化歸方法中常見問題的處理

曹輝

轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)中常見、常用的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡.本人在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，同一道數(shù)學(xué)問題不同的學(xué)生來思考或同一名學(xué)生以不同的角度用不同的方法來思考，可能會得到截然不同的結(jié)果.一部分原因是由于對問題的轉(zhuǎn)化不等價造成的.本文就針對轉(zhuǎn)化中的等價轉(zhuǎn)化中常見的問題進行研究.

一、三角函數(shù)及解三角形中的等價轉(zhuǎn)化問題

1.設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列，則sinA+tanCcosAsinB+tanCcosB的取值范圍是

.

學(xué)生解法：原式=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sinBsinA=ba.

（1）

∵b2=ac，

∴（1）=ca，由構(gòu)成三角形的條件可知：a+b>c，a+c>b，b+c>a且b2=ac，不等式組轉(zhuǎn)化為a+ac>c，a+c>ac，ac+c>a，解得：5-12

問題剖析：（1）式的得到實際上利用了轉(zhuǎn)化的思想，但在問題的轉(zhuǎn)化中，（1）式與原式并不等價.原因是：原式中要求C≠π2，而（1）式中，C可以等于π2，這就造成了在化歸中（1）式和原式不等價性，即滿足的是充分不必要條件，范圍被擴大了.原式須等價轉(zhuǎn)化為（1）式和條件c2≠a2+b2，正解為5-12，5-12∪5-12，5+12.

二、函數(shù)中的等價轉(zhuǎn)化問題

2.設(shè)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，則b2+c2的最大值與最小值的和為

.

學(xué)生解法：∵f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，易知f（3）=1，即9+3b+c=1，∴c=-8-3b.

（1）

f（x）=x2+bx-3b-8，|x|≥2，f（x）≥0|x|≥2，b（3-x）≤x2-82≤x<3或x≤-2時，b≤x2-83-x.

x>3時，b≥x2-83-x;x=3時，b∈R.解得：-8≤b≤-4.

（2），

由（1）（2）可知：b2+c2=10b2+48b+64，

∴（b2+c2）min=32，（b2+c2）max=320.

問題剖析： ∵f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，只滿足f（3）=1（c=-8-3b）不能說明f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，需加條件-b2≤52，即b的范圍為[-5，-4].

三、不等式中的等價轉(zhuǎn)化問題

3.已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（c>b>a），其圖像過點（1，0），且與直線y=-a有公共點，則

ba的取值范圍

.

學(xué)生解法：由題設(shè)：a+2b+c=0，c>b>a得：a<0，c>0c=-a-2b>0，解得ba>-12.

又y=-a有公共點得：方程ax2+2bx+c+a=0有實根， 即：Δ=4b2-4a（c+a）=b2+2ab≥0，解得ba≥0或ba≤-2，綜上：ba≥0.

問題剖析：上述解法的范圍被擴大了，滿足的條件應(yīng)為：-a-2b>b

-a-2b>a

b>a

b2+2ab≥0，解得0≤ba<1.

四、解析幾何中的等價轉(zhuǎn)化問題

4.F1，F(xiàn)2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為直角三角形的三個頂點，則P到x軸的距離為

.

學(xué)生解法：（1）若 P為直角頂點，設(shè)P （x，y）.焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別是（-3，0），（3，0）.由PF1⊥PF2可得PF1·PF2=0，∴x2-9+y2=0，將該式代入橢圓方程得|y|=163.

（2）若F1為直角頂點，設(shè)P （x，y），將x=-3代入橢圓方程得，|y|=165.

問題剖析：通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，在第一類討論中將|y|=163代入x2=9-y2會發(fā)現(xiàn)x2<0，這樣的x值不存在，也就是說P不可能是ΔPF1F2的直角頂點.因此|y|=163是錯解.已知兩個二次曲線方程，判斷它們的位置關(guān)系，不能使用判別式了，因聯(lián)立方程后所得方程中變量的取值范圍發(fā)生了變化，即方程的轉(zhuǎn)化不等價.解答時要看方程組解的情況.

在高中的學(xué)習(xí)過程中，需要對等價轉(zhuǎn)化的思想方法進行理解、深化，即等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的，等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后所得結(jié)果為原題的結(jié)果.

【參考文獻】

[1]朱紅霖.中學(xué)數(shù)學(xué)思維隱形錯誤探源.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012年第二期.

[2]靈東.這種解法怎么少了一個值.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013年第4期（上旬）.