數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用

☉浙江省義烏市上溪中學 陳益民

數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用

☉浙江省義烏市上溪中學 陳益民

所謂的數(shù)形結合思想，顧名思義，一般來說是數(shù)字和圖形之間的某些一對一的聯(lián)系.簡要地概括來說，這種數(shù)形結合思想說的是把非具體的數(shù)學語言、數(shù)量之間的聯(lián)系和直接可以觀察到的幾何形狀、方位關系等聯(lián)系到一起，利用數(shù)學解讀形狀和利用形狀幫助學生理解數(shù)學的方法，讓比較煩瑣的問題變得比較簡單，讓不是很具體的問題進行具象的描述，用這樣的方式來讓解決問題的方式變得更加簡單.在高中數(shù)學的教學中要注意應用這種數(shù)字和圖形相結合的解答問題的思想，不僅可以讓數(shù)學問題用圖形的方式就能解決，還能夠把幾何問題轉變成為代數(shù)問題，這樣就能夠讓高中的學生在數(shù)學的學習過程中突破屏障，從而達到解答數(shù)學問題的目的.

一、數(shù)形結合中數(shù)與形的聯(lián)系及轉換方法

1.數(shù)與形之間的聯(lián)系

數(shù)形結合的教學思想由以數(shù)輔形和以形助數(shù)兩個部分組成，一部分是運用數(shù)的準確性與嚴密性來表達出形所具有的一些特點及屬性，從而推敲出形的關系，例如高中數(shù)學教學中以橢圓方程來準確描述出橢圓的特點及性質；另一部分是通過對形的認真觀察，直觀地得出數(shù)量之間的關系，即形是方法，數(shù)是最終的解題目的.例如，教學中可以通過函數(shù)的圖像快速準確地得到圖像對應函數(shù)的特點及性質.因此，在現(xiàn)實的教學中，教師必須讓學生認識到數(shù)形結合思想就是將直觀的圖形和復雜的數(shù)量關系相結合，實現(xiàn)數(shù)量關系與圖形兩者之間的轉化，從而快速準確地進行解題.

2.數(shù)與形之間的轉化方法

由數(shù)化形是依據(jù)題中所給的條件畫出正確的圖像，可以在圖形中得出與題意有關的數(shù)量關系，從而很好地完成解題.

由形化數(shù)是根據(jù)題中所給圖形進行認真的觀察，來得到數(shù)量的關系和幾何圖形的內在特點.

數(shù)形轉換是將數(shù)與形兩者進行的相互轉化，學生既可以通過圖形的形狀特點得到一些數(shù)量關系，也可以結合代數(shù)式的結構進一步完善圖形，從而了解到更多的數(shù)量關系.

二、在高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合的途徑

1.通過深入分析數(shù)學概念，滲透數(shù)形結合的思想

數(shù)學概念是數(shù)學學科的基本元素，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，其是感性認識飛躍到理性認識的結果.而飛躍的實現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學思想方法（數(shù)形結合作為其中的一種數(shù)學思想方法），要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成.因此，在教學中，教師要引導學生，找出事物之間的共同本質屬性并用詞語把它表示出來，使學生獲得概念、體會數(shù)學思想和方法.

2.通過例題分析，展示數(shù)形結合的思想

例題是展示數(shù)學新知識的一個重要組成部分，而例題教學是讓學生掌握數(shù)學知識、數(shù)學思想方法的一個重要途徑.通過例題的分析，教師把在問題解決過程中涉及的數(shù)形結合思想顯性化，使學生能在例題的分析中看到所展示出來的數(shù)形結合思想，從而學會應對復雜問題的能力，進而提高自身解決問題的思維策略.

三、“數(shù)形結合”在高中數(shù)學教學中的具體應用

1.利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題

一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩個集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素.利用韋恩圖法能直觀地解答有關集合之間的關系問題.

例1某班有50人，參加學校舉行的甲、乙、丙三科競賽，選甲的有38人，選乙的有35人，選丙的有31人，兼選甲、乙兩門的有29人，兼選甲、丙的有28人，兼選乙、丙的有26人，甲、乙、丙三門均選的有24人，問：此班三門均未選的有多少人？

分析：本題是與集合有關的現(xiàn)實生活問題，此類題一般結合Venn圖來解.

解：如圖1，選甲、乙而不選丙的有a=29-24=5（人）；選甲、丙而不選乙的有b=28-24=4（人）；

選乙、丙而不選甲的有c=26-24=2（人）；

圖1

僅選乙的有d=35-24-a-c=4（人）；

僅選丙的有e=31-24-b-c=1（人）；

至少選了一科的人數(shù)是38+d+c+e=45（人）.

故三門均未選的人數(shù)為50-45=5（人）.

2.利用數(shù)軸解決集合的有關運算和集合的關系問題

例2設集合M=｛x|x-1≤x≤7｝，S=｛x|k+1≤x≤2k-1｝，若M∩S=?，求k的取值范圍.

圖2

解析：如圖2，在數(shù)軸上表示出集合M的范圍，要使M∩S=?，從而有2k-1＜-1或k+1＞1，即k＜0或k＞6.

3.利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題

根據(jù)零點的分布，利用函數(shù)圖像直觀地解決問題.

例3已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有兩個根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內，另一根在區(qū)間（1，2）內，求m的取值范圍.

解析：設函數(shù)（fx）=x2+2mx+2m+1，則由題意畫出示意圖，如圖3，得：

圖3

4.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題

通過構造函數(shù)，把求方程解的問題，轉化為求兩函數(shù)圖像的交點問題.

例4方程log（2x+2）=的實數(shù)解有（）.

A.0個B.1個C.2個D.3個

分析：由方程可以直接根據(jù)數(shù)形結合從圖像上觀察到兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)，從而推出方程解的個數(shù).

圖4

解：令y1=log（2x+2），同一坐標系中，分別畫出這兩個函數(shù)的圖像，如圖4所示，兩個函數(shù)圖像只有一個交點，所以方程有一個解.故選B.

例5若x滿足-3+log2x=-x，則x屬于區(qū)間（）.

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，3）D.（3，4）

解析：由-3+log2x=-x得log2x=3-x.在同一坐標系中作出y=log2x和y= 3-x的圖像.如圖5所示，可觀察到這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標滿足1＜ x＜3.所以選C.

圖5

例6如果方程x2+2a+k=0的兩個實根在方程x2+ 2ax+a-4=0的兩實根之間，試求a與k應滿足的關系式.

解析：從圖6中可看到，二次函數(shù)y1=x2+2a+k，y2=x2+2ax+a-4均是形狀相同且有公共對稱軸的拋物線，要使方程x2+2a+k=0的兩實根在方程x2+2ax+a-4=0的兩實根之間，則對應的函數(shù)圖像y1與x軸的交點應在函數(shù)圖像y2與x軸的交點之內，它等價于拋物線y1的頂點縱坐標不大于零，且大于拋物線y2的頂點縱坐標.由配方法可知，y1與y2的頂點分別為P1（-a，-a2+k），P2（-a，-a2+a-4），故-a2+a-4＜-a2+k≤0.故可求出a與k應滿足的關系式為a-4＜k＜a2.

圖6

5.利用三角函數(shù)的圖像解不等式

通過構造函數(shù)，把不等式問題轉化為兩個函數(shù)圖像的關系問題.

例7解不等式cosx＞sinx，x∈［0，2π］.

圖7

解析：我們可以將不等式的兩邊表達式看成兩個函數(shù)y1=|cosx|，y2=|sinx|.在［0，2］上作出它們的圖像，得到四|cosx|的圖像都在y2=|sinx|的圖像上方，所以可得到原不

6.數(shù)列中數(shù)形結合的應用

數(shù)列的難點是如何在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并用有關知識解決相應的問題.而要解決這一難題，則要根據(jù)題意畫出相應的示意圖（或線段圖、列表法等），以使學生能迅速地根據(jù)圖形的性質來分析清楚結論的幾何意義等，從而巧用數(shù)形結合的思想方法完成解題.

解析：如圖8所示，在平面直角坐標系中，點A（cosα，sinα）與點B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點，故|AB|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2= 2-2cos（α-β）.又因為單位圓的圓心到直線l的距-

圖8

將數(shù)形結合運用在高中數(shù)學教學中可以使學生的解題思維得到不斷發(fā)展，增強解題能力，對學生數(shù)學思維的發(fā)展也有重要影響.數(shù)形結合可以利用幾何問題映射代數(shù)問題，使代數(shù)問題與幾何問題相互轉換，使學生將抽象思維和形象思維結合起來，降低學生解題的難度.此外，數(shù)形結合的教學思想已經成為現(xiàn)階段我國課堂教學的主要手段，數(shù)形結合思想的應用使得學生可以方便快捷地抓住解題的關鍵，提高了學生的解題效率.

1.趙凌巖.數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中的應用［J］.課程教育研究（新教師教學），2013（36）.

2.宋長江.數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中的應用［J］.語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2013（9）.A