空間角求解策略的比較研究

☉江蘇省青山高級中學 吳建明☉江蘇省無錫市河埒中學 顧雪

空間角求解策略的比較研究

☉江蘇省青山高級中學 吳建明☉江蘇省無錫市河埒中學 顧雪

在高中階段代數(shù)和幾何是其主體內(nèi)容，而立體幾何是高中幾何知識的重要組成部分，在立體幾何有限的考查的知識點中，有關(guān)空間角的計算是一個高考出現(xiàn)頻率非常高的內(nèi)容.按照求解過程所依據(jù)的理論的不同，可以將空間角的求解策略分成兩類：一類以立幾的相關(guān)定理和公理為依據(jù)的傳統(tǒng)幾何法；一類是依據(jù)空間向量理論而求解的向量法.每類方法有各自不同的特點和缺陷，因此，有必要對兩種理論進行深入的比較研究，以明晰各自的優(yōu)勢所在，從而為學生提升解題質(zhì)量提供幫助.

一、實踐層面：實際解題過程的對比呈現(xiàn)

例1如圖1，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP與CC′所成角的大?。?/p>

（2）求DP與平面AA′DD′所成角的大小.

二、理論層面：相關(guān)解題思想的對比呈現(xiàn)

實踐層面的對比呈現(xiàn)，還不足以完整地刻畫出傳統(tǒng)幾何法與向量法的差異，因此有必要再從理論層面對兩者進行梳理，以明晰兩者之間的區(qū)別.從實踐中不難發(fā)現(xiàn)空間中的角依據(jù)組成要素的不同，有線線角、線面角，其實還應包含一類由面與面所形成的角，即面面角，以下按角的分類，進行兩類方法的對比研究.

1.線線角的求法

首先，傳統(tǒng)幾何法求解異面直線所成角，主要是借助于平行四邊形和三角形中位線的平行特性，關(guān)鍵在于抓三個步驟：①“作”，即過空間某一點作平行線，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成平面角；②“證”，即證明所構(gòu)造的角即為所求異面直線所成角；③“算”，即通過三角形三邊關(guān)系，利用余弦定理求解所成角.

其次，向量法求解異面直線所成角，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成兩條直線方向向量夾角，特別需要注意的是方向向量的夾角與異面直線所成角的范圍上的差異，即若兩向量夾角的余弦值為負值時，所求角應為向量夾角的補角.其步驟包含：①建立適合的坐標系，寫出兩條異面直線的方向向量a和b，設其夾角為φ；②利用幾何體的特性，求解方向向量的坐標；③利用向量數(shù)量積公式

2.線面角的求解

首先，傳統(tǒng)幾何法求解直線與平面所成角，主要是借助解三角形的理論，關(guān)鍵做好以下幾個步驟：①“構(gòu)造”，即過所在直線上一點作平面的垂線，連接垂足與斜足，構(gòu)造直角三角形；②“求值”，即通過幾何體上的數(shù)量關(guān)系求解三角形的邊長；③“求角”，即利用余弦定理或直角特性求角的余弦值.

其次，向量法求解線面角，將線與面所成角轉(zhuǎn)化成線的方向向量與面的法向量之間的夾角，需要注意的是向量所成角與線面角的特殊關(guān)系.根據(jù)圖5可以發(fā)現(xiàn)，向角函數(shù)誘導公式sinθ=|sinα|，其操作步驟為：①建立空間直角坐標系；②求直線的方向向量a；③求平面的法向量n；④利用sinθ= |sinα|計算.

圖5

圖6

3.面面角的求解

首先，傳統(tǒng)幾何法求解面面角，按照如下三個步驟：①作，作出二面角的平面角；②證，證明所作角符合二面角的平面角定義；③算，通過解三角形計算角的余弦值.

其次，向量法求解面面角，將面與面的平面角轉(zhuǎn)化兩平面法向量的夾角，需要注意的是面面角與兩法向量夾角的特殊關(guān)系.根據(jù)圖6可以發(fā)現(xiàn)面面角θ與法向量夾角α的關(guān)系為：當法向量的方向一進一出時θ=α；當法向量的方向同進同出時θ=π-α.其操作步驟為：①建立直角坐標系；②求解面的法向量；③利用向量數(shù)量積公式求角向量夾角；④判定二面角的大小，求夾角的余弦值.

三、反思總結(jié)：兩類求解策略的比較研究

反思上述理論與實踐操作的過程，對比每種角的兩類求解方法，不難發(fā)現(xiàn)兩類方法在求解過程中的聯(lián)系與區(qū)別.

在聯(lián)系方面，首先，它們有著共同的理論基礎(chǔ)，即經(jīng)典立體幾何理論，傳統(tǒng)立體幾何法以經(jīng)典的幾何理論為指導思想，通過添加輔助線的方式構(gòu)造空間中的角，而向量法則以經(jīng)典立體幾何理論將空間中的角轉(zhuǎn)化成了空間向量的夾角；其次，從數(shù)學思想方面講，兩者均體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，傳統(tǒng)幾何法通過添加輔助線將待求的角轉(zhuǎn)化成新構(gòu)成的角，而向量法則是將待求轉(zhuǎn)化成兩個相關(guān)向量的夾角；再次，從數(shù)學模型上講，兩者都有各自固定的解題模式，傳統(tǒng)幾何法概括起來可以用“作”、“證”、“算”三個字來表達；然后，根據(jù)相關(guān)理論來證明所作角即為待求角；最后，根據(jù)解三角形的相關(guān)理論，利用正余弦定理求解空間角的大小.

在區(qū)別方面，首先，從兩者思維突破的關(guān)鍵點上看，幾何法思維突破的關(guān)鍵點在于構(gòu)造，而向量法思維突破的關(guān)鍵點在于轉(zhuǎn)化.解題思想和實際操作都向我們昭示著這樣一個事實，即無論求解哪類角，幾何法都無法避免增加輔助線，而輔助線的增加講究的是合適的位置，但這對于抽象能力稍弱的學生而言往往是使其陷入困境的原因所在，而向量法則不同，它利用向量夾角與空間角之間的聯(lián)系，實現(xiàn)兩者間的轉(zhuǎn)化，所需要的僅僅是學生的計算能力，而高中生計算能力相比于構(gòu)造能力而言應當是優(yōu)勢項目.其次，從兩者思維的流暢性上講，向量法的思維運算的復雜程度要比傳統(tǒng)幾何法的思維運算的復雜程度低的多.以問題（1）為例，傳統(tǒng)幾何法過程上看似非常簡單，但三條輔助線添加、三次余弦值的求解，并且還需要通過比例式建立三個余弦值之間的聯(lián)系，這樣的思維組合遠非其計算過程所能比擬的，其中的任何一個環(huán)節(jié)足以讓學生的思維陷入停頓，而向量法則不同，它所需要作的僅僅是找到向量的坐標，利用向量數(shù)量積的公式求解即可.當然比較兩種方法的實際操作過程，也可以發(fā)現(xiàn)向量法在降低思維復雜性的同時也一定程度上增加了計算的復雜性，但這種程度是在學生可以接受的范圍內(nèi)的.

總而言之，向量法與傳統(tǒng)幾何法在求解空間角的問題上各有各的優(yōu)勢和缺陷，但在權(quán)衡利弊后，總體上向量法回避了復雜程度高的幾何技能，發(fā)揮了更有優(yōu)勢的代數(shù)運算技能.A