯(lián)系,因此在學(xué)生求解最值而毫無思路時(shí),教師可以指導(dǎo)學(xué)生將知識進(jìn)行合理、有效遷移,利用學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識與規(guī)律去處理最值問題,使學(xué)生在處理數(shù)學(xué)難題的過程中做到“游刃有余”.

    例3設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S4≥10,S5≤15,試求a4的最大值.

    思路分析:在審查題目后,很多學(xué)生首先想到的是利用數(shù)列知識,將題目中S4和S5利用前n項(xiàng)和公式展開再進(jìn)行求解,這樣不僅計(jì)算過程煩瑣,而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.如果學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識的遷移,將數(shù)列知識轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,則可以簡化計(jì)算過程,快速解題.

    解析:根據(jù)題意可將原題有效轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題:其約束條件為2a1+3d≥5和a1+2d≤3,目標(biāo)函數(shù)為a4= a1+3d;建立直角坐標(biāo)系a1Od,畫出其可行區(qū)域(如圖1),可知:當(dāng)a4=a1+3d過可行區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(1,1)時(shí),截距最大,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)可以取最大值,即a4=4.

    圖1

    點(diǎn)評:數(shù)列是高中數(shù)學(xué)較難的知識點(diǎn)之一,很多學(xué)生在利用數(shù)列知識解題時(shí)總感覺力不從心,無法找到正確的思路與方法,而線性規(guī)劃則較為簡單,學(xué)生掌握程度較高,在求解最值時(shí)將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的線性規(guī)劃問題,可以幫助學(xué)生順利求解出最終答案.

    四、充分發(fā)揮“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性,巧妙處理高中數(shù)學(xué)最值問題

    在處理最值問題時(shí),數(shù)學(xué)教師完全可以根據(jù)實(shí)際情況,指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過形象直觀的觀察分析,簡化題目條件,找到正確的解題思路與方法.例4已知對一切x>0恒成立,求a的最大值.

    思路分析:如果學(xué)生采用常規(guī)思路,按照分類思想去絕對值求解,則很容易陷入分類過多的泥沼,無法迅速求解出答案.利用數(shù)形結(jié)合思想,將題目已知條件轉(zhuǎn)化為圖形,則學(xué)生的思路會(huì)豁然開朗.

    圖2

    點(diǎn)評:本題中利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,避開了絕對值、反比例函數(shù)和未知參數(shù)a對學(xué)生思路的影響,讓學(xué)生通過觀察圖形找到求解最值的方法,既提高了學(xué)生解題的成功率,又縮短了學(xué)生解題的時(shí)間.

    總而言之,最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),對學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與規(guī)律非常重要.在課堂教學(xué)中,高中數(shù)學(xué)教師不但需要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識,而且需要幫助學(xué)生掌握求解最值的各種方法,讓學(xué)生可以通過知識的觸類旁通,拓寬學(xué)生的解題思路,從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生分析能力和解題能力的目的.A

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