關(guān)于考研高等數(shù)學(xué)三的極限求解方法的探討

任全玉

[摘 要]考研高等數(shù)學(xué)分為高等數(shù)學(xué)一、高等數(shù)學(xué)二和高等數(shù)學(xué)三，它們的考試難度是依次遞減的。高等數(shù)學(xué)三一般是經(jīng)管類考研必考科目。極限問題又是每次考研必考的知識點。也是學(xué)生復(fù)習(xí)考研時的一個重點和難點。本文以近幾年高等數(shù)學(xué)三考研真題為例講解了在考研高等數(shù)學(xué)三中求極限問題常用的方法，并對經(jīng)管類考研學(xué)生復(fù)習(xí)極限提出建議。

[關(guān)鍵詞]極限;洛必達(dá)法則;等價無窮小;高等數(shù)學(xué)三

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.11.170

1 引 言

考研高等數(shù)學(xué)分為高等數(shù)學(xué)一、高等數(shù)學(xué)二和高等數(shù)學(xué)三。它們的難易程度是依次遞減的，高等數(shù)學(xué)三是它們?nèi)齻€中最簡單的，一般是經(jīng)管類考研必考科目。由于極限又是每年考研中必考的知識點，一般情況下是以一道大題的形式來考，在填空選擇中也常有出現(xiàn)。所以學(xué)生在準(zhǔn)備復(fù)習(xí)的過程中對極限非常重視。查閱各種資料來學(xué)習(xí)極限的各種求解方法。在這個方面花費了大量的時間。據(jù)不完全統(tǒng)計，極限的求解方法有20多種。其實對歷年考研高等數(shù)學(xué)三中的極限試題進行分析研究，會發(fā)現(xiàn)它所考查的方法也就是那么兩三種方法。如果掌握了這個規(guī)律可以幫助我們減輕復(fù)習(xí)的壓力。讓你覺得高等數(shù)學(xué)不是考試的難點。

2 教材中提到的求極限的方法

在吳傳生編寫的《經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分》中我們一般會學(xué)到以下求極限的方法：定義法;極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限;等價無窮小;洛必達(dá)法則。在書中還有提到其他方法，例如：利用無窮小求極限，利用定積分求極限，利用泰勒公式求極限，利用級數(shù)求極限等。通過對歷年高等數(shù)學(xué)三考研試題的分析研究發(fā)現(xiàn)它所考查的重點就是洛必達(dá)法則和等價無窮小。這兩種方法也是我們在求極限時最常用的方法，也是最有效的方法。

3 近幾年高等數(shù)學(xué)三考研真題求法分析

例1（2009年考研高等數(shù)學(xué)三真題）求極限limx→0e-ecos x31+x2-1.

分析：通過簡單的分析我們可以看到當(dāng)x→0的時候，這個極限的分子分母都是趨向于零的，也就是說它是一個00型的極限，這正好是我們洛必達(dá)法則所善于求解的形式，但是我們在用洛必達(dá)法則時應(yīng)該注意的問題是要和等價無窮小聯(lián)合起來應(yīng)用。我們看到在分母里有一個等價無窮小當(dāng)x→0時，31+x2-1～13x2，有了這個等價無窮小之后再用洛必達(dá)法則就簡單多了。解題過程如下：

解：limx→0e-ecos x31+x2-1=limx→0e-ecos x13x2=limx→0ecos xsin x23x=32

我們可以看到在這個極限的題中我們也只利用了等價無窮小和洛必達(dá)法則。要記住同一個題中往往是這兩種方法結(jié)合起來應(yīng)用。

例2（2012年考研高等數(shù)學(xué)三真題）計算limx→0ex2-e2-2cos xx4

分析：在這個題中當(dāng)x→0時，它的分子分母都趨于0，也就是說它是一個00型的極限。是我們洛必達(dá)法則適用的對象。又通過觀察我們發(fā)現(xiàn)在這里沒有明顯的等價無窮小的形式。我們可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則進行求解。接連應(yīng)用四次洛必達(dá)法則就可以求出結(jié)果。這種方法在這里就不展現(xiàn)給大家了。下面我們利用等價無窮小來處理這個題。在我們的幾個等價無窮小中，其中一個是x→0時，ex-1～x，想到這一點，我們可以在分子中產(chǎn)生這樣一個形式。具體解法如下：

解： limx→0ex2-e2-2cos xx4=limx→0e2-2cos x（ex2-2+2cos x-1）x4

=limx→0ex2-2+2cos x-1x4

=limx→0x2-2+2cos xx4

這時它轉(zhuǎn)化成一個00型的，再用洛必達(dá)法則。

limx→0x2-2+2cos xx4=limx→02x-2sin x4x3

=limx→0x-sin x2x3=limx→01-cos x6x2=112

通過這個例子我們又一次看到了，在這個極限的題中，我們也只應(yīng)用到了洛必達(dá)法則和等價無窮小這兩種方法來求極限。

例3（2014年考研高等數(shù)學(xué)三真題）求極限limx→0∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2ln（1+1x）.

分析：首先我們可以看到當(dāng)x→∞的時候這是個∞∞型的極限，所以我們大家很快會想到洛必達(dá)法則求極限的方法。但是我們談到在用洛必達(dá)求極限的時候要先看有沒有等價無窮小可以代換，我們看到當(dāng)x→+∞時，ln（1+1x）～1x，然后再用洛必達(dá)法則。下面按著這個一般的思路去解決這個題。

解：

limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2ln（1+1x）=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2.1x

=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx

=limx→+∞[x2（e1x-1）-x]

在此我們又可以看到它是一個∞-∞型的，在洛必達(dá)法則中提到這種型的要通分。

limx→+∞[x2（e1x-1）-x]=limt→0[1t2（et-1）-1t]

=limt→0et-1-tt2

這時它又是一個00型的，再用洛必達(dá)法則：

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12

在此我們又可以看到它是一個∞-∞型的，在洛必達(dá)法則中提到這種型的要通分。

limx→+∞[x2（e1x-1）-x]=limt→0[1t2（et-1）-1t]

=limt→0et-1-tt2

這時它又是一個00型的，再用洛必達(dá)法則：

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12

通過上面這三個實例我們不難發(fā)現(xiàn)，考研高等數(shù)學(xué)三極限題中，它所考查方法就是洛必達(dá)法則和等價無窮小這樣兩種方法，所以大家在復(fù)習(xí)時應(yīng)把復(fù)習(xí)重點放在這兩種方法上。這樣可以節(jié)省很多時間。

下面我們在根據(jù)多年對考研高等數(shù)學(xué)三的分析總結(jié)，以及數(shù)學(xué)這門課程的特點。就高等數(shù)學(xué)三考研復(fù)習(xí)給出一點建議。

4 考研高等數(shù)學(xué)三復(fù)習(xí)的建議

4.1 以教材為復(fù)習(xí)重點

在考研復(fù)習(xí)的時候，很多學(xué)生對復(fù)習(xí)資料的選擇上猶豫不定。通過分析歷年的高等數(shù)學(xué)三考研試題我們不難發(fā)現(xiàn)，這些題的類型我們在教材的習(xí)題中都有。甚至它的難度要比我們書中的題簡單。有時我們對考研題進行求解時，甚至發(fā)現(xiàn)這個題中有我們書上題的影子。再者，經(jīng)管類的考研的內(nèi)容里都包含了一些經(jīng)濟專業(yè)的一些問題，這在除了教材外其他資料里很少出現(xiàn)的，所以我們在復(fù)習(xí)的時候應(yīng)該把教材作為我們復(fù)習(xí)的重點。

4.2 脫離參考答案

大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，總是離不開課后參考答案。當(dāng)一個題不會做時，他們往往不給自己過多的考慮時間就去翻看參考答案。通過多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，這是學(xué)生不會做數(shù)學(xué)題最關(guān)鍵的問題之一。經(jīng)常翻看答案書往往導(dǎo)致學(xué)生不會自己思考問題。當(dāng)遇到不會做的題時要多留給自己一些時間去思考，慢慢地就會自己獨立思考了。如果確實不會了，那么也盡量不去看答案，可以向老師或者同學(xué)請教。

4.3 多做總結(jié)

很多學(xué)生在復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，采取的方法是多做題，采用所謂的“題海戰(zhàn)術(shù)”，這樣做會非常辛苦，效果不明顯。當(dāng)做錯一個題后，一看標(biāo)準(zhǔn)答案覺得看懂了就可以了。這往往“事倍功半”。我們要善于總結(jié)。當(dāng)一個題做錯或者不會做時，要總結(jié)一下自己是哪個知識點沒搞懂，從而做到“事半功倍”。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]李永樂.數(shù)學(xué)考研復(fù)習(xí)全書[M].北京：國家行政學(xué)院出版社，2013.