關(guān)于多件獨立事件發(fā)生的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望的探究

趙梓涵

【摘要】 對多件獨立事件的發(fā)生件數(shù)的數(shù)學(xué)期望進行了研究，通過例題提出了猜想并最終通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)形成了結(jié)論公式.

【關(guān)鍵詞】多件獨立事件;數(shù)學(xué)期望;公式;數(shù)學(xué)歸納法

一、問題引出

例1 甲、乙、丙三人射擊，射中靶子的概率分別是12，13，23（相互獨立），求射中靶子的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

解 記x為射中靶子的人數(shù).

易發(fā)現(xiàn)1.5=12+1/3+2/3.這究竟是一個巧合還是一個規(guī)律呢，那么，我們再來看一個例子：

例2：甲、乙兩個工人生產(chǎn)零件是優(yōu)等品的概率分別是12，14（相互獨立），求甲、乙各生產(chǎn)一個零件，優(yōu)等品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

解：記x為優(yōu)等品件數(shù).

P（x=1）=12;P（x=2）=18;

所以E（x）=1×P（x=1）+2P（x=2）=58.

易發(fā)現(xiàn)58=12+14.由上述兩例可猜想多次獨立事件發(fā)生件數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值為各個事件發(fā)生概率之和.下面筆者就此問題展開論證.

二、數(shù)學(xué)證明（注：以下不加說明時，x為發(fā)生事件個數(shù)）

由于事件個數(shù)及事件發(fā)生概率未知，所以不妨設(shè)有n件獨立事件且每件事件發(fā)生概率分別為P1，P2，P3，…，Pn.鑒于n可變化，不妨用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個結(jié)論.

首先對于n=1的情況顯然E（x）=P1結(jié)論成立.

假設(shè)n=k的情況下結(jié)論成立，

即E（x）=∑ki=0[i·P（x=i）]=∑ki=1pi.

對于n=k+1的情況：為方便分析，我們可令P_k+2=a.

這時易得：

所以對于n=k+1結(jié)論成立，

又因為n=1時結(jié)論成立，所以對于n∈R，

E（x）=∑ni=1Pi.

至此，猜想被證明不是巧合而是正確的，

三、問題應(yīng)用

首先，當所有事件發(fā)生概率相同，都為p時，即n次獨立重復(fù)事件，此時E（x）=np.可見數(shù)學(xué)課本上對于n次獨立重復(fù)事件的數(shù)學(xué)期望求解公式為上述公式的一個特殊情況.

其次，該公式相當于n次獨立重復(fù)事件的數(shù)學(xué)期望求解公式的一個推廣，可以解決生產(chǎn)生活中n次獨立重復(fù)事件的數(shù)學(xué)期望求解公式不能解決的一系列問題.

此外，還可以對多次獨立事件發(fā)生件數(shù)的概率及方差的研究提供幫助.