五種版本教材“等差數(shù)列”的編寫內(nèi)容比較研究和教學(xué)建議

☉陜西省麟游縣中學(xué) 韓紅軍

五種版本教材“等差數(shù)列”的編寫內(nèi)容比較研究和教學(xué)建議

☉陜西省麟游縣中學(xué) 韓紅軍

等差數(shù)列是在學(xué)生前面學(xué)習(xí)了數(shù)列的一般性概念、數(shù)列的通項公式、遞推公式的基礎(chǔ)上，第一次對一個特殊數(shù)列展開研究的開始，它是繼續(xù)研究等差數(shù)列的基礎(chǔ)，它為等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)、通項公式的推導(dǎo)與應(yīng)用等，乃至研究其他更一般的數(shù)列，給出了“示范”、提供了“模式”、指明了方向.本節(jié)課先是從具體的例子出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察，進(jìn)而得到等差數(shù)列的概念，接著由等差數(shù)列的概念出發(fā)，運(yùn)用觀察、分析、歸納的方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)不完全歸納法得到數(shù)學(xué)結(jié)論的思維能力.

一、五種版本教材“等差數(shù)列”的編寫內(nèi)容比較

1.等差數(shù)列概念的引入實例與問題背景比較

表1：等差數(shù)列概念的引入實例與問題背景比較

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從以上表格可以看出，等差數(shù)列的概念都是通過實例引入的，但不同版本教材還有不同之處，具體如下：（1）北師大版與湘教版教材提出了公差為0的等差數(shù)列；（2）北師大版、人教A版與人教B版教材在定義前或定義后明確給出了引入實例中的公差；（3）蘇教版、人教A版與湘教版教材給出了等差數(shù)列和公差的英文形式，其中人教A版教材還給出了等差數(shù)列的英文縮寫形式；（4）等差中項的概念出現(xiàn)在北師大版、人教A版與人教B版教材的正文中，湘教版教材出現(xiàn)在例題中，蘇教版教材出現(xiàn)在習(xí)題中；（5）蘇教版教材給出的都是遞增的等差數(shù)列，只有蘇教版教材給出了數(shù)字型式子形式的等差數(shù)列，只有湘教版教材給出了字母型式子形式的等差數(shù)列，也最容易概括出等差數(shù)列的定義.

2.等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法與性質(zhì)的呈現(xiàn)方式

表2：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法與性質(zhì)的呈現(xiàn)方式

從以上表格可以看出，等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法主要涉及兩種：不完全歸納法、累（疊）加法，只有人教B版教材兩種都使用了，其他版本教材都只使用了其中一種方法.等差數(shù)列的常用性質(zhì)不同版本教材大部分在習(xí)題或練習(xí)題都涉及了，但具體內(nèi)容差異較大，具體如下：（1）湘教版、人教B版教材不但給出了an=a1+（n-1）d，還給出了an=dn+a1-d，而且比較了與一次函數(shù)的異同，蘇教版教材只是作為思考題提出來，其他版本教材都沒有編寫；（2）只有湘教版、蘇教版教材涉及了性質(zhì)：若m+n= p+q，則am+an=ap+aq，其他版本教材則沒有涉及；（3）只有人教B版、北師大版教材涉及了等差數(shù)列的單調(diào)性，其他版本教材則沒有涉及；（4）只有人教A版、人教B版教材涉及了性質(zhì)其他版本教材則沒有涉及.

3.五種版本教材中例題、練習(xí)題、習(xí)題、思考題等的比較

表3：各版本教材中例題、練習(xí)題、習(xí)題、思考題等的比較

注：（1）表中的數(shù)據(jù)以教材中有題號的題目為準(zhǔn)，在一個題目下有多個小題號的按一個題計算；（2）各類習(xí)題總數(shù)中括號中數(shù)字的含義是以生活實例、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題背景或與其他知識綜合的等差數(shù)列題目數(shù)；（3）題目總數(shù)中括號中數(shù)字的含義是指選擇題和填空題的數(shù)目.

從以上表格可以看出，五種版本教材等差數(shù)列中例題、練習(xí)題、習(xí)題的數(shù)目、類型和呈現(xiàn)形式差異較大，具體如下：（1）對于題目總數(shù)來說，蘇教版教材最多（31道），北師大版教材選擇題和填空題最多（5道），人教A版教材最少（15道）；（2）對于例題數(shù)目來說，湘教版教材最多（7道），蘇教版教材以生活實例、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題為背景或與其他知識綜合的等差數(shù)列題目數(shù)最多（3道），人教A版教材最少（3道）；（3）對于練習(xí)題數(shù)目來說，蘇教版教材最多（13道），蘇教版教材以生活實例、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題為背景或與其他知識綜合的等差數(shù)列題目數(shù)最多（5道），人教A版教材最少（5道）；（4）對于習(xí)題數(shù)目來說，蘇教版教材最多（12道），人教A版教材以生活實例、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題為背景或與其他知識綜合的等差數(shù)列題目數(shù)最多（4道），人教A版教材最少（7道）；（2）對于思考題和探究題來說，北師大版教材最多（4道），只有人教A版教材有1道探究題.

二、等差數(shù)列教學(xué)建議

1.教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的確定

根據(jù)教學(xué)大綱、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》和學(xué)生的實際情況，教學(xué)目標(biāo)分為三個層次，即教給學(xué)生知識，又教給學(xué)生技能，還教給學(xué)生方法，同時注重學(xué)生素質(zhì)和能力的提高，在潛移默化中塑造學(xué)生完美的人格，使學(xué)生形成健康的心理.

（1）教學(xué)目標(biāo).

基于等差數(shù)列編寫內(nèi)容的比較分析，我們認(rèn)為等差數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)可以分為三個層次.

第一個層次：等差數(shù)列教學(xué)的知識性目標(biāo)，就是抽象出等差數(shù)列的概念，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項.

第二個層次：等差數(shù)列教學(xué)的過程性目標(biāo)，就是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷抽象概括的過程，歸納推理的過程，演繹推理的過程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗探究的樂趣，體驗成功的喜悅，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

第三個層次：等差數(shù)列教學(xué)的能力性目標(biāo)，就是要讓學(xué)生在經(jīng)歷抽象概括、歸納推理、演繹推理的過程中，形成抽象概括能力、歸納推理能力和演繹推理能力，這些能力將在更廣闊的知識學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極作用.

（2）教學(xué)重點(diǎn).

等差數(shù)列的概念與等差數(shù)列的通項公式.

（3）教學(xué)難點(diǎn)

等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及從函數(shù)的角度理解通項公式.

2.等差數(shù)列概念的教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).根據(jù)等差數(shù)列概念的引入實例與問題背景比較可以看出：等差數(shù)列的定義及公差的概念是通過歸納實例的共同特點(diǎn)得出的.但各版本教材“等差數(shù)列”的編寫內(nèi)容都在等差數(shù)列的概念的內(nèi)涵、外延、屬性（性質(zhì)和特征）等方面存在紕漏，引入實例不完整，或缺失公差為0的例子，或缺失公差為負(fù)數(shù)的例子，或缺失字母型式子形式的例子.因此，在設(shè)計引例時，要考慮到：①公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0；②等差數(shù)列{an}滿足：an+1-an=d（d是常數(shù)，n∈N且n≥1），這里所說的常數(shù)實際上指an+1-an是一個與n無關(guān)的數(shù)；③在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義后，必須明確給出等差中項的定義；④從學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展角度看，等差數(shù)列和公差的英文形式和等差數(shù)列的英文縮寫形式都應(yīng)該給出.等差數(shù)列的定義也是證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的一種方法.例如等差數(shù)列的定義可以從以下例題引入.

例：判別以下數(shù)列是否為等差數(shù)列，若不是請說明理由.

（1）-1，3，6，9，12，15，18；

（2）2，4，6，8，11，14，17，20，…；

（3）2，3，2，3，2，3，…；

（4）10，7，4，1，-2，-5，…；

（5）100，100，100，100，…；

（6）20，15，10，5，0，-5，…；

（7）m+n，m+2n，m+3n，m+4n，m+5n，….

設(shè)計思路：數(shù)列（1）從第三項其每一項與前一項的差都是常數(shù)3，但第二項與第一項的差卻是4，不符合定義中的“從第二項起”；數(shù)列（2）的前四項和后四項中，每一項與前一項的差都是常數(shù)，但不是同一個常數(shù)，由此可使學(xué)生體現(xiàn)或感受到“每一項與前一項的差是常數(shù)”這一本質(zhì)特征的真正含義；數(shù)列（3）從第二項起，每一項與前一項的和是常數(shù)，而相應(yīng)的差不是常數(shù).只有數(shù)列（4）、（5）、（6）、（7）滿足等差數(shù)列的定義.通過這樣正反幾個例子的辨析，使學(xué)生感受與理解了定義中“從第二項起”“每一項與前一項的差”“都是同一個常數(shù)”等關(guān)鍵詞的真正含義，深化了對“等差”這一本質(zhì)特征的認(rèn)識；明白了為什么叫“等差數(shù)列”而不叫“等和數(shù)列”“等積數(shù)列”的道理.同時還可以引發(fā)學(xué)生去進(jìn)一步聯(lián)想和思考有沒有“等和數(shù)列”“等積數(shù)列”等問題.

3.等差數(shù)列通項公式的教學(xué)建議

等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)有多種方法，主要涉及兩種：不完全歸納法、累（疊）加法.其中利用不完全歸納法可以得到通項公式的猜想，從普通的事例聯(lián)想到有關(guān)知識，從簡單的情況入手，通過猜測歸納，發(fā)現(xiàn)并證明具有一般規(guī)律的結(jié)論.這種聯(lián)想、猜測、歸納、證明的途徑，如果能在學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常使用，將會有助于學(xué)生開拓思路，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提高解決問題的能力和開拓創(chuàng)新的精神.然而猜想的結(jié)論有可能正確，也有可能錯誤，所以必須進(jìn)行證明，只有證明猜想的結(jié)論成立才能使用，所以最好再用累（疊）加法進(jìn)行證明，而且介紹累（疊）加法也可以為后續(xù)等差數(shù)列前n項求和方法的學(xué)習(xí)作鋪墊.

等差數(shù)列通項公式可以變形為：an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）；也可以推廣為：am=an+（m-n）d或（m≠ n），所以在教學(xué)時要把等差數(shù)列的通項公式an看成關(guān)于n的一次函數(shù)，體現(xiàn)數(shù)列的函數(shù)特性，進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，讓學(xué)生明確以項數(shù)n為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、項an為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的點(diǎn)（n，an），在一條以公差d為斜率的直線上，所以對該直線上任意兩點(diǎn)（n，an）、（m，am）有

等差數(shù)列的通項公式與4個量有關(guān)，即首項a1、公差d、項數(shù)n、第n項an，而且首項a1、公差d是等差數(shù)列的兩個關(guān)鍵量，所以方程思想孕育而生.

4.等差數(shù)列作業(yè)設(shè)計的教學(xué)建議

根據(jù)各版本教材中例題、練習(xí)題、習(xí)題、思考題等的比較，從作業(yè)考查知識點(diǎn)的角度說，所有的例題、練習(xí)題、習(xí)題、思考題等題目都是圍繞等差數(shù)列的定義和通項公式的應(yīng)用來設(shè)計的：判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列，說明首項a1、公差d、項數(shù)n是多少；證明一個數(shù)列是否是等差數(shù)列；方程思想在等差數(shù)列通項公式中的應(yīng)用；等差中項概念的應(yīng)用；等差數(shù)列與線性函數(shù)（直線）的關(guān)系的應(yīng)用；解決等差數(shù)列應(yīng)用題時的設(shè)元方法和技巧；累加法的應(yīng)用；探究和應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）am=an+（m-n）d或，（2）若m+n=p+q，則am+an=ap+aq；（3）單調(diào)性：若公差d>0，則為遞增數(shù)列，若d<0，則為遞減數(shù)列，若d=0，則為常數(shù)列，（4）若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kan+pbn}（k、p是非零常數(shù)）也是等差數(shù)列，（5）構(gòu)造新數(shù)列，即如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).從作業(yè)量上說，根據(jù)前蘇聯(lián)瑪什比茨的研究結(jié)果“在對一個典型問題的運(yùn)算形成解法之前，無論在什么學(xué)科中，不同的學(xué)生需要1～22次聯(lián)系不等.”意思是說掌握一類問題的解決方法需要做1～22道同類練習(xí)題，題量過少，學(xué)生不易達(dá)到掌握的目的，題量過多，就會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.同時，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.所以在設(shè)計等差數(shù)列的定義和通項公式應(yīng)用的例題、習(xí)題、練習(xí)題、思考題和探究題時，要增加以生活實例、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題為背景或與其他知識綜合的題目，題型可以設(shè)計選擇題、判斷題、連線題、填表題和解答題，方式可以是探究題、趣味題、開放題，尤其要增加中國古代對等差數(shù)列的研究成果或?qū)⒅袊偶杏嘘P(guān)等差數(shù)列的題目進(jìn)行改編，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)對學(xué)生的愛國主義教育，培養(yǎng)學(xué)生探究新知的好奇心和對待科學(xué)鍥而不舍的精神，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

1.李建華，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：人民教育出版社，2004.

2.萬慶炎，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.嚴(yán)士健，王尚志，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

4.徐稼紅，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

5.查建國，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修4［M］.長沙：湖南教育出版社，2010.

6.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

7.李海良.等差數(shù)列教學(xué)的起點(diǎn)和目標(biāo)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（11）.

8.嚴(yán)士健，王尚志，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書教師教學(xué)用書數(shù)學(xué)必修5［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

9.劉電芝.教材的宏觀評價和微觀評價［J］.課程·教材·教法，1996（4）.