例談講題教學(xué)中的一題多解和多思

☉江蘇省金壇市第四中學(xué) 孫惠萍

例談講題教學(xué)中的一題多解和多思

☉江蘇省金壇市第四中學(xué) 孫惠萍

數(shù)學(xué)試題往往有多種解法，學(xué)生在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)根據(jù)學(xué)生自身對問題的熟悉程度和知識(shí)存儲(chǔ)于腦海中的熟練程度進(jìn)行取舍.教師面對解決方案比較多的問題時(shí)，往往可以呈現(xiàn)一題多解的方式引導(dǎo)學(xué)生辨別、思考哪些解法更為優(yōu)秀、更值得總結(jié)和吸收.筆者常常在公開課中看到教師在講解一題多解的問題時(shí)，基本的呈現(xiàn)模式是：分析思考→多解探索→總結(jié)方法.這種流程是現(xiàn)階段一題多解復(fù)習(xí)教學(xué)主要采用的，這里筆者覺得教師對問題的分析是透徹了，但是對于一題多解的本質(zhì)認(rèn)知向?qū)W生滲透的還是不足，缺失一種更高層面的問題思考，這樣的一題多解只能適用于學(xué)生能夠做一些做過的數(shù)學(xué)問題，遇到新的數(shù)學(xué)問題學(xué)生往往依舊是一片茫然.筆者認(rèn)為，一題多解不能僅限于上述基本解題層面，更需要向?qū)W生滲透一題多思，從思想層面去引領(lǐng)一題多解.

（1）對于一題多解要關(guān)注學(xué)生形成解法的解題心理機(jī)制，要反思學(xué)生為何從這樣的角度分析問題，有時(shí)教師將同一類型的問題講解十余遍，學(xué)生依舊我行我素使用錯(cuò)誤的方法，這里的反思、分析值得教師深思.

（2）對于一題多解還不能僅僅依賴于就題論題，要從問題中尋找解決問題的更高背景，筆者以為，可以從問題解決的思想方法角度、問題解決的知識(shí)性整合角度等不同視角去看待一題多解和一題多思，依賴問題而又高于問題地看待一題多解，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是大有益處的.

一、源于深刻背景的一題多解

很多數(shù)學(xué)問題具備高等數(shù)學(xué)的背景，其在初等數(shù)學(xué)中以具體形態(tài)展示，這些問題的一題多解和一題多思是對于學(xué)生思維深刻性的一種觸及，是利用多解提高學(xué)生知識(shí)廣度和深度的方向.

例1在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長為9，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，此時(shí)AB的長為____________.

分析：本題立足于兩個(gè)不同深刻背景，其一是高等數(shù)學(xué)中的阿波羅尼斯圓，其二是初等數(shù)學(xué)中的平行四邊形對角線性質(zhì)，其他的方式也可以解決，但是缺乏最本質(zhì)的背景支撐，筆者認(rèn)為教師要講透本題，最應(yīng)該講解的方法正是下面兩種.

說明：高等數(shù)學(xué)背景下的數(shù)學(xué)問題在高考中有很多試題編制，有興趣的讀者可以研究常用的阿波羅尼斯圓、向量極化恒等式、拉格朗日中值定理等，這些高等數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)常常成為高考試題編制的?？?筆者再舉向量極化恒等式請讀者繼續(xù)研究：向量極化恒等

問題1：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，

問題2：P是棱長為2的正方體上一動(dòng)點(diǎn)，AB是正方體內(nèi)切球的任意一條直徑，則的取值范圍是_________.

二、源于思想方法的一題多解

數(shù)學(xué)思想方法是需要在講題教學(xué)時(shí)積極滲透的，以往傳統(tǒng)的講題對于思想方法的滲透并不積極，更多的是以數(shù)學(xué)問題解決的技巧和方式為主，筆者認(rèn)為這種方式并不可取，因此現(xiàn)階段教學(xué)中更要關(guān)注講題的一題多解和思想方法的滲透.

例2過x軸上一動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點(diǎn)，設(shè)切線AP、AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

分析：解析幾何問題主要是數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求思想、類比思想、整體思想的運(yùn)用，在一題多解時(shí)積極滲透關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法是一題多思的講題關(guān)鍵.

說明：上述三種講題的思路和解答均為學(xué)生解答，筆者在分析本題第（1）問時(shí)，給學(xué)生娓娓道來三種不同解法之間的思想方法，學(xué)生都比較認(rèn)同的是解法1和解法3，第一種思想將設(shè)而不求運(yùn)用巧妙，減少了運(yùn)算量受學(xué)生歡喜，第三種類比思想是解析幾何問題中常常出現(xiàn)的，學(xué)生較為熟悉，因此學(xué)生也較為認(rèn)同接受，盡管相比第一種思想運(yùn)算來得較大，但是對第（2）問做好了運(yùn)算鋪墊，經(jīng)過講解學(xué)生一致對第二種解出k1、k2的解法認(rèn)為不可取，在實(shí)際應(yīng)試中學(xué)生即能理解解析幾何問題一般都會(huì)運(yùn)用設(shè)而不求思想和類比思想.

本題第（2）問涉及直線過定點(diǎn)問題，一般都需要通過寫出直線的方程來求解.

說明：對于本題第（2）問，能夠解出問題的學(xué)生基本使用了解法3，這種設(shè)而不求的思想在解析幾何問題中常常使用，相比而言解法2也有少數(shù)學(xué)生使用，其對于問題的分析使用了整體代換的思想，結(jié)合韋達(dá)定理的使用，因此從本題一題多解、多思中向?qū)W生滲透的是解析幾何需要關(guān)注的設(shè)而不求和數(shù)形結(jié)合思想.

三、源于方向掌控的一題多解

對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)問題的解決有時(shí)是成功了，有時(shí)是失敗了.筆者常常問學(xué)生，你知不知道為什么有時(shí)類似問題做通了？有時(shí)卻走不通？學(xué)生都是一臉茫然.筆者認(rèn)為，學(xué)生解決問題有時(shí)還是具備偶然性的，他總是在摸索中前進(jìn)，對于問題的解決方向沒有整體性、必然性的掌控.因此，教師一題多解教學(xué)需要向?qū)W生滲透方向掌控的重要性.

分析：對于向量小題的一題多解，教師教學(xué)首先要具備整體性的方向掌控：即向量小題主要依賴圖形化處理方式或者代數(shù)化運(yùn)算方式，圖形化處理依賴的是向量的圖形建構(gòu)，代數(shù)化運(yùn)算方式仰仗的是坐標(biāo)化的運(yùn)算，堅(jiān)持運(yùn)用策略的選擇，有助于從認(rèn)知層面認(rèn)識(shí)方向掌控.

說明：向量小題的解決方式主要是圖形化處理，教學(xué)需要多關(guān)注這一方式的使用，相比而言代數(shù)化策略的使用盡管簡化了思維，但是大大提高了運(yùn)算量，是學(xué)生不太喜歡的方式.教學(xué)中可以主輔分明，選擇合適的方式進(jìn)行講解，也可以通過多思開拓學(xué)生的方向掌控.

總之，本文以筆者關(guān)于一題多解、一題多思提出了一些新的視角分析，以還不夠成熟的一些想法與大家交流，請讀者指正.

1.宋衛(wèi)東.從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月考，2013（5）.

2.方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.

3.馮海英.對高中生學(xué)習(xí)習(xí)慣現(xiàn)狀的調(diào)查分析［J］.四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002.F