以研立學(xué) 因?qū)W而教

周艷

[摘 要]“梯形的面積計(jì)算”是在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了長方形、正方形，尤其是平行四邊形和三角形的面積計(jì)算和梯形的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題。特級(jí)教師周衛(wèi)東教學(xué)此內(nèi)容時(shí)，沒有沿襲以往的教學(xué)思路，亦步亦趨地讓學(xué)生從“0”開始進(jìn)行學(xué)習(xí)，而是立足于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以研立學(xué)，因?qū)W而教，通過引導(dǎo)點(diǎn)撥讓學(xué)生經(jīng)歷了自主研究與發(fā)現(xiàn)，最終獲得提升的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在再創(chuàng)造中自我建構(gòu)新知、解決問題。

[關(guān)鍵詞]自我建構(gòu) 數(shù)學(xué)思考 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-017

【片斷一】各小組交流如何計(jì)算梯形面積后匯報(bào)。

生1：我是這樣想的，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，那么兩個(gè)完全一樣的梯形也可以拼成一個(gè)平行四邊形，拼成的平行四邊形的底等于梯形的上底加下底，平行四邊形的高就是梯形的高，而梯形的面積就這個(gè)平行四邊形的一半，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。（方法1）

生2：我有不同的方法。把梯形分成兩個(gè)三角形，因?yàn)槿切蔚拿娣e我們是會(huì)算的，梯形的面積=三角形1的面積+三角形2的面積，三角形1的面積就是（底1×高÷2），三角形2的面積就是（底2×高÷2），如圖1，底1就是梯形的上底，底2就是梯形的下底，梯形的高也就是三角形的高，所以梯形的面積就是“（梯形上底+梯形下底）×高÷2”。（方法2）

生3：還可以把梯形分成平行四邊形和三角形。平行四邊形的面積是底×高，三角形面積是底×高÷2，平行四邊形的底是梯形上底，三角形的底是（梯形下底-梯形上底）。那么平行四邊形的面積就是“梯形上底×高”，三角形面積是“（梯形下底-梯形上底）×高÷2”，把兩部分合起來就是“梯形上底×高+（梯形下底-梯形上底）×高÷2”，把這個(gè)算式整理一下就是“梯形下底×高÷2+梯形上底×高÷2”，也就是“（梯形上底+梯形下底）×高÷2”。（方法3）

生4：我還有不同的方法。在梯形的腰上找到中點(diǎn)，連接A點(diǎn)和中點(diǎn)，將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)新的三角形，新三角形的面積和原來梯形面積相同，新三角形的面積是（底×高÷2），新三角形的底就是（梯形上底+梯形下底），所以梯形的面積就是（梯形上底+梯形下底）×高÷2。（方法4）

生5：我和生4的方法有一點(diǎn)類似，把梯形沿著腰的中點(diǎn)分割開，然后補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形。這個(gè)拼成的平行四邊形的面積和原來梯形的面積是一樣的，平行四邊形的底就是梯形的上底加下底的和，平行四邊形的高是梯形的高的一半，平行四邊形的面積是（梯形上底+梯形下底）×（高÷2），所以梯形的面積也就是（梯形上底+梯形下底）×高÷2。（方法5）

生6：我想問為什么從中點(diǎn)切開，補(bǔ)成的這個(gè)圖形就是一個(gè)平行四邊形呢？

生7：我可以用一個(gè)梯形剪一下。（操作演示了從梯形中位線剪開拼成平行四邊形的過程）

師：生6的問題提得很好，說明他很善于思考，不過生7也很愛懂腦筋，能想到用一個(gè)梯形進(jìn)行簡拼。生5的推理方法是正確的，但是以我們目前學(xué)習(xí)的方法還不能嚴(yán)格地證明這種推導(dǎo)方法，有興趣的同學(xué)課后可以再學(xué)習(xí)。

師：在這里，老師還有一個(gè)問題，在這些方法中都要除以2，為什么梯形的面積計(jì)算要除以2呢？

生8：因?yàn)橛脙蓚€(gè)完全一樣的梯形可以拼成平行四邊形。我們先算了平行四邊形的面積，因?yàn)槠叫兴倪呅问怯蓛蓚€(gè)完全相同的梯形拼起來的，所以算梯形的面積當(dāng)然要用平行四邊形的面積除以2了。

……

《禮記·學(xué)記》中記載：“獨(dú)學(xué)而無友，則孤陋而寡聞。”學(xué)習(xí)需要有獨(dú)立思考的過程，但更需要有合作交流的成分，課堂展示交流充分將學(xué)生的學(xué)習(xí)收獲分享于眾，展示交流為他們個(gè)性化的思考提供了巨大的空間，從而使學(xué)生獲得一種莫大的成就感。首先讓學(xué)生充分運(yùn)用割補(bǔ)、平移和旋轉(zhuǎn)等策略，通過遷移轉(zhuǎn)化，溝通了平面圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，得出公式推導(dǎo)的多種方法，落腳點(diǎn)都是梯形的面積計(jì)算公式，最后，再將梯形面積計(jì)算公式中“除以2”的難點(diǎn)留給學(xué)生去解釋。整個(gè)教學(xué)過程中教師退居講臺(tái)之后，只在學(xué)生有疑難處適時(shí)出手，強(qiáng)調(diào)了重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，真正落實(shí)了教學(xué)目標(biāo)。

【片斷二】師：剛才同學(xué)們想出了不同的方法推導(dǎo)出了梯形的面積計(jì)算公式，非常了不起，反觀這幾種方法，你能找一找這些方法之間的相同和不同嗎？

生1：這些方法都是將梯形轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的圖形來計(jì)算面積，然后推導(dǎo)出梯形面積計(jì)算的方法的。

生2：方法2和方法4是把梯形轉(zhuǎn)化成三角形來算的。

生3：方法1和方法5是把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形來算的。

師：在轉(zhuǎn)化時(shí)用的方法上有什么類似的地方嗎？

生4：方法2、方法3是把梯形分割成我們學(xué)過的圖形來算的。

師：這兩種方法用到了分割的策略。（板書“分割”）

生5：方法4、方法5是把梯形剪開，然后再拼成新的圖形來算的。

師：這兩種方法用到了剪拼的策略。（板書“剪拼”）

師：這些方法都是將梯形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形進(jìn)行計(jì)算的。

……

對于梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，多樣的方法并非教學(xué)目的，而是通過多種方法的展示，讓學(xué)生之間可以相互學(xué)習(xí)、相互啟發(fā)、開拓思路、啟迪智慧。教師在尊重學(xué)生主體地位的同時(shí)，還應(yīng)該時(shí)刻記住自己的主導(dǎo)身份，適時(shí)點(diǎn)撥，揭示知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生理清相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別。在這里，學(xué)生面對多種推導(dǎo)方法，到底要從這些方法中學(xué)到什么？這是我們教師需要心中有數(shù)的，因?yàn)榫唧w的知識(shí)應(yīng)用是十分有限的，解決問題的方法與策略才是更高層次的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是我們所追求的教學(xué)目標(biāo)。在面積推導(dǎo)中蘊(yùn)含了豐富的轉(zhuǎn)化策略，和將未知轉(zhuǎn)化成已知的數(shù)學(xué)思想，教師通過適當(dāng)?shù)奶釂?，引?dǎo)學(xué)生再次反觀眾多方法，異中求同，提煉了“剪拼、分割”的轉(zhuǎn)化策略，使學(xué)生深刻體會(huì)到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)的相關(guān)學(xué)習(xí)積累了有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【片斷三】學(xué)生在明確了梯形的面積計(jì)算公式后，已經(jīng)會(huì)運(yùn)用梯形的面積計(jì)算公式進(jìn)行簡單計(jì)算。周老師沒有就此打住，而是出示了一道變式題，將學(xué)生的思維引向深處。

生：46-20=26（米），26×20÷2=260（平方米）。

師：這里沒有給出梯形的上底和下底，你是怎么求的？

生：我們求梯形的面積時(shí)要知道上底和下底是為了知道上底和下底的和，在這里求出“46-20”就可以知道上底和下底的和了，所以就可以求梯形的面積了。

師：做了這道題，你有什么想法？

生：不要生搬硬套梯形的面積公式，有時(shí)候不知道上底和下底分別是多少也沒關(guān)系，關(guān)鍵是要知道梯形上底和下底的和。

……

學(xué)習(xí)是一種積累的過程，它不在于解決問題的某種小技巧，而是一種面對新問題勇于嘗試與探究的精神與勇氣，最重要的思想是讓大多數(shù)人能夠以他們可以接受的方式主動(dòng)學(xué)習(xí)，讓所有人能從學(xué)習(xí)中獲得自信，和一份積極向上的精神狀態(tài)。學(xué)習(xí)“梯形面積的計(jì)算”這一內(nèi)容，直接套用梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，大部分學(xué)生都可以很熟練，然而，這樣的基礎(chǔ)練習(xí)容易讓學(xué)生產(chǎn)生思維定式，影響對梯形面積計(jì)算的靈活應(yīng)用，而這道練習(xí)題的呈現(xiàn)，打破了學(xué)生原先的思考套路，讓他們在練習(xí)中自己發(fā)現(xiàn)計(jì)算梯形面積時(shí)并不是一定要知道梯形的上底和下底分別是多少，關(guān)鍵是要知道上底加下底的和，從而領(lǐng)會(huì)梯形面積計(jì)算的核心要義，真正實(shí)現(xiàn)了“讓人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”課程目標(biāo)要求。

（責(zé)編 金 鈴）