常見(jiàn)的因式分解方法探究

宋林

[摘要]初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多項(xiàng)式的因式分解是很重要的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的好壞，直接關(guān)系著分式、一元二次方程和二次函數(shù)學(xué)習(xí)的好壞.因式分解的方法有很多，主要敘述了幾種常見(jiàn)的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力.

[關(guān)鍵詞]因式分解探究多項(xiàng)式

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）110047

學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的因式分解，要知道因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系.整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；而因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式的乘積的形式.這就是說(shuō)，知道了這種區(qū)別與聯(lián)系，不僅可以知道因式分解的意義，而且可以把整式乘法的過(guò)程反過(guò)來(lái)，從而得到因式分解的一些方法.因式分解的方法有很多，初中數(shù)學(xué)教材主要講了提公因式法和公式法.要徹底學(xué)好因式分解還要掌握一些常見(jiàn)的分解方法.下面介紹幾種常見(jiàn)的因式分解方法.

一、配方法

所謂配方法，就是通過(guò)加減項(xiàng)把一個(gè)式子的一部分配成完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和或差的形式，配方法的關(guān)鍵是先配出完全平方式，然后在此基礎(chǔ)上分解因式.

【例1】分解因式a4+3a2+14ab+4-49b2.

解：原式=a4+4a2+4-a2+14ab-49b2=（a2+2）2-（a-7b）2=（a2+2+a-7b）（a2+2-a+7b）.

二、分組分解法

分組分解法適用于四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，分組的基本原則是：（1）分組后可以直接提取公因式；（2）分組后可以直接應(yīng)用公式.

【例2】分解因式a2+a-4b2-2b.

解：原式=（a2-4b2）+（a-2b）=（a+2b）（a-2b）+（a-2b）=（a-2b）（a+2b+1）.

三、拆項(xiàng)變形法

當(dāng)多項(xiàng)式不易直接分解因式時(shí)，可考慮將其中的某項(xiàng)拆成幾項(xiàng)的和，拆項(xiàng)的原則是：拆項(xiàng)后有利于提取公因式，或者能運(yùn)用乘法公式等方法分解因式.這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.

【例3】分解因式a3+4a2+a-6.

解：原式=a3+3a2+a2+3a-2a-6=a2（a+3）+a（a+3）-2（a+3）=（a+3）（a2+a-2）=（a+3）（a+2）（a-1）.

本例也給出了一元三次多項(xiàng)式因式分解的一個(gè)基本方法：拆二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，使原來(lái)的四項(xiàng)變成六項(xiàng)，從高次到低次，每相鄰兩項(xiàng)分為一組，把六項(xiàng)分成三組.拆項(xiàng)的原則是要求三組的系數(shù)比相等，然后這三組用分組分解法進(jìn)行分解.

四、添項(xiàng)變形法

當(dāng)因式分解缺項(xiàng)不能應(yīng)用公式法、十字相乘法等進(jìn)行因式分解時(shí)，往往可考慮在分解式中加減一個(gè)相同的項(xiàng)，然后再分解.這種加減一個(gè)相同項(xiàng)的變形叫做添項(xiàng)變形.

【例4】分解因式4m4+81.

解：原式=4m4+36m2+81-36m2=（2m2+9）2-（6m）2=（2m2+6m+9）（2m2-6m+9）.

五、換元變形法

若多項(xiàng)式中的一些項(xiàng)本身又含有多項(xiàng)式，這種因式分解的過(guò)程勢(shì)必冗長(zhǎng).對(duì)此，常可設(shè)輔助未知數(shù)來(lái)替代某些多項(xiàng)式，使分解過(guò)程得到簡(jiǎn)化，以利于分解.把多項(xiàng)式中相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法.（注意：換元后不要忘記還元）

【例5】分解因式（x2+3x-2）（x2+3x-6）+4.

解：設(shè)y=x2+3x，則原式=（y-2）（y-6）+4=y2-8y+16=（y-4）2=（x2+3x-4）2=（x+4）2（x-1）2.

六、主元素法

這是針對(duì)二元多項(xiàng)式或者多元多項(xiàng)式分解因式的一種方法.分解時(shí)，先根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選定某一個(gè)字母為主元素，視其他字母為常量，將原式按降冪排列，重新整理成關(guān)于這個(gè)字母的多項(xiàng)式，然后進(jìn)行因式分解.

【例6】分解因式m2+4mn+3n2+2m+10n-8.

解：因?yàn)檫@是一個(gè)二元二次多項(xiàng)式，所以，不妨設(shè)m為主元素，得

原式=m2+2（2n+1）m+3n2+10n-8=m2+2（2n+1）m+（2n+1）2-（2n+1）2+3n2+10n-8=（m+2n+1）2-n2+6n-9=（m+2n+1）2-（n-3）2=（m+3n-2）（m+n+4）.

上面介紹了在因式分解時(shí)比較常用的一些變形方法.由于因式分解的方法有多種，因此變形方法也比較靈活，到底在什么情況下用哪種變形方法，就要根據(jù)分解式的特點(diǎn)而定.有時(shí)幾種變形方法可能同時(shí)應(yīng)用，對(duì)較復(fù)雜的分解式往往要綜合運(yùn)用上述變形方法進(jìn)行變形才能分解.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）